2018届二轮复习圆锥曲线的综合应用教学案文学案（全国通用）

2018届二轮复习圆锥曲线的综合应用教学案文学案（全国通用）

专题15 圆锥曲线的综合应用 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考的热点，主要以解答题的形式呈现，往往作为考题的压轴题之一，以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高要求．‎ 考点一 圆锥曲线中的最值、范围 圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．‎ 例1、如图所示，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.‎ ‎(1)求p的值；‎ ‎(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．‎ ‎【变式探究】已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线 AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎(1)求E的方程；‎ ‎(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ 解：(1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝.‎ 又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.‎ 故E的方程为＋y2＝1.‎ 考点二　 定点、定值问题探究 ‎1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0， m)．‎ ‎2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．‎ 例2、已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1. ‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．‎ 所以|AN|·|BM|‎ ‎＝· ‎＝ ‎＝＝4.‎ 当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，‎ 所以|AN|·|BM|＝4.‎ 综上可知，|AN|·|BM|为定值．‎ ‎【方法规律】‎ ‎1．求定值问题常见的方法有两种：‎ ‎(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得出定值．‎ ‎2．定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的．‎ ‎【变式探究】如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为.‎ ‎ ‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．‎ kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.‎ 故kAP＋kAQ为定值2.‎ 例3、已知焦距为2的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，直线y＝与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.‎ 若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM.点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．‎ 设G(t，0)，则t≠－2，若以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，则DG⊥AN，‎ 所以·＝0恒成立．‎ 因为＝(2－t，4k)，‎ ＝，‎ 所以·＝(2－t)·＋4k·＝0恒成立，‎ 即＝0恒成立，所以t＝0，‎ 所以点G是定点(0，0)．‎ ‎【方法规律】‎ ‎1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．‎ ‎2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．‎ ‎【变式探究】已知两点A(－，0)，B(，0)，动点P在x轴上的投影是Q，且2·＝||2.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎(2)过F(1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点．求证：直线E1E2恒过定点．‎ ‎－1)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，‎ 联立消去y得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－4＝0.‎ 则Δ＞0恒成立．‎ 所以x1＋x2＝，且x1x2＝.‎ 所以GH中点 E1坐标为，‎ 同理，MN中点E2坐标为，‎ 所以kE1E2＝，‎ 所以lE1E2的方程为y＝，所以过点，‎ 当两直线的斜率分别为0和不存在时，lE1E2的方程为y＝0，也过点，‎ 综上所述，lE1E2过定点 .‎ 考点三 圆锥曲线中的存在性问题 存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．‎ ‎(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在．‎ ‎(3)得出结论．‎ 例3、 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上． ‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．‎ 故y0＝＝，且－3＜t＜3.‎ 由＝得＝(x4－x2，y4－y2)，‎ 所以有y1－＝y4－y2，y4＝y1＋y2－＝t－.‎ 也可由＝知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点，所以y0＝＝，可得y4＝.‎ ‎【方法规律】‎ ‎1．此类问题一般分为探究条件、探究结构两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．‎ ‎2．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．‎ ‎【变式探究】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点P，F为其右焦点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设过点A(4，0)的直线l与椭圆相交于M，N两点(点M在A，N两点之间)，是否存在直线l使△AMF与△MFN的面积相等？若存在，试求直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)因为＝，所以a＝‎2c，b＝c.‎ 设椭圆方程＋＝1，‎ 又点P在椭圆上，所以＋＝1，解得c2＝1.‎ 所以椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)易知直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－4)，‎ 由消去y，‎ 得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，‎ 由题意知Δ＝(32k2)2－4(3＋4k2)(64k2－12)＞0，‎ ‎1.【2017课标1，文20】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．‎ ‎（1）求直线AB的斜率；‎ ‎（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．‎ ‎【答案】（1）1； （2）．‎ ‎【解析】‎ 解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则， ， ，x1+x2=4，‎ 于是直线AB的斜率. ‎ ‎（2）由，得.‎ 设M（x3，y3），由题设知，解得，于是M（2，1）.‎ 设直线AB的方程为，故线段AB的中点为N（2,2+m），|MN|=|m+1|.‎ 将代入得. ‎ 当，即时， .‎ 从而. ‎ 由题设知，即，解得.‎ 所以直线AB的方程为.‎ ‎2.【2017课标II，文20】设O为坐标原点，动点M在椭圆C 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点在直线上，且.证明过点P且垂直于OQ的直线 过C的左焦点F. ‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ C的左焦点F.‎ ‎3.【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：‎ ‎（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；‎ ‎（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.‎ ‎【答案】（1）不会；（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：‎ 设, ,则满足，所以.‎ 又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现AC⊥BC的情况.‎ 值.‎ ‎4.【2017山东，文21】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程；‎ ‎(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,圆N的半径为|NO|. 设D为AB的中点,DE,DF与圆N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ） .(II) .‎ ‎【解析】‎ 又，‎ 所以 ‎ 整理得 ，‎ 所以，‎ 由（*）得 且.‎ 故，‎ 设，‎ 则 ，‎ 所以的最小值为，‎ 从而的最小值为，此时直线L的斜率是0.‎ 综上所述：当， 时， 取到最小值.‎ ‎5.【2017北京，文19】已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析.‎ 由点M在椭圆C上，得.‎ 所以.‎ 又，‎ ‎，‎ 所以与的面积之比为4:5.‎ ‎6.【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.‎ F1‎ ‎ ‎ O ‎ ‎ F2‎ x y ‎(第17题)‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（2）由（1）知， ， .‎ 设，因为点为第一象限的点，故.‎