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文档介绍
2020年高中数学第二章数列
第2课时 等比数列的性质 [课时作业] [A组 基础巩固] 1.如果数列{an}是等比数列,那么( ) A.数列{a}是等比数列 B.数列{2an}是等比数列 C.数列{lg an}是等比数列 D.数列{nan}是等比数列 解析:设bn=a,则==2=q2, ∴{bn}为等比数列;=2an+1-an≠常数; 当an<0时,lg an无意义;设cn=nan, 则==·q≠常数. 答案:A 2.已知等差数列{an}的公差为3,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于( ) A.9 B.3 C.-3 D.-9 解析:a1=a2-3,a3=a2+3,a4=a2+3×2=a2+6, 由于a1,a3,a4成等比数列,a=a1a4,即 (a2+3)2=(a2-3)(a2+6),解得a2=-9. 答案:D 3.在正项等比数列{an}中,a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根,则a8·a10·a12等于( ) A.16 B.32 C.64 D.256 解析:由已知,得a1a19=16. 又∵a1·a19=a8·a12=a, ∴a8·a12=a=16. 又an>0,∴a10=4, ∴a8·a10·a12=a=64. 答案:C 4.在等比数列{an}中,若a3a5a7a9a11=243,则的值为( ) A.9 B.1 4 C.2 D.3 解析:∵a3a5a7a9a11=aq30=243,∴==a1q6==3. 答案:D 5.已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=( ) A.2 B.1 C. D. 解析:由题意可得a3a5=a=4(a4-1)⇒a4=2,所以q3==8⇒q=2,故a2=a1q=. 答案:C 6.等比数列{an}中,an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5=________. 解析:由题意,得a1+a2=1,a3+a4=(a1+a2)q2=9,∴q2=9. 又an>0,∴q=3. 故a4+a5=(a3+a4)q=9×3=27. 答案:27 7.已知等比数列{an}的公比q=-,则=________. 解析:===-2. 答案:-2 8.若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2,c=5-2,则b=________. 解析:因为三个正数a,b,c成等比数列,所以b2=ac=(5+2)(5-2)=1,因为b>0,所以b=1. 答案:1 9.已知等比数列{an}为递增数列,且a=a10,2(an+an-2)=5an-1,求数列{an}的通项公式. 解析:设数列{an}的首项为a1,公比为q. ∵a=a10,2(an+an-2)=5an-1, ∴ 由①,得a1=q, 由②,得q=2或q=. 又数列{an}为递增数列, ∴a1=q=2,∴an=2n. 4 10.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,求log(a5+a7+a9)的值. 解析:∵log3an+1=log3an+1, 即log3an+1-log3an=log3=1. ∴=3. ∴数列{an}是等比数列,公比q=3. 则log(a5+a7+a9)=log[q3·(a2+a4+a6)]=log[33·9]=-5. [B组 能力提升] 1.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=2a,a2=1,则a1=( ) A. B. C. D.2 解析:∵a3·a9=a=2a,∴q2=2=2. 又q>0,∴q=.∴a1===. 答案:B 2.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a2,a5成等比数列,则a2等于( ) A.-4 B.2 C.3 D.-3 解析:∵a1,a2,a5成等比数列,∴a=a1·a5. ∴a=(a2-d)·(a2+3d), 即a=(a2-2)(a2+6).∴a2=3. 答案:C 3.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-a+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=________. 解析:∵2a3-a+2a11=2(a3+a11)-a =4a7-a=0, ∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4. ∴b6b8=b=16. 答案:16 4.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b 4 ,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于________. 解析:不妨设a>b,由根与系数的关系得a+b=p,a·b=q,则a>0,b>0,则a,-2,b为等比数列,a,b,-2成等差数列,则a·b=(-2)2=4,a-2=2b,∴a=4,b=1,∴p=5,q=4,所以p+q=9. 答案:9 5.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),求数列{an}的通项公式. 解析:由an+1=,得=+1. 所以+1=2(+1). 又a1=1,所以+1=2, 所以数列{+1}是以2为首项,2为公比的等比数列, 所以+1=2×2n-1=2n, 所以an=. 6.在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中,已知a1=b1=1,a2=b2,a8=b3. (1)求d,q的值; (2)是否存在常数a,b,使得对于一切自然数n,都有an=logabn+b成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由. 解析:(1)由a2=b2,a8=b3, 得 即 解方程组得或(舍) (2)由(1)知an=1+(n-1)·5=5n-4, bn=b1qn-1=6n-1. 由an=logabn+b,得5n-4=loga6n-1+b, 即5n-4=nloga6+b-loga6. 比较系数得∴ 所以存在a=6,b=1,使得对一切自然数,都有an=logabn+b成立. 4查看更多