2020年高中数学第二章数列

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2020年高中数学第二章数列

第2课时 等比数列的性质 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.如果数列{an}是等比数列,那么(  )‎ A.数列{a}是等比数列 B.数列{2an}是等比数列 C.数列{lg an}是等比数列 D.数列{nan}是等比数列 解析:设bn=a,则==2=q2,‎ ‎∴{bn}为等比数列;=2an+1-an≠常数;‎ 当an<0时,lg an无意义;设cn=nan,‎ 则==·q≠常数.‎ 答案:A ‎2.已知等差数列{an}的公差为3,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于(  )‎ A.9 B.3‎ C.-3 D.-9‎ 解析:a1=a2-3,a3=a2+3,a4=a2+3×2=a2+6,‎ 由于a1,a3,a4成等比数列,a=a‎1a4,即 (a2+3)2=(a2-3)(a2+6),解得a2=-9.‎ 答案:D ‎3.在正项等比数列{an}中,a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根,则a8·a10·a12等于(  )‎ A.16 B.32‎ C.64 D.256‎ 解析:由已知,得a‎1a19=16.‎ 又∵a1·a19=a8·a12=a,‎ ‎∴a8·a12=a=16.‎ 又an>0,∴a10=4,‎ ‎∴a8·a10·a12=a=64.‎ 答案:C ‎4.在等比数列{an}中,若a‎3a5a7a9a11=243,则的值为(  )‎ A.9 B.1‎ 4‎ C.2 D.3‎ 解析:∵a‎3a5a7a9a11=aq30=243,∴==a1q6==3.‎ 答案:D ‎5.已知等比数列{an}满足a1=,a‎3a5=4(a4-1),则a2=(  )‎ A.2 B.1‎ C. D. 解析:由题意可得a‎3a5=a=4(a4-1)⇒a4=2,所以q3==8⇒q=2,故a2=a1q=.‎ 答案:C ‎6.等比数列{an}中,an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5=________.‎ 解析:由题意,得a1+a2=1,a3+a4=(a1+a2)q2=9,∴q2=9.‎ 又an>0,∴q=3.‎ 故a4+a5=(a3+a4)q=9×3=27.‎ 答案:27‎ ‎7.已知等比数列{an}的公比q=-,则=________.‎ 解析:===-2.‎ 答案:-2‎ ‎8.若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2,c=5-2,则b=________.‎ 解析:因为三个正数a,b,c成等比数列,所以b2=ac=(5+2)(5-2)=1,因为b>0,所以b=1.‎ 答案:1‎ ‎9.已知等比数列{an}为递增数列,且a=a10,2(an+an-2)=5an-1,求数列{an}的通项公式.‎ 解析:设数列{an}的首项为a1,公比为q.‎ ‎∵a=a10,2(an+an-2)=5an-1,‎ ‎∴ 由①,得a1=q,‎ 由②,得q=2或q=.‎ 又数列{an}为递增数列,‎ ‎∴a1=q=2,∴an=2n.‎ 4‎ ‎10.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,求log(a5+a7+a9)的值.‎ 解析:∵log3an+1=log3an+1,‎ 即log3an+1-log3an=log3=1.‎ ‎∴=3.‎ ‎∴数列{an}是等比数列,公比q=3.‎ 则log(a5+a7+a9)=log[q3·(a2+a4+a6)]=log[33·9]=-5.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=‎2a,a2=1,则a1=(  )‎ A. B. C. D.2‎ 解析:∵a3·a9=a=‎2a,∴q2=2=2.‎ 又q>0,∴q=.∴a1===.‎ 答案:B ‎2.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a2,a5成等比数列,则a2等于(  )‎ A.-4 B.2‎ C.3 D.-3‎ 解析:∵a1,a2,a5成等比数列,∴a=a1·a5.‎ ‎∴a=(a2-d)·(a2+3d),‎ 即a=(a2-2)(a2+6).∴a2=3.‎ 答案:C ‎3.公差不为零的等差数列{an}中,‎2a3-a+‎2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=________.‎ 解析:∵‎2a3-a+‎2a11=2(a3+a11)-a ‎=‎4a7-a=0,‎ ‎∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4.‎ ‎∴b6b8=b=16.‎ 答案:16‎ ‎4.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b 4‎ ‎,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于________.‎ 解析:不妨设a>b,由根与系数的关系得a+b=p,a·b=q,则a>0,b>0,则a,-2,b为等比数列,a,b,-2成等差数列,则a·b=(-2)2=4,a-2=2b,∴a=4,b=1,∴p=5,q=4,所以p+q=9.‎ 答案:9‎ ‎5.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),求数列{an}的通项公式.‎ 解析:由an+1=,得=+1.‎ 所以+1=2(+1).‎ 又a1=1,所以+1=2,‎ 所以数列{+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,‎ 所以+1=2×2n-1=2n,‎ 所以an=.‎ ‎6.在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中,已知a1=b1=1,a2=b2,a8=b3.‎ ‎(1)求d,q的值;‎ ‎(2)是否存在常数a,b,使得对于一切自然数n,都有an=logabn+b成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.‎ 解析:(1)由a2=b2,a8=b3,‎ 得 即 解方程组得或(舍)‎ ‎(2)由(1)知an=1+(n-1)·5=5n-4,‎ bn=b1qn-1=6n-1.‎ 由an=logabn+b,得5n-4=loga6n-1+b,‎ 即5n-4=nloga6+b-loga6.‎ 比较系数得∴ 所以存在a=6,b=1,使得对一切自然数,都有an=logabn+b成立.‎ 4‎
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