2018-2019学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高二5月月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高二5月月考数学（理）试题 解析版

宜昌市葛洲坝中学2019春季学期 高二年级5月月考 理科数学 试卷 一、单选题 ‎1．复数，则（ ）‎ A．1 B． C．2 D．4‎ ‎2．若函数的极小值为-1，则函数的极大值为 A．3 B．-1 C． D．2‎ ‎3．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ 根据表中的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为，则表中m的值为（ ）‎ A．45 B．50 C．55 D．70‎ ‎4．“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知直线的倾斜角为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．用数学归纳法证明：“ ”．从“到”左端需增乘的代数式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若双曲线 的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 （ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎8．有一个7人学校合作小组，从中选取4人发言，要求其中甲和乙至少有一人参加，若甲和乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（ ）‎ A．720种 B．600种 C．360种 D．300种 ‎9．抛物线的焦点与双曲线右焦点重合，又为两曲线的一个公共交点，且，则双曲线的实轴长为( )‎ A．1 B．2 C． D．6‎ ‎10．已知“整数对”按如下规律排成一列： ，，，，，，，，，，，则第222个“整数对”是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图所示，过抛物线的焦点F的直线l，交抛物线于点A,B．交其准线l于点C，若,且，则此抛物线的方程为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若对，，使成立，则的取值范围是（）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎13．已知随机变量服从正态分布，，则__________．‎ ‎14．在的展开式中，项的系数为_____（用数字作答）．‎ ‎15．抛物线与其过原点的切线所围成的图形面积为 .‎ ‎16．已知函数，函数有四个零点，则实数的取值范围是______．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调递增区间；‎ ‎(2)在中，内角的对边分别为，求的值．‎ ‎18．已知各项均为正数的数列的前项和为，，且.‎ ‎(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.‎ ‎19．已知长方形中，，，现将长方形沿对角线折起，使，得到一个四面体，如图所示. ‎ ‎（1）试问：在折叠的过程中，异面直线与能否垂直？若能垂直，求出相应的的值；若不垂直，请说明理由；‎ ‎（2）当四面体体积最大时，求二面角的余弦值.‎ ‎20．‎ 某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案(1)规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元，该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[ 25，35），[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。‎ ‎(Ⅰ)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；‎ ‎(Ⅱ)从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案(1)的概率为，选择方案(2)的概率为．若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案(1)的概率；‎ ‎(Ⅲ)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）‎ ‎21．已知离心率为的椭圆：的右焦点为，点到直线的距离为1.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与椭圆相交于不同的两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.‎ ‎22．已知函数 ‎ ‎（Ⅰ）若，讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设，且有两个极值点，其中，求的最小值.（注：其中为自然对数的底数）‎ 参考答案 ‎1．B ‎【解析】分析：先化简复数z,再求复数z的模得解.‎ 详解：由题得所以 故答案为：B 点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的模，意在考查复数的基础知识.(2)复数 ‎2．A ‎3．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据回归直线经过样本平均数点，可求得m的值。‎ ‎【详解】‎ 由表可知 ‎ ‎ 因为回归直线会经过平均数样本中心点，代入 ‎ 解得 ‎ 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了回归直线的简单应用，属于基础题。‎ ‎4．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线垂直的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 若直线与直线互相垂直，则，解得.‎ 又m＝﹣2时，两直线分别为-x+y+1=0和x+y+1=0，满足斜率积为-1，所以满足垂直，‎ ‎∴“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件，求出m是解决本题的关键．‎ ‎5．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线方程可得tan，由正弦的二倍角公式和同角三角函数关系式计算可得答案.‎ ‎【详解】‎ 直线的倾斜角为,可得斜率k=tan 则，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，考查正弦的二倍角公式的应用，考查齐次式的计算，属于基础题.‎ ‎6．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别列出和时左边的代数式，进而可得左端需增乘的代数式化简即可．‎ ‎【详解】‎ 当时，左端，‎ 当时，左端，‎ 从到时左边需增乘的代数式是： ．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a，b的关系，即可得到所求离心率公式．‎ ‎【详解】‎ 取渐近线，化成一般式，‎ 圆心到直线的距离，得，，‎ 即.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎8．B ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，分2种情况讨论，‎ ‎①、若甲乙其中一人参加，需要从剩余5人中选取3人，从甲乙中任取1人，有2种情况，‎ 在剩余5人中任取3人，有种情况，将选取的4人，进行全排列，有种情况，则此时有种情况；‎ ‎②、若甲乙两人都参加，需要从剩余5人中选取2人，有种选法，将甲乙和选出的2人，进行全排列，有种情况，则甲乙都参加有种情况，其中甲乙相邻的有种情况；则甲乙两人都参加且不相邻的情况有种；则不同的发言顺序有种，故选B．‎ 考点：排列组合的实际应用 ‎9．B ‎10．C ‎11．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别过A,B作准线的垂线，利用抛物线的定义将A,B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知的比例关系，在直角三角形中求线段PF长度即可得p值，进而可得方程.‎ ‎【详解】‎ 如图，过A作垂直于抛物线的准线，垂足为D，‎ 过B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E，P为准线与x轴的交点，‎ 由抛物线的定义，，‎ 因为，所以，所以，‎ ‎，，‎ 所以，即，‎ 所以抛物线的方程为：，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关抛物线方程的求解问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，应用定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离来解决，属于常规问题.‎ ‎12．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据条件判断出函数在上单调递增，从而去掉绝对值符号，记，该问题转化为在上单调递增，故在上恒成立，之后有在上恒成立，转化为最值来求解.‎ ‎【详解】‎ 当时，在上单调递增.‎ 则，因为，所以.‎ 记，因为，所以，‎ 则在上单调递增，故在上恒成立，‎ 即在上恒成立，整理得在上恒成立，‎ 则，故有，因为，使成立，‎ 所以，即.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查导数与不等式恒成立的综合问题，考查转化与化归思想及运算求解能力，该题也可以转化为来求解，属于中档题目.‎ ‎13．0.22‎ ‎14．0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出二项式展开式的通项，然后分两种情形通过拼凑的方法求得项的系数．‎ ‎【详解】‎ 二项式展开式的通项为，‎ 所以的展开式中项为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 对三项式或乘积型的展开式的问题，一般转化为二项式的问题处理，求解时常常要借助组合的方式、通过“配凑”的方法得到所求项或系数，属于中档题．‎ ‎15．‎ ‎16．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为与有四个不同的交点的问题；画出图象后可知，当与在和上分别相切时，两切线斜率之间的范围即为所求的范围，利用导数几何意义和二次函数的知识分别求解出两条切线斜率，从而得到所求范围.‎ ‎【详解】‎ 有四个零点等价于与有四个不同的交点 当时，，‎ 当时，；当时，‎ 即在上单调递减，在上单调递增 ‎ 当时，，此时 由此可得图象如下图所示：‎ 恒过，由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点 即临界状态为与两段图象分别相切 当与相切时，可得：‎ 当与相切时 设切点坐标为，则 又恒过，则 即，解得： ‎ 由图象可知：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数零点个数求解参数范围的问题，其中还涉及到导数几何意义的应用、二次函数的相关知识.‎ 解决零点问题的常用方法为数形结合的方法，将问题转化为曲线与直线的交点问题后，通过函数图象寻找临界状态，从而使问题得以求解.‎ ‎17．(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据两角差余弦公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得结果，（2）先求A，再根据向量数量积定义得，最后根据余弦定理得的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎，‎ 由，，‎ 解得；，，‎ ‎∴的单调增区间为.‎ ‎（2），‎ 即 ，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理、向量数量积、两角差余弦公式、二倍角公式以及辅助角公式，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎18．（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用数列的递推关系式，转化为an+1-an=3，说明数列是等差数列，然后求数列{an}的通项公式an； （2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，得 两式相减得，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 由，∴或；‎ ‎∵，∴，‎ 故.‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∴……①‎ ‎……②‎ ‎①－②得：，‎ ‎∴.‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎19．（1）1；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若AB⊥CD，得AB⊥面ACD，由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,解得a2=1，成立;（2）四面体A﹣BCD体积最大时面ABD⊥面BCD，以A为原点，在平面ACD中过O作BD的垂线为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的余弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，‎ 所以AB⊥面ACD⇒AB⊥AC. ‎ 由于AB=1, AD=BC= ,AC=,‎ 由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,‎ 所以12＋a2＝()2⇒a＝1, ‎ 所以在折叠的过程中，异面直线AB与CD可以垂直,此时的值为1 ‎ ‎(2)要使四面体A－BCD体积最大，因为△BCD面积为定值，‎ 所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD. ‎ 过A作AO⊥BD于O，则AO⊥面BCD，‎ 以O为原点建立空间直角坐标系 (如图)，‎ 则易知,‎ 显然，面BCD的法向量为 , ‎ 设面ACD的法向量为n＝(x，y，z),‎ 因为 所以，令y＝，得n＝(1，，2)， ‎ 故二面角A－CD－B的余弦值即为 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.‎ ‎20．(Ⅰ) (Ⅱ) （Ⅲ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)先设事件为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于单”，由频率分布直方图，即可求出结果；‎ ‎(Ⅱ)先设事件为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）”，设事件为“甲乙丙三名骑手中恰有人选择方案（1）”，根据题意可得，进而可求出结果；‎ ‎（Ⅲ）先设骑手每日完成快递业务量为件，得到方案（1）的日工资，方案（2）的日工资 ，再由题中条件分别得到与的期望，比较大小即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)设事件为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于单”‎ 依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于单的频率分别为：‎ 因为 所以估计为. ‎ ‎(Ⅱ) 设事件为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）” ‎ 设事件为“甲乙丙三名骑手中恰有人选择方案（1）”，‎ 则，‎ 所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）的概率为 ‎ ‎（Ⅲ）设骑手每日完成快递业务量为件 ‎ 方案（1）的日工资，‎ 方案（2）的日工资 ‎ 所以随机变量的分布列为 ‎ ；‎ 同理随机变量的分布列为 ‎ ‎ 因为，所以建议骑手应选择方案（1）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列与期望等，熟记概念，会分析频率分布直方图即可，属于常考题型.‎ ‎21．(1) (2) 或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过点到直线的距离、离心率和的关系，求得标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用可得；再利用，根据弦长公式可求得，得到；利用表示出点坐标，代入椭圆可得，从而可求得的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：，即 又，，即 ‎，‎ 椭圆的方程为 ‎（2）由题意可知直线的斜率存在，‎ 设，，，‎ 由得：‎ 由，得：（*）‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎，结合（*）得：‎ ‎ ‎ 从而，‎ 点在椭圆上 ‎ 整理得：‎ 即 ‎ 或 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中参数取值范围的求解问题，关键是能够利用直线与椭圆相交于不同两点且弦长得到的取值范围；再通过向量的坐标运算，可得到关于与的关系，进而可求得结果.‎ ‎22．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）对函数 求导，对a分情况讨论即可确定的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）先对 求导，令导数式等于0由韦达定理求出两个极值点的关系 ‎ ，所以，整理，构造关于 的函数 ，求导根据单调性确定最值即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）的定义域是，‎ ‎①当时， 在，单调递增；在单调递减.‎ ‎②当时，，在单调递增.‎ ‎③当时， 在，单调递增；在单调递减.‎ ‎（Ⅱ）， ‎ 由题意得方程的两根分别为，且 所以，‎ 则 ‎ 设，则 当时，恒成立，所以在上单调递减，‎ 所以，即的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的应用，根据导数求单调区间，函数的零点，以及构造函数求最值，考查学生的运算推理能力，属于难题。‎