2017-2018学年广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高二上学期开学考试数学（文）试题

2017-2018学年广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高二上学期开学考试数学（文）试题

广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2017年秋季学期高二文科数学开学考试试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．设两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣‎3m，l2：2x+（5+m）y=8，则l1∥l2是m＜﹣4的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（　　）‎ A．83% B．72% C．67% D．66%‎ ‎4．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣‎1”‎的否定是（　　）‎ A．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 B．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1‎ C．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 D．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1‎ ‎5．若log‎6a=log7b，则a、b、1的大小关系可能是（　　）‎ A．a＞b＞1 B．b＞1＞a C．a＞1＞b D．1＞a＞b ‎5．函数f（x）=2sin（3x+φ）的图象向右平移动个单位，得到的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．函数y=x2﹣2lnx的单调增区间为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（1，+∞）‎ C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（0，1）‎ ‎7．设抛物线C：y2=4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是（　　）‎ A．4 B．‎5 ‎C．6 D．7‎ ‎8．如图，在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，M为BB1的中点，则直线MC与平面ACD1所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎9．函数f（x）=，若f（a）=0，则a的所有可能值组成的集合为（　　）‎ A．{0} B．{0， } C．{0，﹣ } D．{﹣，﹣ }‎ ‎10．△ABC中，sinA=sinB是∠A=∠B的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎11．设是奇函数，则（　　）‎ A．，且f（x）为增函数 B．a=﹣1，且f（x）为增函数 C．，且f（x）为减函数 D．a=﹣1，且f（x）为减函数　‎ ‎12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．[15，+∞） B． C．[1，+∞） D．[6，+∞）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为　 　．‎ ‎14．曲线y=xlnx+1在点（1，1）处的切线方程是　　．‎ ‎15．若函数f（x）=lnx﹣x﹣mx在区间[1，e2]内有唯一的零点，则实数m的取值范围是　 　．‎ ‎16．下列4个命题：‎ ‎①“若a、G、b成等比数列，则G2=ab”的逆命题；‎ ‎②“如果x2+x﹣6≥0，则x＞‎2”‎的否命题；‎ ‎③在△ABC中，“若A＞B”则“sinA＞sinB”的逆否命题；‎ ‎④当0≤α≤π时，若8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对∀x∈R恒成立，则α的取值范围是0≤α≤．‎ 其中真命题的序号是　 　．‎ 三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算过程．‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）=（a﹣b）sinB．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若c=≤a，求‎2a﹣b的取值范围．‎ ‎18．已知函数f（x）=x3﹣3x．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的极值；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有3个实根，求实数k的取值范围．‎ ‎19．在某城市气象部门的数据中，随机抽取了100天的空气质量指数的监测数据如表：‎ 空气质量指数t ‎（0，50]‎ ‎（50，100]‎ ‎（100，150]‎ ‎（150，200]‎ ‎（200，300]‎ 质量等级 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 严重污染 天数K ‎5‎ ‎23‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎（1）在该城市各医院每天收治上呼吸道病症总人数y与当天的空气质量t（t取整数）存在如下关系y=，且当t＞300时，y＞500估计在某一医院收治此类病症人数超过200人的概率；‎ ‎（2）若在（1）中，当t＞300时，y与t的关系拟合于曲线，现已取出了10对样本数据（ti，yi）（i=1，2，3，…，10），且=42500， =500，求拟合曲线方程．‎ ‎（附：线性回归方程=a+bx中，b=，a=﹣b）‎ ‎20．已知函数f（x）=．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；‎ ‎（Ⅱ）判定f（x）的奇偶性并证明；‎ ‎（Ⅲ）用函数单调性定义证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数．‎ ‎　21．已知△ABC的两顶点坐标A（﹣1，0），B（1，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=1（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C的轨迹为曲线M．‎ ‎（I）求曲线M的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．‎ 参考答案：‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．B2．A3．A4．A5．D5．B6．B7．B8．C9．C10．C11．A12．A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13． 14．y=x．‎ ‎15．[﹣1，﹣1）∪{﹣1}． 16．②③．‎ 三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算过程．‎ ‎17．（1）由已知和正弦定理得：（a﹣c）（a+c）=b（a﹣b）‎ 故a2﹣c2=ab﹣b2，故a2+b2﹣c2=ab，‎ 得，所以．‎ ‎（2）因为，‎ 由正弦定理，‎ 得a=2sinA，b=2sinB，‎ ‎=‎ 因为c≤a，所以，‎ 所以 ‎18．（I）∵f（x）=x3﹣3x，∴f′（x）=3（x﹣1）（x+1），‎ 令f′（x）=0，解得x=﹣1或x=1，列表如下：‎ x ‎（﹣∞，﹣1）‎ ‎﹣1‎ ‎（﹣1，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 增 极大值 减 极小值 增 当x=﹣1时，有极大值f（﹣1）=2；‎ 当x=1时，有极小值f（1）=﹣2．‎ ‎（II）要f（x）=k有3个实根，‎ 由（I）知：f（1）＜k＜f（﹣1），‎ 即﹣2＜k＜2，‎ ‎∴k的取值范围是（﹣2，2）．‎ ‎19．（1）令y＞200得2t﹣100＞200，解得t＞150，‎ ‎∴当t＞150时，病人数超过200人．‎ 由频数分布表可知100天内空气指数t＞150的天数为25+15+10=50．‎ ‎∴病人数超过200人的概率P==．‎ ‎（2）令x=lnt，则y与x线性相关， =7， =600，‎ ‎∴b==50，a=600﹣50×7=250．‎ ‎∴拟合曲线方程为y=50x+250=50lnt+250．‎ ‎20．（Ⅰ）由1﹣x2≠0，得x≠±1，即f（x）的定义域{x|x≠±1}…；‎ ‎（Ⅱ）f（x）为偶函数．‎ ‎∵f（x）定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x）‎ ‎∴f（x）为偶函数；…‎ ‎（III）证明：f（x）===﹣1，‎ 设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣‎ ‎=2（），‎ ‎∵1＜x1＜x2，‎ ‎∴x1﹣x2＜0，1﹣x2＜0，1﹣x1＜0，‎ 则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），‎ 则函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．‎ ‎21．（I）由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4＞|AB|，‎ 所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x轴的交点），‎ 所以a=2，c=1，‎ 所以b=，‎ 所以曲线M：（y≠0）为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）注意到直线BC的斜率不为0，且过定点B（1，0），‎ 设直线BC的方程为x=my+1，C（x1，y1），D（x2，y2），‎ 与椭圆方程联立，消x得（4+‎3m2‎）y2+6my﹣9=0，‎ 所以y1+y2=﹣，y1y2=﹣‎ 因为=（my1+2，y1），=（my2+2，y2），‎ 所以=（my1+2）（my2+2）+y1y2=‎ 注意到点A在以CD为直径的圆上，所以=0，即m=±，﹣﹣﹣﹣﹣‎ 所以直线BC的方程或为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎