2017-2018学年吉林省辽源市田家炳高级中学等五校高二上学期期末联考（第64届）数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年吉林省辽源市田家炳高级中学等五校高二上学期期末联考（第64届）数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年吉林省辽源市田家炳高级中学等五校高二上学期期末联考（第64届）数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若pVq是假命题，则（ ）‎ A. p，q至少有一个是假命题 B. p，q 均为假命题 C. p，q中恰有一个是假命题 D. p，q至少有一个是真命题 ‎【答案】B ‎【解析】若pVq是假命题，则 p，q 均为假命题 故选：B ‎2．双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线 中, a=2，b=2，双曲线的渐近线方程为 ‎ 故选：D ‎3．已知命题α：“如果x＜3，那么x＜5”，命题β：“如果x≥5，那么x≥3”，则命题α是命题β的（ ）‎ A. 否命题 B. 逆命题 C. 逆否命题 D. 否定形式 ‎【答案】C ‎【解析】两个命题不仅条件和结论对调，还都取否定，因此命题是命题的逆否命题. ‎ 故选：C ‎4．已知抛物线方程为则焦点到准线的距离为（ ）‎ A. B. C. 5 D. 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可知抛物线的焦点为（，0），准线为x=- ，所以焦点到准线的距离为 故选：B ‎5．设集合M={x|0＜x≤4}，N={x|2≤x≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的（　　）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】设集合M={x|0＜x≤4}，N={x|2≤x≤3}， ，所以若“”推不出“”；若“”，则“”，所以“”是“”的必要而不充分条件，‎ 故选：B 点睛：注意区别：“命题是命题的充分不必要条件”与“命题的充分不必要条件是命题”‎ ‎6．若，则x0的值为（ ）‎ A. B. C. -2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】。‎ 故选：B ‎7．下列求导运算正确的是（ ）‎ A. =sinx B. ‎ C. = D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，A不正确； ，B不正确 ‎(lgx)’= ，C正确 ； ，D不正确 故选：C ‎8．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则=（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】2p=4，p=2， =x1+x2+p=8‎ 故选：D 点睛：若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎9．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=（ ）‎ A. 8 B. 9 C. -3 D. 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】焦点在x轴上的椭圆,可得，‎ 椭圆的离心率为,可得： ，解得m=8‎ 故选：A ‎10．设函数，则 =（ ）‎ A. -6 B. -3 C. 3 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据导数的定义： ，因为，所以，即 =-6‎ 故选：A ‎11．抛物线上有一点P，它到A（2,10）距离与它到焦点距离之和最小时，点P坐标是（ ）‎ A. （，10） B. （，20） C. （2，8） D. （1，2）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，抛物线的焦点为，准线l为，且点A在抛物线内部，过点A作准线l的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可知，垂线A与抛物线的交点即为所求的点P，且易求得，点P的坐标为（2，8）‎ 故选：C ‎12．已知是椭圆的左焦点， A为右顶点， P是椭圆上的一点， 轴，若，则该椭圆的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据椭圆几何性质可知， ，所以 ，即 ，由因为，所以有，整理可得 ，两边同除以得： ，所以，由于，所以.‎ 故选：A 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 二、填空题 ‎13．命题“”的否定是_________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎14．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于M,N两点，则ΔMF2N的周长为___________‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】根据椭圆的定义， 的周长=4a=8‎ 故答案为：8‎ ‎15．曲线在点（e，f（e））处的切线方程为______________‎ ‎【答案】x-ey=0‎ ‎【解析】，则切线斜率，切线方程为x-ey=0‎ 故答案为：x-ey=0‎ 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为： ．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎16．已知命题p：“ x∈[1,2]， ”，命题q：“x∈R， ”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是____________‎ ‎【答案】a≤－2或1≤ a≤3‎ ‎【解析】，p：y＝3x2在x∈[1,2]递增，最小值为3，所以a≤3. q：Δ＝4a2－4(2－a)≥0，∴a2＋a－2≥0，a≤－2或a≥1 . 若命题“p且q”是真命题，则p、q都为真． a≤－2或1≤ a≤3.‎ 故答案为：a≤－2或1≤ a≤3‎ 三、解答题 ‎17．已知双曲线方程为.‎ ‎（1）求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；‎ ‎（2）若抛物线C的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其下顶点，求抛物线C的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) x2=-12y ‎【解析】试题分析：（1）将双曲线方程化为标准方程，求出a，b，c，即可得到所求实轴长、虚轴长、离心率； （2）求出双曲线的中心坐标和左顶点坐标，设抛物线C的方程为y2=-2px（p>0），由焦点坐标，可得p的方程，解方程即可得到所求．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得，知2a=6,2b=8,2c=10，所以实轴长为6，虚轴长为8，离心率为 ‎（2）设抛物线C：x2=-2py，p=2a=6，所以抛物线C：x2=-12y ‎18．已知函数f（x）=（xR），g（x）=2a-1‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间与极值．‎ ‎（2）若f（x）≥g（x）对恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为. ‎ ‎ f（x）的极大值为6，极小值-26；(2) ‎ ‎【解析】试题分析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，即可得到函数f（x）的单调区间与极值；（2）根据函数的单调性求出端点值和极值，从而求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，求出a的范围即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）令，解得或， ‎ 令，解得：. ‎ 故函数的单调增区间为，单调减区间为. ‎ ‎ f（x）的极大值为f（-1）=6，极小值f（3）=-26‎ ‎（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ 又，，，‎ ‎∴， ‎ ‎∵对恒成立，‎ ‎∴，即，∴‎ ‎19．已知椭圆 的离心率为，短轴长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可； （2）设直线斜率为k，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k的值，从而求出直线方程．‎ 试题解析：‎ ‎（1），2b=4，所以a=4，b=2，c=，椭圆标准方程为 ‎（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，则，分别代入椭圆的方程，两式相减得，所以，所以，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，即．‎ 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.‎ ‎20．已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线与曲线交于两点，求.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）消去参数即可确定普通方程，将极坐标方程两边乘以ρ整理计算即可确定直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）联立直线参数方程的标准形式和圆的方程，结合参数的几何意义即可求得弦长．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）直线:（为参数），消去得，即 ‎ 曲线： ，即，‎ 又， ‎ 故曲线： ‎ ‎（Ⅱ）将的参数方程（t为参数），代入曲线： ，消去得 ， ‎ 由参数的几何意义知， ‎ ‎21．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知曲线， ，直线 (是参数)‎ ‎（1）求出曲线的参数方程，及直线的普通方程；‎ ‎（2）为曲线上任意一点， 为直线上任意一点，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ．‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用三种方程的转化方法，写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；（‎ ‎2）设则到直线的距离为 由，可得，进而可得 由此，可得，则的取值范围可求．‎ 试题解析：（1）曲线的普通方程为： ‎ ‎∴曲线的参数方程（为参数， ）‎ 直线的普通方程为： ‎ ‎（2）设 ‎∴到直线的距离为 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎22．已知函数，a为常数 ‎（1）判断f（x）在定义域内的单调性 ‎（2）若f（x）在上的最小值为，求a的值 ‎【答案】(1) f（x）的单调增区间为,单调减区间为,‎ ‎ (2) a＝－‎ ‎【解析】试题分析：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝.，由此利用导数性质能求出f（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ ‎（2）由（1）根据a的取值范围分类讨论，由此利用导数性质能求出a的值．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由题意f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.‎ 当a0时， (x)>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．‎ 当a<0时， 令 (x)>0 ，得x>-a； 令 (x)<0 ，得x<-a,‎ 所以f（x）的单调增区间为,单调减区间为 ‎(2)由(1)可知，f′(x)＝.‎ ‎①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，所以f(x)min＝f(1)＝－a＝，所以a＝－ (舍去)． ‎ ‎②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，所以f(x)min＝f(e)＝1－＝⇒a＝－ (舍去)．   ‎ ‎③若－e0，所以f(x)在[－a，e]上为增函数，所以f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝⇒a＝－. ‎ 综上所述，a＝－.‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎