2018-2019学年甘肃省兰州市第一中学高一5月月考数学试题（解析版）

2018-2019学年甘肃省兰州市第一中学高一5月月考数学试题（解析版）

2018-2019 学年甘肃省兰州市第一中学高一 5 月月考数学试 题 一、单选题 1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若 ， 都是单位向 量，则 ＝ ；③向量 与 相等．则所有正确命题的序号是(　　) A．① B．③ C．①③ D．①② 【答案】A 【解析】根据零向量的定义、单位向量的概念和相等向量的概念，对三个命题的真假性 逐一进行判断，由此得出正确选项. 【详解】 .根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方 向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量 与 互为相反向量， 故③错误．所以选 A. 【点睛】 本小题主要考查零向量的定义，考查单位向量的概念以及考查相等向量的概念.属于基 础题. 2．已知角 的终边过点 且 ，则 的值为（ ） A．－ B． C．－ D． 【答案】C 【解析】因为角 的终边过点 ，所以 ， ，解得 ，故选 A. 3．向量 ，且 ，则 (　 　) A． B． C． D． 【答案】C 1,tan , (cos ,1)3a a b a = =     / /a b  cos 2 π α + =   2 3 − 1 3 1 3 − 2 2 3 − 【解析】先根据 求出 的值，再利用诱导公式化简 即得解. 【详解】 因为 ， 所以 ， 所以 . 所以 . 故选：C 【点睛】 本题主要考查向量平行的坐标表示和诱导公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水 平和分析推理能力. 4．如图所示，函数 （ 且 ）的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当 时，y=cosxtanx⩾0，排除 B，D. 当 时，y=−cosxtanx<0，排除 A. 本题选择 C 选项. 5．如图，在三角形 中，已知 ， ， ，点 为 的三 等分点．则 的取值范围为 ( ) / /a b  sinα cos 2 π α +   / /a b  1 1 sintan cos 0, cos 03 3 cos αα α αα− = ∴ − ⋅ = 1sin = 3 α 1cos = sin2 3 π α α + − = −   ABC 2AB = 3AC = BAC θ∠ = D BC AD BC⋅  A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直接利用向量的运算法则和数量积运算把 化为 ，然后由 求得 答案． 【详解】 ， ． ， ． ． 故选： ． 【点睛】 本题考查平面向量的数量积运算，熟练掌握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键， 属 于中档题． 6．函数 的零点的个数是 ( 　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】由 得 ，再在同一坐标系下画出函数 的图像，观察函数的图像即得解. 11 13,3 3  −   1 7,3 3      5 7,3 3  −   5 55,3 3  −   AD BC   12cos 3 θ + 1 cos 1θ− < <  1 1 2 1( )3 3 3 3AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC= + = + = + − = +          ∴ 2 22 1 2 1 1( ) ( ) | | | |3 3 3 3 3AD BC AB AC AC AB AB AC AB AC= + − = − + +             2 1 14 9 2 3cos3 3 3 θ= − × + × + × × 12cos 3 θ= + 1 cos 1θ− < < 5 1 72cos3 3 3 θ∴− < + < ∴ 5 7( , )3 3AD BC ∈ −   C ( ) 1 2 3sin log2f x x x π= − ( ) 0f x = 1 2 3sin =log2 x x π 1 2 3sin log2y x y x π= =和 【详解】 由 得 , 在同一坐标系下画出函数 的图像，如图所示， ， 从图像上看，两个函数有 5 个交点，所以原函数有 5 个零点. 故选：D 【点睛】 本题主要考查函数的零点的个数，考查三角函数的图像和对数函数的图像，意在考查学 生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7．设 为 所在平面内一点， ，若 ， 则 (　 　) A． B．3 C． D．2 【答案】A 【解析】若 ，可得 ，化简与 比较，即可 得出． 【详解】 若 ， ，化为 ， 与 比较，可得： ， ，解得 ． 则 ． 故选： ． ( ) 0f x = 1 2 3sin =log2 x x π 1 2 3sin log2y x y x π= =和 D ABC∆ 1 4 3 3AD AB AC= − +   ( )BC DC Rλ λ= ∈  λ = 3− 2− ( )BC DC Rλ λ= ∈  AC AB AC ADλ λ− = −    1 4 3 3AD AB AC= − +   ( )BC DC Rλ λ= ∈  ∴ AC AB AC ADλ λ− = −    1 1AD AB AC λ λ λ −= +   1 4 3 3AD AB AC= − +   1 1 3λ = − 1 4 3 λ λ − = 3λ = − 3λ = − A 【点睛】 本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题． 8．已知 ，函数 在 上单调递增，则 的取值范围 是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】试题分析：函数 的单调递增区间为 ， 由 ，解得 ， 又 且 ，得 ，所以 . 【考点】三角函数的单调性. 9．若将函数 的图象向左平移 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，将函数 的图象向左平移 个单位长度，得 到 ，由 ，得 ，即平移后 的函数的对称轴方程为 ，故选 C． 【考点】三角函数的图象与性质． 【方法点晴】本题主要考查了三角函数 的图象与性质，着重考查 了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数 的图 象向左平移 个单位长度，得到函数的解析式 ，即可求解三角函数 的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力． 10．已知 ， ， ，点 在 内，且 与 的夹角为 ， 0ω > ( ) cos 4f x x πω = +   ,2 π π     ω 1 5,2 4      1 7,2 4      3 9,4 4      3 7,2 4      cosy x= [ ]2 ,2 ,k k k Zπ π π− + ∈ 2 2 ,2 4k k k Z ωπ ππ π π− + ≤ + ≤ ∈ 5 14 22 4k kω− ≤ ≤ − 5 14 2 02 4k k − − − ≤   12 04k − > 1k = 3 7,2 4 ω  ∈   cos2y x= 12 π ( ) 2 6 kx k Z π π= − ∈ ( ) 2 6 kx k Z x π π= + ∈ ( ) 2 12 kx k Z π π= − ∈ ( ) 2 12 kx k Z π π= + ∈ 2sin2y x= 12 π 2sin 2 6y x π = +   2 ,6 2x k k Z π ππ+ = + ∈ ,2 6 kx k Z π π= + ∈ ,2 6 kx k Z π π= + ∈ ( ) ( )sinf x A wx ϕ= + 2sin2y x= 12 π 2sin 2 6y x π = +   设 ，则 的值为（ ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【解析】 如图所示，建立直角坐标系．由已知 ， ，则 故选 B 11．设函数 对任意的 ,都有 ,若函 数 ,则 的值是（　　） A． B． C．1 D． 或 3 【答案】B 【解析】根据 ，得出 是函数 的一条对称轴，从而求出 的表达式，再函数 的解析式以及 的值． 【详解】 函数 对任意的 都有 ， 是函数 的一条对称轴， ， 即 ， ， ， ； 函数 ． 故选：B 【点睛】 ( ) ( )1 cos2f x xω ϕ= + x R∈ 6 6f x f x π π   − = +       ( ) ( )3sin 2g x xω ϕ= + − 6 π    g 1 2 2− 5− ( ) ( )6 6f x f x π π− = + 6x π= ( )f x ϕ ( )g x ( )6g π  ( ) 2cos( )f x xω ϕ= + x ( ) ( )6 6f x f x π π+ = − 6x π∴ = ( )f x cos( ) 16 π ω ϕ∴ + = ± 6 k π ω ϕ π+ = k Z∈ 6k πϕ π ω∴ = − k Z∈  ( ) ( )3sin 2g x xω ϕ= + − ∴ ( ) 3sin( ) 2 3sin 2 26 6 6g k k π π πω π ω π= + − − = − = − 本题主要考查三角函数的对称轴的问题．注意正余弦函数在其对称轴上取最值，是基础 题目． 12． 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足： ，则 的轨迹一定通过 的(　 　) A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【答案】A 【解析】先根据 、 分别表示向量 、 方向上的单位向量，确定 的方向 与 的角平分线一致，可得到 ，可得答案． 【详解】 、 分别表示向量 、 方向上的单位向量 的方向与 的角平分线一致 又 ， 向量 的方向与 的角平分线一致 一定通过 的内心 故选： ． 【点睛】 本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题． 二、填空题 13．函数 的单调递减区间为_______. 【答案】 O , ,A B C P , [0, ) | | | | AB ACOP OA AB AC λ λ = + + ∈ +∞         P ABC∆ | | AB AB   AC AC   AB AC AB AC AB AC +     BAC∠ ( ) | | | | AB ACOP OA AP AB AC λ− = = +        | | AB AB   AC AC   AB AC ∴ AB AC AB AC +     BAC∠  ( ) | | | | AB ACOP OA AB AC λ= + +      ∴ ( ) | | | | AB ACOP OA AP AB AC λ− = = +       ∴ AP BAC∠ ∴ ABC∆ A ( ) sin 23f x x π = −   5, ( )12 12k k k Z π ππ π − + ∈   【解析】由题得 ，解不等式 得解. 【详解】 由题得 ， 令 ， 所以 故答案为： 【点睛】 本题主要考查诱导公式和三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平和分析推理能力. 14．存在实数 x，使得关于 x 的不等式 成立，则 的取值范围 为 ． 【答案】 【解析】试题分析：存在实数 ，使得关于 的不等式 成立等价于存 在实数 ，使得关于 的不等式 即 成立．所 以只需 ． 令 ，则 ， 所以 ． 所以 ． 【考点】1 二次函数求最值；2 转化思想． 15．已知 ，则 的值是_______. 【答案】0 【解析】直接利用诱导公式化简即得解. 【详解】 ( ) sin 2 3f x x π = − −   2 2 2 ,2 3 2k x k k Z π π ππ π− ≤ − ≤ + ∈ ( ) sin 2 3f x x π = − −   2 2 2 ,2 3 2k x k k Z π π ππ π− ≤ − ≤ + ∈ 5 ,12 12k x k k Z π ππ π− ≤ ≤ + ∈ 5, ( )12 12k k k Z π ππ π − + ∈   2cos sinx a x< − a ( )1,− +∞ x x 2cos sinx a x< − x x 21 sin sinx a x− < − 2sin sin 1x x a− + + < ( )2 min sin sin 1x x a− + + < [ ]sin 1,1x t= ∈ − 2 2 1 51 2 4y t t t = − + + = − − +   51, 4  ∈ −   ( )2 min sin sin 1 1x x− + + = − 1a > − cos (| | 1)6 a a π θ − = ≤   5 2cos sin6 3 π πθ θ   + + −       5 2cos sin =cos[ ( )] sin[ ( )]6 3 6 2 6 π π π π πθ θ π θ θ   + + − − − + + −       = . 故答案为：0 【点睛】 本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能 力. 16．已知正 的边长为 ，平面 内的动点 满足 ，则 的最大值是______. 【答案】 【解析】如图所示，建立直角坐标系． ， ． ．点 的轨迹方 程为： ，令 ， ， ， ．又 ，可得 ，代入 ，即可得出． 【详解】 如图所示，建立直角坐标系． ， ． ． 满足 ， 点 的轨迹方程为： ， 令 ， ， ， ． 又 ，则 ， ． 的最大值是 ． 故答案为： cos( ) cos( ) 06 6 a a π πθ θ− − + − = − + = ABC∆ 2 3 ABC ,P M | | 1,AP PM MC= =   2| |BM 49 4 (0,0)B (2 3,0)C ( 3,3)A P 2 2( 3) ( 3) 1x y− + − = 3 cosx θ= + 3 siny θ= + [0θ ∈ 3 3 1 x x + PM MC=  3 1 3 1( 3 cos , sin )2 2 2 2M θ θ+ + 2 37| | 3sin( )4 3BM πθ= + + (0,0)B (2 3,0)C ( 3,3)A M | | 1AP = ∴ P 2 2( 3) ( 3) 1x y− + − = 3 cosx θ= + 3 siny θ= + [0θ ∈ 3 3 1 x x + PM MC=  3 1 3 1( 3 cos , sin )2 2 2 2M θ θ+ + 2 2 23 3 1 3 1 37 49| | ( cos ) ( sin ) 3sin( )2 2 2 2 4 3 4BM πθ θ θ∴ = + + + = + +  2| |BM∴  49 4 49 4 【点睛】 本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计 算能力， 属于中档题． 三、解答题 17．已知一扇形的圆心角为 α (α>0)，所在圆的半径为 R. (1)若 α＝90°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值 C (C>0)，当 α 为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】（1）根据弧长的公式和扇形的面积公式即可求扇形的弧长及该弧所在的弓形 的面积； （2）根据扇形的面积公式，结合基本不等式即可得到结论． 【详解】 (1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓，则 α＝90°＝ ，R＝10，l＝ ×10＝5π(cm)， S 弓＝S 扇－S△＝ ×5π×10－ ×102＝25π－50(cm2). (2)扇形周长 C＝2R＋l＝2R＋αR， ∴R＝ ， ∴S 扇＝ α·R2＝ α· ＝ · ＝ · ≤ . 当且仅当 α2＝4，即 α＝2 时，扇形面积有最大值 . 【点睛】 本题主要考查扇形的弧长和扇形面积的计算，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计 算能力． 18．已知 是方程 的根， 是第三象限角. （1）求 的值； （2）已知 ，若 是第三象限角，且 ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）先求出 的值，再利用诱导公式化简原式求值得解；（2） 先化简得 ，再求 ，即得解. 【详解】 (1)∵方程 5x2－7x－6＝0 的根为 或 2， 又 是第三象限角，∴sin ＝ ， ∴cos ＝－ ＝ ， ， ∴原式 . (2) . ， 又 α 是第三象限角， . sinα 25 7 6 0x x− − = α ( )2 3 3sin cos2 2 tan cos sin2 2 π πα α π απ πα α    − − −       −    − −       ( ) ( ) ( ) 3sin cos 2 tan 2 tan sin2 f ππ α π α α α π α π α  − − − +  =  + − +   （ ） α 3 1cos 2 5 πα − =   ( )f α 9 16 − 2 6 5 sin cos tanα α α， ， ( ) cosf α α= − 1sin = 5 α − 3 5- α α 3 5- α 21 sin α− 4 5 − 3 sin 35tan 4cos 4 5 αα α − ∴ = = = − 2 2cos ( sin ) 9tan tansin cos 16 α α α αα α −= ⋅ = − = −⋅ 3sin cos tan 22( ) tan sin2 f πα α α π α π α α  ⋅ ⋅ − + −  =  + ⋅   sin cos tan 2 cos tan sin2 πα α α απ α α   ⋅ ⋅ − +    = = −  + ⋅   3 1 1cos sin , sin2 5 5 πα α α − = − = ∴ = −   2 2 6cos 1 sin 5 α α∴ = − − = − 故 . 【点睛】 本题主要考查同角的三角函数关系和诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理 解掌握水平和分析推理能力. 19．已知函数 的图象关于直线 对称， 且图象上相邻最高点的距离为 . (1) 求 的值； (2)函数 图象向右平移 个单位,得到 的图象,求 的单调递减区 间. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）先根据已知求出 ，再求 的值；（2）先求出 函数 g(x)的解析式，再求函数 g(x)的单调递减区间得解. 【详解】 因为 f(x)的图象上相邻最高点的距离为 π， 所以 f(x)的最小正周期 T＝π， 从而 . 又 f(x)的图象关于直线 x＝ 对称， ， ， ， 则 . (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位后，得到 的图象， ， 2 6( ) 5f α = ( ) 3 sin( ) 0, 2 2f x x π πω ϕ ω ϕ = + > − < <   3x π= π 4f π     ( )y f x= 12 π ( )y g x= ( )g x 3 2 5 11, ( Z)12 12k k k π ππ π + + ∈   ( ) 3sin 2 6f x x π = −   4f π     2 2T πω = = 3 π 2 ( Z)3 2k k π πφ π∴ × + = + ∈ , 02 2 k π πφ− < ∴ =  2 , ( ) 3 sin 22 3 6 6f x x π π π πφ  ∴ = − = − ∴ = −   33 sin 2 3 sin4 4 6 3 2f π π π π   = × − = =       12 π 12f x π −   ( ) 3sin 2 3sin 212 12 6 3g x f x x x π π π π      ∴ = − = − − = −             当 ， 即 时，g(x)单调递减. 因此 g(x)的单调递减区间为 . 【点睛】 本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数图像的变换和单调区间的求法， 考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20．已知向量 ， . （1）若 ，求 的值； （2）若 ， ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】试题分析： （1）由向量垂直知两向量的数量积为 0，得 ，代入待求式可得； （2）先求出 ，再由向量模的运算得 ，结合 求 得 ，最后由两角和的正弦公式可得． 试题解析： （1）由 可知， ，所以 ， 所以 . （2）由 可得， ， 即 ，① 又 ，且 ②，由①②可解得， ， 所以 . 21．如图所示，在 中，点 是边 上，且 ，点 在边 上， 且 与 相交于点 ，设 ，用 表示 . 32 2 2 ( Z)2 3 2k x k k π π ππ π+ − + ∈  5 11 ( )12 12k x k k Z π ππ π+ ≤ + ∈ 5 11, ( Z)12 12k k k π ππ π + + ∈   ABC∆ M BC BM MC=  N AC 3 ,AN NC AM=  BN P ,CA a CB b= =    ,a b  CP 【答案】见解析 【解析】设 ， ，用不同的方法表示出 ，求出 ， 的值， 从而得出结论． 【详解】 、 、 三点共线，存在 使得 ，同理可设 ， ， ， ， ，解得 ， ． 【点睛】 本题考查了平面向量的基本定理，考查向量的加法法则和数乘向量，属于中档题． 22．已知函数 (其中 )的图象与轴的 交点中，相邻两个交点之间的距离为 , 且图象上一个最低点为 . (1) 求函数 的最小正周期和对称中心； (2) 将函数 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 ，再把所 得到的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，求函数 在 区间 上的值域. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）先求出函数 f(x)的解析式，再求函数 的最小正周期和对称中心； （2）先求出函数 的解析式，再求函数 在区间 上的值域. 【详解】 由题得 A=2,T= . AP AMλ=  BP BNµ=  CP λ µ A P M λ AP AMλ=  BP BNµ=   1( ) (1 ) 2CP CA AP CA AM CA AC CM CA CBλ λ λ λ= + = + = + + = − +          1( ) (1 ) 4CP CB BP CB BN CB BC CN CB CAµ µ µ µ= + = + = + + = − +          1 4 µλ∴ − = 11 2 µ λ− = 4 6=7 7 µ λ= ， ∴ 6 1 6 1 3(1 )7 2 7 7 7CP CA CB a b= − + × = +    ( ) sin( ),f x A x x Rω ϕ= + ∈ 0, 0,0 | | )2A πω ϕ> > < < 2 π 5( , 2)6M π − ( )f x ( )y f x= 1 2 6 π ( )y g x= ( )y g x= 6 12 π π −  ， ( ),02 1, 2 k k Z π ππ  + ∈   [ ]1,2− ( )f x ( )y g x= ( )y g x= 6 12 π π −  ， 22 , 22 ww π ππ× = = ∴ = 又因为 ，因为 ， 所以 . 所以 f(x)＝＝2sin ， 所以函数 f(x)的最小正周期为 T＝π， 令 ， ∴f(x)的对称中心为 ，k∈Z. (2)函数 y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 ， 得到 y＝2sin ； 再把所得到的图象向左平移 个单位长度， 得到 ， 当 时， ， 所以当 x＝0 时，g(x)max＝2，当 x＝ 时，g(x)min＝－1. ∴y＝g(x)在区间 上的值域为[－1，2]. 【点睛】 本题主要考查三角函数图像的变换和解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5 5( ) 2sin(2 )=-26 6f π π ϕ= ⋅ + 0 | | 2 πϕ< < = 6 πϕ − 2 6x π −   2 , ,6 2 12 kx k k Z x π π ππ− = ∈ ∴ = + ( ,0)2 12 kπ π+ 1 2 4 6x π −   6 π ( ) 2sin 4 2sin 4 2cos46 6 2g x x x x π π π    = + − = + =         ,6 12x π π ∈ −   24 ,3 3x π π ∈ −   6 π− ,6 12 π π −  