【数学】2019届一轮复习人教A版第3章三角函数三角恒等变换及解三角形第9课时三角函数的综合应用学案

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【数学】2019届一轮复习人教A版第3章三角函数三角恒等变换及解三角形第9课时三角函数的综合应用学案

第9课时 三角函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)70 72页)‎ ‎  理解和掌握同角三角函数的基本关系式、三角函数的图象和性质、两角和与差的正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定理和余弦定理,并能运用它们解决有关三角函数的综合问题.‎ ‎1. C级考点:两角和与差的正弦、余弦和正切公式.‎ ‎2. B级考点:(1) 同角三角函数的基本关系式;‎ ‎(2) 二倍角公式;‎ ‎(3) 三角函数的图象和性质;‎ ‎(4) 正弦定理和余弦定理.‎ ‎1. (必修5P11习题6改编)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中A=120°,b=1,且△ABC的面积为,则c=__________.‎ 答案:4‎ 解析:S△ABC=bcsin 120°=,即c×=,∴ c=4.‎ ‎2. 函数y=sin x·cos x·cos 2x的最小正周期为_________.‎ 答案: 解析:y=sin 2x·cos 2x=sin 4x,最小正周期为T==.‎ ‎3. (必修5P11习题5改编)在△ABC中,若==,则△ABC的形状是__________.‎ 答案:等腰直角三角形 解析:由==及正弦定理得,tan B=tan C=1,且B,C是三角形的内角,所以B=C=,A=,故△ABC是等腰直角三角形.‎ ‎4. △ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos C,bcos B,ccos A成等差数列,则角B等于________.‎ 答案:60°‎ 解析:由题意得acos C+ccos A=2bcos B,由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos B,sin(A+C)=2sin Bcos B,即sin B=2sin Bcos B,得cos B=.又0°<B<180°,所以B=60°.‎ ‎5. 函数y=cos 2x-2cos x的值域是__________.‎ 答案: 解析:y=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1=2(cos x-)2-.因为cos x∈[-1,1],所以y∈.‎ ‎1. 同角三角函数的基本关系式 sin2α+cos2α=1,tan α=.‎ ‎2. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β,cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β,tan(α±β)=.‎ ‎3. 二倍角公式:sin 2α=2sin αcos α,cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan 2α=.‎ ‎4. 三角函数的图象和性质 ‎5. 正弦定理和余弦定理 ‎(1) 正弦定理:===2R(R为三角形外接圆的半径).‎ ‎(2) 余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A,cos A=. ‎ ‎[备课札记]‎ ‎,         1 三角函数与解三角形)‎ ‎,     1) 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(x)=2sin(x-A)cos x+sin(B+C)(x∈R),函数f(x)的图象关于点对称.‎ ‎(1) 当x∈时,求函数f(x)的值域;‎ ‎(2) 若a=7,且sin B+sin C=,求△ABC的面积.‎ 解:(1) f(x)=2sin(x-A)cos x+sin(B+C)‎ ‎=2(sin xcos A-cos xsin A)cos x+sin A ‎=2sin xcos Acos x-2cos2xsin A+sin A ‎=sin 2xcos A-cos 2xsin A=sin(2x-A),‎ 因为函数f(x)的图象关于点对称,所以f=0,‎ 即sin=0.‎ 又A∈(0,π),则A=,则f(x)=sin.‎ 由于x∈,则2x-∈,即-0,则cos A=>0.‎ ‎∵ 0.‎ 因此角A的取值范围是.‎ ‎3. (2017·苏州调研)已知△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(2sin B,-),n=(cos 2B,2cos2-1),且m∥n.‎ ‎(1) 求锐角B的大小;‎ ‎(2) 如果b=2,求S△ABC的最大值.‎ 解:(1) ∵ m∥n,‎ ‎∴ 2sin B=-cos 2B,‎ ‎∴ sin 2B=-cos 2B,即tan 2B=-.‎ ‎∵ B为锐角,∴ 2B∈(0,π),∴ 2B=,∴ B=.‎ ‎(2) ∵ B=,b=2,‎ ‎∴ 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得a2+c2-ac-4=0.‎ 又a2+c2≥‎2ac,代入上式,得ac≤4,当且仅当a=c=2时等号成立.‎ 故S△ABC=acsin B=ac≤,当且仅当a=c=2时等号成立,即S△ABC的最大值为.‎ ‎4. 已知函数f(x)=2sin2(x+)-cos 2x,x∈,设x=α时f(x)取到最大值.‎ ‎(1) 求f(x)的最大值及α的值;‎ ‎(2) 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=α-,且sin Bsin C=sin‎2A,判断△ABC的形状.‎ 解:(1) 由题意可得 f(x)=-cos 2x ‎=1+sin 2x-cos 2x=1+2sin.‎ 又x∈,∴ ≤2x-≤,‎ 故当2x-=,即x=α=时,f(x)max=3.‎ ‎(2) 由(1)知A=α-=,‎ 又sin Bsin C=sin‎2A,∴ bc=a2.‎ ‎∵ a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc, ‎ ‎∴ b2+c2-bc=bc,即(b-c)2=0,故b=c.‎ ‎∴ △ABC是等边三角形.‎ ‎5. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.‎ ‎(1) 求证:sin Asin B=sin C;‎ ‎(2) 若b2+c2-a2=bc,求tan B.‎ ‎(1) 证明:根据正弦定理,可设=== ( >0),‎ 则a= sin A,b= sin B,c= sin C.‎ 代入+=,得 +=,可变形得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).‎ 在△ABC中,由A+B+C=π,‎ 得sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,‎ 所以sin Asin B=sin C.‎ ‎(2) 解:由已知,b2+c2-a2=bc,‎ 根据余弦定理,有cos A==.‎ 所以sin A==.‎ 由(1)得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,‎ 所以sin B=cos B+sin B,‎ 故tan B==4.‎ ‎1. 三角变换的基本策略是化异为同,即将函数名称、角、次数等化异为同.‎ ‎2. 对于函数y=Asin(ωx+φ)+B,常用“五点法”画图象,运用整体思想研究性质.‎ ‎3. 求三角函数的单调区间、周期,及判断函数的奇偶性,要注意化归思想的运用,通过恒等变换转化为基本三角函数类型,注意变形前后的等价性.‎ ‎4. 解三角函数的综合题时应注意:‎ ‎(1) 与已知基本函数对应求解,即将ωx+φ视为一个整体X.‎ ‎(2) 将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数,如y=Asin(ωx+φ)+B或y=asin 2x+bsin x+c.‎ ‎(3) 换元方法在解题中的运用.‎
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