【数学】2019届一轮复习北师大版 概率与统计 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 概率与统计 学案

第十二章 概率与统计 古典概型、几何概型 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，①有限性试 验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②等可能性 每个基本事件出现的可能性相等，简称古典概型．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝．从集合的角度去看待古典概型，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．故．‎ ‎2．几何概型 事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型．在几何概型中，事件A的概率定义为 ，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 ①无限性 在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；②等可能性 每个结果的发生具有等可能性．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 （1）解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．‎ ‎（2）在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性． - ‎ ‎（3）当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018四川成都七中高三二诊（3月）】‎ 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 ‎ ‎（1）列举法；‎ ‎（2）树状图法 适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；‎ ‎（3）列表法 适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化；‎ ‎（4）排列组合法 适用于限制条件较多且元素数目较多的题目．‎ 例2．【2018山东烟台高三上 期期末考试】在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得 ，即，解得，所求的概率为，故选．‎ ‎【名师点睛】‎ ‎1．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．‎ ‎2．常见的几何概型的类型有 ‎ ‎（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；‎ ‎（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；‎ ‎（3）与体积有关的几何概型．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018江西宜春昌黎实验 校高三第二次段考】五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起 ；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起 的概率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎2．如图是一只蜘蛛的辛勤劳动成果，已知该蜘蛛 从内到外由一系列嵌套的正六边形组成，其中最内部的正六边形的边长为a，且从内至外正六边形的边长满足数量关系a，2a，3a，4a，…，其中最内部正六边形区域称为“死亡区域”，只要猎物进入该区域则一定会被捕获，现在有一只蜜蜂飞向该蜘蛛 ，且其通过该蜘蛛 的最大范围不会超过从内至外的第三个正六边形，则猎物一定会被捕获的概率为(　　) ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】记“猎物一定会被捕获”为事件A，由题易知该概率模型为几何概型，事件A 所包含的基本事件构成区域的面积为6×a×a=a2，总的基本事件构成的区域的面积为6××3a××3a=a2，则P(A)=．故选B．‎ 条件概率与二项分布（理）‎ ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．条件概率 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“________” 表示，其计算公式为P(B|A)＝．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝＝，其中，在实际应用中P(B|A)＝是一种重要的求条件概率的方法．‎ ‎2．相互独立事件 对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A与B是相互独立事件．若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝P(A)P(B)．若A与B相互独立，则A与、与B、与也都相互独立，反之，若P(A∩B)＝P(A)P(B)，则A与B是相互独立事件．‎ 注意 “互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系 相同点为二者都是描述两个事件间的关系．不同点是针对问题的角度不同．互斥事件是针对一次试验下的两个事件A，B能不能同时发生，相互独立事件是针对两次或更多次不同试验下出现的两个事件A，B，一个事件对另一个事件发生的概率有没有影响．具体 说，相互独立事件，不是一个事件对另一个事件发生没有影响，而是一个事件对另一个事件发生的概率没有影响．互斥事件不一定是相互独立事件，相互独立事件不一定是互斥事件．若存在不可能事件即概率为0的情况，如在数轴上取一个数，设事件A=“取到的数是1”，事件B=“取到的数是2”，则A、B既互斥又相互独立；但若A、B互斥，且P(A)>0，P(B)>0，则它们不可能互相独立 因为A发生的条件下，B不可能发生，即，所以A、B不是相互独立事件．‎ ‎3．概率的计算公式 ‎ ‎①等可能事件的概率计算公式 ；‎ ‎②互斥事件的概率加法公式 P(A+B)＝P(A)+P(B)；‎ ‎③对立事件的概率计算公式是 P()=1－P(A)；‎ ‎④相互独立事件同时发生的概率计算公式是 P(A•B)＝P(A)•P(B)；‎ ‎⑤独立事件重复试验的概率计算公式是 ．‎ ‎4．离散型随机变量及其分布列 ‎ 离散型随机变量的分布列的概念 如果随机试验的结果可以用一个变量X 表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫做随机变量；如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出 ，这样的随机变量叫做离散型随机变量．设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列，具有性质 ‎ ‎（ⅰ）pi_0，i＝1，2，…，n；（ⅱ）p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1．‎ ‎5．二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生 次的概率是 （其中），于是得到随机变量ξ的概率分布如下 我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记．二项分布实际上是对n次独立重复试验而言的，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布．当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体 说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列．‎ ‎（8）数 期望与方差．‎ ‎①期望 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ‎…‎ ‎…‎ P ‎…‎ ‎…‎ 则称为ξ的数 期望或平均数、均值．数 期望又简称期望．数 期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．‎ ‎②方差、标准差的定义 当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差．显然，故为ξ的根方差或标准差．随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度．越小，稳定性越高，波动越小．‎ ‎③均值与方差的常用性质 ‎ E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；若已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解．‎ ‎④期望与方差的关系 (ⅰ)如果和都存在，则；‎ ‎(ⅱ)设和是互相独立的两个随机变量，则，（不作要求）；‎ ‎(ⅲ)期望与方差的转化 ；(ⅳ) （因为为一常数）．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 ‎ ‎（1）求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点 ‎①求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．‎ ‎②一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．‎ ‎③注意辨别独立重复试验的基本特征 ①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．‎ ‎（2）解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路 ‎ ‎①明确随机变量可能取哪些值．‎ ‎②结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．‎ ‎③根据概率分布和期望、方差公式求解．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018广西壮族自治区玉林高中高三高考冲刺模拟】某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，由题意得．由条件概率的定义可得．选C．‎ ‎【方法点睛】条件概率的求法 ‎（1）利用定义，分别求P(A)和P(AB)，最后利用公式计算．‎ 注意 事件A与事件B有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P(AB)的求法．‎ ‎（2）当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得．‎ 例2．【2018东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中 ）高三一模】从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，记“第一次抽到奇数”为事件A，记“第二次抽到偶数”为事件B，则，，所以．故选B．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018湖北襄阳四中高三模拟】某单位员工人参加“ 雷锋”志愿活动，按年龄分组 第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）下表是年龄的频率分布表，求正整数的值；‎ 区间 人数 ‎（2）现在要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取人，年龄在第组抽取的员工的人数 分别是多少？‎ ‎（3）在（2）的前提下，从这人中随机抽取人参加社区宣传交流活动，求至少有人年龄在第组的概 率．‎ ‎【答案】（1），；（2）人，人，人；（3）．‎ ‎（3） 设第组的位员工为，第组的位员工为，第组的位员工为，则从六位员工为员工中的两位员工有 ，‎ 共种可能．其中人年龄都不在第组的有 ，共种可能．所以至少有人年龄在第组的概率为．‎ 考点 分层抽样，古典概型概率．‎ ‎【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 （1）列举法；（2）树状图法 适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法 适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化；（4）排列组合法 适用于限制条件较多且元素数目较多的题目．‎ ‎2．【2018吉林长春十一中、东北师大附中、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联合模拟】为了调查观众对电视剧《风筝》的喜爱程度，某电视台举办了一次现场调查活动．在参加此活动的甲、乙两地观众中，各随机抽取了8名观众对该电视剧评分做调查（满分100分），被抽取的观众的评分结果如图所示．‎ ‎（Ⅰ）计算 ①甲地被抽取的观众评分的中位数；②乙地被抽取的观众评分的极差；‎ ‎（Ⅱ）用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行评分调查，记抽取的4人评分不低于90分的人数为，求的分布列与期望；‎ ‎（Ⅲ）从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，求乙地被抽取的观众评分低于90分的概率．‎ ‎【答案】(Ⅰ)中位数是83，极差是；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ) ．‎ ‎【解析】试题分析 （Ⅰ）直接利用茎叶图求解甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众评分的极差；； （Ⅱ）记“从乙地抽取1人进行评分调查，其评分不低于90分”为事件，则 随机变量的所有可能取值为，，且得到分布列，然后求解期望．‎ ‎（Ⅲ）设事件为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，两人中至少一人评分不低于90分”，事件为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，乙地观众评分低于90分”，则 根据条件概率公式，可求乙地被抽取的观众评分低于90分的概率．‎ 试题解析 ‎ ‎（Ⅰ）由茎叶图可知，甲地被抽取的观众评分的中位数是83，乙地被抽取的观众评分的极差是 ‎（Ⅱ）记“从乙地抽取1人进行评分调查，其评分不低于90分”为事件，则 随机变量的所有可能取值为，，且，所以 ‎，，所以的分布列为 ‎∴．‎ ‎（Ⅲ）由茎叶图可得，甲地被抽取的8名观众中有2名观众评分不低于90分，乙地被抽取的8名观众中有2名观众评分不低于90分，设事件为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，两人中至少一人评分不低于90分”，事件为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，乙地观众评分低于90分”，所以，，根据条件概率公式，得．‎ 所以在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，乙地被抽取的观众评分低于90分的概率为．‎ ‎【方法点睛】求解离散型随机变量的数 期望的一般步骤为 ‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率乘法公式，以及对立事件的概率减法公式等），求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数 期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．‎ 抽样方法 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．简单随机抽样 一般地，从元素个数为N的总体中逐个不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．最常用的简单随机抽样的方法 抽签法和随机数法．简单随机抽样适用范围是 总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小．‎ ‎2．系统抽样 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，第一步，先将总体的N个个体编号；第二步，确定分隔间距，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取 ＝；当(n是样本容量)不是整数时，先用简单随机抽样剔除-[]个个体，取 ＝[]；第三步，在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l≤ )；第四步，按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔 得到第2个个体编号，再加 得到第3个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本．系统抽样的适用范围是 元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等．‎ ‎3．分层抽样 当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不交叉的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样的应用范围是 总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1必备技能 在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分成几个组，则分段间隔即为 (为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围．但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值．‎ ‎2典型例题 ‎ 例1．【2018福建福州高三3月质量检测】为了解某地区的“微信健步走”‎ 活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )‎ A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按年龄段分层抽样 D．系统抽样 ‎【答案】C ‎【解析】我们常用的抽样方法有 简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，‎ 事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．了解某地区的“微信健步走”活动情况，，按年龄分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理，故选C．‎ 例2．【2018河北省保定市高三模拟】某工厂的三个车间在12月份共生产了双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为、、，且，则第二车间生产的产品数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由分层抽样可得第二车间应抽取的产品数为 ‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018江西南康中 、于都中 高二上 期第四次联考】随着“银发浪潮”的涌 ，养老是当下普遍关注的热点和难点问题，某市创新性的采用“公建民营”的模式，建立标准的“日间照料中心”，既吸引社会力量广泛参与养老建设，也方便规范化管理，计划从中抽取5个中心进行评估，现将所有中心随机编号，用系统（等距）抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有5号23号和29号，则下面号码中可能被抽到的号码是（ ）‎ A．9 B．12 C．15 D．17‎ ‎【答案】D ‎【解析】由等距抽样的方法可知，23号和29号差6，则可以抽到5号，11号，17号，23号，29号，故选D．‎ ‎2．【2018江苏南通高三上 期第一次调研】已知某校高一、高二、高三的 生人数分别为，，．为了解该校 生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的 生中抽取容量为的样本，则应从高三年级抽取_________名 生．‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】由分层抽样得应从高三年级抽取名 生．‎ 频率分布直方图与茎叶图 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．①频率分布直方图 在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各长长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1．连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越 越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精细的反映出总体的分布规律．‎ ‎2．频率分布直方图的步骤如下 (ⅰ)求极差；(ⅱ)确定组距和组数；(ⅲ)将数据分组；(ⅳ)列频率分布表；(ⅴ)画频率分布直方图．频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状．‎ ‎3．茎叶图 茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出 的数．‎ 茎叶图表示数据有两个突出的优点 ‎ 其一是统计图上没有原始数据的损失，所有信息都可以从这个茎叶图中得到，其二是在比赛时随时记录，方便记录与表示．‎ ‎4．当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始信息，而且可以随时记录，给记录和表示都带 方便．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1必备技能 ‎ ‎（1）在频率分布直方图中估计中位数和平均数的方法 ‎①中位数 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．‎ ‎②平均数 在频率分布直方图中，平均数等于图中每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．‎ ‎（2）平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．‎ ‎2典型例题 ‎ 例1．【2018湖南张家界全市联考】如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】甲 13，15，23，26，28，34，37，39，41，所以中间的数是28，乙 15，24，25，32，36，37，38，45，47，中间的数是36，所以甲的中位数是28，乙的中位数是36，所以和是28+36=64，故选C．‎ 例2．【2018福建莆田高三下 期教 质量检测（3月）】为了解某校一次期中考试数 成绩情况，抽取100位 生的数 成绩，得如图所示的频率分布直方图，其中成绩分组区间是，则估计该次数 成绩的中位数是（ ）‎ A．71．5 B．71．8 C．72 D．75‎ ‎【答案】C ‎【解析】的频率为 ；的频率为 ；的频率为 ；的频率为 ；的频率为 ；的频率为 ．所以，得 ．‎ 的频率和为 ．‎ 由，得中位数为 ．故选C．‎ ‎【方法点睛】用频率分布直方图估计总体特征数字的方法 ‎ ‎①众数 最高小长方形底边中点的横坐标；‎ ‎②中位数 平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；‎ ‎③平均数 频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018年春高三模拟】甲乙两个竞赛队都参加了6场比赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示(单位 分)，其中乙队的一个得分数字被污损，那么估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率为(　　) ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设乙队被污损的得分数字的个位数为x，甲队平均分为(38+41+44+46+49+52)=45．‎ 乙队平均分为(31+47+40+x+42+51+54)=．‎ ‎∵x的可能取值的个数是10个，满足>45的x的个数有4个，∴估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率P=．故选 C．‎ ‎2．【2018贵州黔东南州高三一模】经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”．如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在．根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误的是（ ）‎ A．旅游总人数逐年增加 B．2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和 C．年份数与旅游总人数成正相关 D．从2014年起旅游总人数增长加快 ‎【答案】B ‎【解析】从图表中看出，旅游的总人数逐年增加时正确的；年份数与旅游总人数成正相关，是正确的；从2014年起旅游总人数增长加快是正确的；其中选项明显错误，故选B．‎ 样本的数字特征、变量间的相关关系与独立性检验 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．用样本的数字特征估计总体的数字特征 ‎ ‎①平均数 样本数据的算术平均数，即．‎ ‎②样本方差、标准差 ‎ 方差，标准差 ‎2．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．‎ ‎3．两个变量间的相关关系 ‎ ‎①有关概念 相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由小变大，这种相关称为正相关；如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关；如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系．‎ ‎②回归方程 求回归直线，使“离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法，用最小二乘法求得回归方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据的回归方程，其中是待定参数．从与的计算公式与 ‎ ‎ 可以看出 (ⅰ)回归直线必过点；(ⅱ)与符号相同．‎ ‎③回归分析 是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，主要判断特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数 表达式．比如线性回归分析就是分析求出的回归直线是否有意义，而判断的依据就是|r|的大小 |r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱．从散点图 看，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．‎ 线性相关检验的步骤如下 ‎ ‎(ⅰ)作统计假设 x与Y不具有线性相关关系；‎ ‎(ⅱ)根据小概率0．05与n－2在附表中查出r的一个临界值；‎ ‎（ⅲ）根据样本相关系数计算公式求出r的值；‎ ‎（ⅳ）作统计推断，如果|r|>，表明有95 的把握认为x与Y之间具有线性相关关系；‎ ‎ 如果|r|≤，我们没有理由拒绝原 的假设．这时寻找回归直线方程是毫无意义的．‎ ‎4．独立性检验 2×2列联表 B 合计 A n11‎ n12‎ n1＋‎ n21‎ n22‎ n2＋‎ 总计 n＋1‎ n＋2‎ n 构造一个随机变量，利用随机变量χ2 判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验 ‎ 若，则有95 把握认为A与B有关；若，则有99 把握认为A与B有关；‎ 其中是判断是否有关系的临界值，应判断为没有充分证据显示A与B有关，而不能作为小于95 的量化值 判断．‎ 注意 线性回归分析以散点图为基础，具有很强的直观性，有散点图作比较时，拟合效果的好坏可由直观性直接判断，没有散点图时，只须套用公式求r，再作判断即可．独立性检验没有直观性，必须依靠作判断．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1必备技能 ‎ ‎（1）在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1．‎ ‎（2）众数、中位数及平均数的异同 众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．‎ ‎（3）当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布．‎ ‎①总体期望的估计，计算样本平均值．‎ ‎②总体方差(标准差)的估计 ，标准差，‎ 方差(标准差)较小者较稳定．‎ ‎2典型例题 ‎ 例1．【2018吉林长春十一中、东北师大附中、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联合模拟】下列命题 ①在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好；②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少0．5个单位；④对分类变量与，它们的随机变量的观测值 说，越小，“与有关系”的把握程度越大．其中正确命题的个数是（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C ‎【解析】对于①，在回归分析模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好，正确，因为相关指数越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好，①正确．对于②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；对于③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少0．5个单位；正确；‎ 对于④对分类变量与，它们的随机变量的观测值 说，越小，“与有关系”的把握程度越大．错误，因为在对分类变量与进行独立性检验时，随机变量的观测值越大，则“与相关”可信程度越大，故④错误；故选C．‎ 例2．【2018四川南充高三第二次（3月）高考适应性考试】某校开展“翻转合作 习法”教 试验，经过一年的实践后，对“翻转班”和“对照班”的全部220名 生的数 习情况进行测试，按照大于或等于120分为“成绩优秀”，120分以下为“成绩一般”统计，得到如下的列联表 ‎ 成绩优秀 成绩一般 合计 对照班 ‎20‎ ‎90‎ ‎110‎ 翻转班 ‎40‎ ‎70‎ ‎110‎ 合计 ‎60‎ ‎160‎ ‎220‎ ‎（1）根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0．001的前提下认为“成绩优秀与翻转合作 习法”有关；‎ ‎（2）为了交流 习方法，从这次测试数 成绩优秀的 生中，用分层抽样方法抽出6名 生，再从这6名 生中抽3名出 交流 习方法，求至少抽到1名“对照班” 生交流的概率．‎ 附表 ‎ ‎0．10‎ ‎0．05‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎0．005‎ ‎0．001‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ ‎7．879‎ ‎10．828‎ ‎【答案】（1）不能认为“成绩优秀与翻转合作 习法”有关；（2）‎ ‎【解析】试题分析 （Ⅰ）根据公式，求得的值，再根据附表，即可作出判断，得到结论；‎ ‎（Ⅱ）由分层抽样可知 在这 6 名 生中，设“对照班”的两名 生分别为，“翻转班”的 4 名 生分别为，列出基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求得概率．‎ 试题解析 ‎ ‎（1）‎ 所以，在犯错误的概率不超过 0．001 的前提下，不能认为“成绩优秀与翻转合作 习法”有关．‎ ‎（2）设从“对照班”中抽取人，从“翻转班”中抽取人，由分层抽样可知 在这 6 名 生中，设“对照班”的两名 生分别为，“翻转班”的 4 名 生分别为，则所有抽样情况如下 ‎ ‎ 共 20 种．‎ 其中至少有一名“对照班” 生的情况有 16 种，‎ 记事件为至少抽到 1 名“对照班” 生交流，则．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018吉林长春十一中、东北师大附中、吉林一中、重庆一中等五校高三1月联合模拟】已知下列命题 ‎ ‎①在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好；‎ ‎②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；‎ ‎③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少0．5个单位；‎ ‎④对分类变量与，它们的随机变量的观测值 说，越小，“与有关系”的把握程度越大．其中正确命题的序号是__________．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎2．【2018山东淄博高三3月模拟考试】响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文 的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文 的有36人，不喜欢的有44人．‎ ‎（1）能否在犯错误的概率不超过0．25的前提下认为喜欢阅读古典文 与性别有关系？‎ ‎（2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文 ．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记为参加交流会的5人中喜欢古典文 的人数，求的分布列及数 期望．‎ 附 ，其中．‎ 参考数据 ‎ ‎0．50‎ ‎0．40‎ ‎0．25‎ ‎0．15‎ ‎0．10‎ ‎0．05‎ ‎0．455‎ ‎0．708‎ ‎1．323‎ ‎2．072‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．‎ ‎【解析】试题分析 （1）根据所给数据，制作列联表，利用公式求得，与临界值比较，即可得结论；（2）的所有可能取值为，求出相对应的概率，即可得到的分布列及数 期望．‎ 试题解析 （1）根据所给条件，制作列联表如下 ‎ 男 女 总计 喜欢阅读古典文 ‎ ‎64‎ ‎36‎ ‎100‎ 不喜欢阅读古典文 ‎ ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ 总计 ‎120‎ ‎80‎ ‎200‎ ‎∴的观测值，‎ ‎∵的观测值，由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0．25的前提下认为喜欢阅读古典文 与性别有关；‎ ‎（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文 的男代表人，女代表人，则，‎ 根据已知条件可得，；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎，‎ ‎∴的分布列是 ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎∴．‎ ‎（一）选择题（12 5=60分）‎ ‎1．【2018湖南高三十四校联考】在区间上随机取一个数，则满足的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，根据几何概型的知识可知概率为．故选 ‎2．【2018湖南（长郡中 、株洲市第二中 ）、江西（九江一中）等十四校高三第一次联考】袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“”“”“”“”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】从球“”“”“”“”中随机选取三个球有种取法，能成等差数列的取法只有一种，为“0”“1”“2”，即概率为．故选D．‎ ‎3．【2018辽宁省朝阳市高三一模】在平面直角坐标系中，设，，向中随机投一点，则所投点在 中的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】区域D的面积为，区域E的面积为，所以所投点在中的概率，故选B．‎ ‎4．【2018衡水金卷（二）】袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】用A表示甲摸到白球，B表示乙摸到白球，则，，∴．故选B．‎ ‎5．【2018江西抚州高三八校联考】已知直线与两坐标轴围成的区域为，不等式组所形成的区域为，现在区域中随机放置一点，则该点落在区域的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】 作出约束条件表示的可行域，如图所示，其面积为，由，解得，即，所得区域的面积为，根据几何概型及其概率公式，得该点落在区域内的概率为，故选C．‎ ‎ ‎ ‎6．【2018河北衡水高三金卷（三）】某高三 生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】次独立重复实验，故概率为．故选A．‎ ‎7．【2018内蒙古赤峰二中高三模拟】为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛．现有10名同 参加足球射门比赛，已知每名同 踢进的概率均为，每名同 有2次射门机会，且各同 射门之间没有影响．现规定 踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记为10个同 的得分总和，则的数 期望为（ ）‎ A．30 B．40 C．60 D．80‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意每个 生的得分服从二项分布，其中，所以由二项分布的数 期望公式可得每个 生的数 期望为，因此10个同 的的数 期望是，应选答案C．‎ ‎8．【2018福建厦门一中高三模拟】如图所示，在边长为1的正方形内任取一点，用表示事件“点恰好自由曲线与直线及轴所围成的曲边梯形内”，表示事件“点恰好取自阴影部分内”，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，正方形的面积为1×1=1，而与直线及轴所围成的曲边梯形的面积为，而阴影部分的面积为∴正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为，故选A．‎ ‎9．【2018河北武邑中 高三第三次模拟考试】下列有关结论正确的个数为（ ）‎ ‎①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“4个人去的景点不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，则；‎ ‎②设函数存在导数且满足，则曲线在点处的切线斜率为-1；‎ ‎③设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为；‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎10．【2018江西重点中 协作体高三第二次联考】记“点满足（）”为事件，记“满足”为事件，若，则实数的最大值为（ ）‎ A． B． C．1 D．13‎ ‎【答案】A ‎【解析】 要使得，则不等式所表示的区域在不等式组所表示的平面区域内，又由圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为；圆心到直线的距离为；‎ 圆心到直线的距离为；因为，所以，所以实数的最大值为，故选A．‎ ‎11．【2018河南郑州高三一模】我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名 生参加2018年全国高中数 联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班 生成绩的中位数是81，乙班 生成绩的平均数是86，若正实数满足 成等差数列且成等比数列，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】甲班 生成绩的中位数是，解得．‎ 由茎叶图可知乙班 生的总分为，又乙班 生成绩的平均数是，总分又等于，，若正实数满足成等差数列且成等比数列，则，，即有，，则，故选C．‎ ‎12．【2018四川绵阳南山中 高三二诊热身考试】以下四个命题中 ‎ ‎①某地市高三理 生有15000名，在一次调研测试中，数 成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式抽取100分试卷进行分析，则应从120分以上（包括120分）的试卷中抽取15分；‎ ‎②已知命题，，则，；‎ ‎③在上随机取一个数，能使函数在上有零点的概率为；‎ ‎④在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，用分层抽样的20名男乘客中有5名晕机，12名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用独立性检验，有97 以上的把握认为与性别有关．‎ ‎0．15‎ ‎0．1‎ ‎0．05‎ ‎0．025‎ ‎2．072‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ 其中真命题的序号为（ ）‎ A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于①，在一次调研测试中，数 成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），∴数 成绩ξ关于ξ=100对称，∵P（80＜ξ≤100）=0．40，∴P（ξ＞120）=P（ξ＜80）=0．5-0．40=0．1，则该班数 成绩在120分以上的人数为0．1×100=10，故①错误；对于②，已知命题p ∀x∈R，sinx≤1，则￢p ∃x∈R，sinx＞1，故②正确；对于③，由()2−8≥0，解得m≤-2或m≥2，∴在[-4，3]上随机取一个数m，能使函数在R上有零点的概率为，故③正确；对于④，填写2×2列联表如下 ‎ 晕机 不晕机 合计 男乘客 ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ 女乘客 ‎8‎ ‎4‎ ‎12‎ 合计 ‎13‎ ‎19‎ ‎32‎ 则 2的观测值 ＝有97 以上的把握认为晕机与性别有关．故④对，故选B．‎ ‎（二）填空题（4 5=20分）‎ ‎13．【2018河北衡水一中高三八模】我市某小 三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男、女生分层抽取的 生进行某项调查，则两个班共抽取男生人数是__________．‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】甲班有男生30人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男生分层抽取20 的 生，故有30×20 +25×20 =6+5=11，故答案为 11．‎ ‎14．【2018山西太原高三3月模拟考试（一）】某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得共有 ‎ 这15种，‎ 其中甲领取的钱数不少于其他任何人的事件有这6种，所以概率为 ‎15．【2018江西南昌高三一模】在圆上任取一点，则该点到直线的距离的概率为________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆心到直线的距离为 ，则直线与圆相切，设直线与直线的距离为1，则 或，‎ 如图所示，设直线与圆交于两点，由题意可得 ，‎ 则，则为满足题意的点，由角度型几何概型公式可得满足题意的概率值 ．‎ ‎16．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组 第1组，第2组，第3组 ‎，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取　　　名志愿者？‎ ‎（2） 在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则第4组至少有一名志愿者被抽中的概率是　　　　　　． ‎ ‎【答案】（1）第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人；（2）．‎ ‎【解析】（1） 第3组的人数为0．3×100=30，第4组的人数为0．2×100=20，第5组的人数为0．1×100=10．‎ 因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为 第3组 ×6=3；第4组 ×6=2；第5组 ×6=1．所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．‎