2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

‎2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先解得集合，，再根据补集的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：，，，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.‎ ‎2．已知函数，则“”是“，使”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】通过c＜0，判断函数对应的不等式有解，说明充分性；不等式有解，说明c的值不一定小于0，判断必要性即可．‎ ‎【详解】‎ 已知函数，则“”时，函数与轴有两个交点，所以“，使”成立.‎ 而“，使”.即，所以，即，‎ 不一定有，如.‎ 综上，函数.则“”是“，使”的充分不必要条件；‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充要条件的判断与应用，二次函数与二次不等式的解集的关系，考查计算能力．‎ ‎3．设,,则   ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，‎ 所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用指、对数函数的单调性比较数值大小，难度一般.利用指、对数函数单调性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：.‎ ‎4．若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：画出不等式组的平面区域如题所示，由得，由得，由题意可知,当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，两直线的距离最小，即．故选B．‎ ‎【考点】线性规划．‎ ‎5．函数的图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，‎ 当时，，排除A；‎ 当时，，排除D．故应选C．‎ ‎【点睛】‎ 函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.‎ ‎6．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数不可能是（ ）‎ A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：根据程序框图：；；；当．当时，；当时，；当时，；当时，，所以选A．‎ ‎【考点】1.程序框图；2.数列裂项相消法求和．‎ ‎【易错点晴】本题主要考查的是程序框图和数列中的裂项相消法，属于中档题．在给出程序框图求解输出结果的试题中一定要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，根据前面的式子找到其中的规律，对本题来说就是这个程序框图的本质是利用裂项相消法求和，所以，又，找到各项满足条件的即可．‎ ‎7．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】记三角形数构成的数列为，计算可得；易知．据此确定复合题意的选项即可.‎ ‎【详解】‎ 记三角形数构成的数列为，‎ 则，，，，…，‎ 易得通项公式为；‎ 同理可得正方形数构成的数列的通项公式为．‎ 将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得都为正整数的只有．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理的方法，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8．已知是圆的两个动点，，若分别是线段的中点，则（ ）‎ A． B． C．12 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 由题意，则，又圆的半径为，，则两向量的夹角为．则，，所以．故本题答案选．‎ 点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.‎ ‎9．点、为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，若面积的最大值为8，面积的最小值为1，则椭圆的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求得定点M的轨迹方程，可得，，解得a，b即可.‎ ‎【详解】‎ 设，，.‎ ‎∵动点满足，则，化简得.‎ ‎∵面积的最大值为8，面积的最小值为1，‎ ‎∴，，解得，，‎ ‎∴椭圆的离心率为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆离心率，动点轨迹的求解方法，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎10．如图所示，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（　　）‎ A．2‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：将翻折到与四边形同一平面内，的最小值为，在中，由余弦定理可得 ‎【考点】1.翻折问题；2.空间距离 ‎11．已知函数与有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用导数研究函数f（x）的最值，利用f（x）与g（x）的图象有两个公共点，建立条件关系，结合周期公式和最值点，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 因为为偶函数，所以当时，，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以当时，，所以的最大周期是2.‎ 所以，，又恰好在和处取得最大值1，故，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图象的应用，根据导数研究函数的最值是解决本题的关键，考查了三角函数的性质的应用，属于中档题．‎ ‎12．设是含数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用函数的定义即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．‎ 我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的定义，即“对于集合A中的每一个值，在集合B中有唯一的元素与它对应”(不允许一对多).‎ 二、填空题 ‎13．定积分____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据定积分的几何意义即可求出．‎ ‎【详解】‎ 令，则（x1）2+y2＝1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，其面积为π，‎ 所以表示半径为1的四分之一圆的面积,如下图.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查定积分的几何意义，准确转化为图形的面积是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎14．在公差大于0的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前21项和为_________.‎ ‎【答案】21‎ ‎【解析】设公差为d（d＞0），运用等差数列的通项公式，可得首项为1，再由等比数列的中项的性质，解方程可得公差d，进而得到等差数列{an}的通项，再由并项求和即可得到所求和．‎ ‎【详解】‎ 公差大于0的等差数列中，，可得，即，由，，成等比数列，可得，即为，解得（负值舍去），则，，‎ 所以数列的前21项和为.‎ 故答案为21.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的求和，注意运用并项求和，考查等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎15．若函数的图象上存在两个点，关于原点对称，则称点对为的“友情点对”，点对与可看作同一个“友情点对”，若函数恰好有两个“友情点对”，则实数的值为__________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由对称可知f（x）＝﹣2在（0，+∞）上有两解，分离参数得a＝x3﹣6x2+9x﹣2，作出函数图象，根据解的个数得出a的范围．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知在上有两解，即在上有两解，‎ 设，‎ 则.令得或.‎ ‎∴当时，，当时，，当时，，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴当时，取得极大值，当时，取得极小值.‎ 作出的函数图象如图所示：‎ ‎∵在上有两解，∴.‎ 故答案为2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性与极值计算，根的个数与函数图象的关系，属于中档题．‎ ‎16．点为棱长是的正方体的内切球的球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取的中点，连接，可证得平面，由题意，点M的轨迹是内切球O的球面与平面相交得到的小圆，利用垂径定理即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 正方体的内切球的半径，‎ 由题意，取的中点，连接，‎ 则，，∴平面，‎ ‎∴动点的轨迹就是平面与内切球的球面相交得到的小圆，‎ ‎∵正方体的棱长是，‎ ‎∴到平面的距离为，截面圆的半径，‎ 所以动点的轨迹的长度为截面圆的周长.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了学生的空间想象力，求出点M的轨迹是关键，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．在 中，内角的对边分别为 .已知 ‎ ‎（1） 求的值 ‎（2） 若 ，求的面积.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）正弦定理得边化角整理可得，化简即得答案。‎ ‎（2）由（1）知，结合题意由余弦定理可解得 ，，从而计算出面积。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理得，‎ 所以 ‎ 即 ‎ 即有，即 ‎ 所以 ‎（2）由（1）知，即，‎ 又因为 ，所以由余弦定理得：‎ ‎，即，解得,‎ 所以，又因为，所以 ，‎ 故的面积为=.‎ ‎【点睛】‎ 正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题。‎ ‎18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：‎ 从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：‎ ‎(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品”的规定？‎ ‎(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；‎ ‎(3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.（2）质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，一、二等品所占比例的估计值为 ‎，可做出判断.‎ ‎（2）由频率分布直方图的频率分布可知8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，分类讨论各种情况可得.‎ ‎（3）算出“质量提升月”活动前，后产品质量指标值为，可得质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6‎ 试题解析：（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.‎ ‎（2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率.‎ ‎（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为 ‎“质量提升月”活动后，产品质量指标值近似满足，则.‎ 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6‎ ‎19．如图，是边长为2的正方形，平面平面，且，是线段的中点，过作直线，是直线上一动点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若直线上存在唯一一点使得直线与平面垂直，求此时二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)‎ ‎【解析】（1）先证EO⊥面ABCD，进而可得BC⊥面EOF，从而可证OF⊥BC；‎ ‎（2）由（1）可得平面，得到、、两两垂直，可建立空间直角坐标系，由条件得到，转化为向量，从而 ‎，转化为关于的方程有唯一实数解，得到，，又判断∠BFC为二面角B﹣OF﹣C的平面角，利用向量夹角公式可求二面角B﹣OF﹣C的余弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，是中点，故， ‎ 又因为平面平面，平面平面，‎ 故平面，所以；‎ 因为，，所以，‎ 故平面， ‎ 所以.‎ ‎（2）设的中点为，则有，由（1），平面，‎ 所以、、两两垂直.可如图建立空间直角坐标系.‎ 依题意设点的坐标为，点的坐标为，又，，‎ 所以，，‎ 由（1）知，故与平面垂直，等价于，‎ 故，从而，即，‎ 直线上存在唯一一点使得直线与平面垂直，即关于的方程有唯一实数解.‎ 所以，解得，此时.‎ 故点的坐标为，点的坐标为.‎ 因为平面，所以且，‎ 所以即二面角的平面角. ‎ 因为，，‎ 所以，‎ 即若直线上存在唯一一点使得直线与平面垂直时，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直，考查面面角的向量求解方法，解题的关键是将直线上存在唯一一点使得直线与平面垂直转化为关于的方程有唯一实数解，将空间几何问题转化为代数问题，凸显空间坐标系的优点，属于中档题.‎ ‎20．（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．‎ ‎【答案】（1）x2=4y ‎（2）当t=﹣时，|MN|的最小值是 ‎【解析】（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y ‎（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1‎ 由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0‎ 所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4‎ 由解得点M的横坐标为xM===，‎ 同理可得点N的横坐标为xN=‎ 所以|MN|=|xM﹣xN|=|﹣|=8||=‎ 令4k﹣3=t，t不为0，则k=‎ 当t＞0时，|MN|=2＞2‎ 当t＜0时，|MN|=2=2≥‎ 综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是 ‎21．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）证明：对任意的，存在唯一的，使；‎ ‎（3）设（2）中所确定的关于的函数为，证明：当时，有.‎ ‎【答案】（1）减区间是，增区间是；（2）详见解析；（3）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先确定函数的定义域，然后利用导数求出函数的单调区间；（2）构造函数 ‎，利用函数 的单调性与零点存在定理来证明题中结论；（3）根据（2）中的结论得到 ‎，利用换元法令得到，于是将问题转化为且，构造新函数，利用导数来证明在区间上恒成立即可.‎ 试题解析：（1）函数的定义域为，‎ ‎，令，得，‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是；‎ ‎（2）当时，.设，令，，‎ 由（1）知在区间内单调递增，‎ ‎，，‎ 故存在唯一的，使得成立；‎ ‎（3），由（2）知，，且，‎ ‎，‎ 其中，，要使成立，只需且，‎ 当时，若，则由的单调性，有，矛盾，‎ 所以，即，从而成立.‎ 又设，则，‎ 所以在内是增函数，在内为减函数，‎ 在上的最大值为 成立，‎ 当时，成立.‎ ‎【考点】1.函数的单调性与导数；2.零点存在定理；3.利用导数证明函数不等式 ‎22．‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.‎ ‎（1）求C的普通方程和l的倾斜角；‎ ‎（2）设点，l和C交于A，B两点，求.‎ ‎【答案】(1) .. (2) .‎ ‎【解析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角.‎ ‎（2）判断点在直线l上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）消去参数α得，‎ 即C的普通方程为.‎ 由，得，（）‎ 将，代入（），化简得，‎ 所以直线l的倾斜角为.‎ ‎（2）由（1），知点在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），‎ 即（t为参数），‎ 代入并化简，得，‎ ‎，‎ 设A，B两点对应的参数分别为，，‎ 则，，‎ 所以，，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算.‎ ‎23．已知函数 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）设函数的最小值为，实数满足，，，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）对按，，进行分类讨论，去掉绝对值，得到不等式的解集；（2）根据绝对值三角不等式得到最小值的值，再令，，由基本不等式进行证明.‎ ‎【详解】‎ ‎①当时，不等式可化为，.‎ 又，；‎ ‎②当时，不等式可化为，.‎ 又，.‎ ‎③当时，不等式可化为，.‎ 又，.‎ 综上所得，.‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ ‎（2）证明：由绝对值不等式性质得，‎ ‎，‎ ‎，即.‎ 令，，则，，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 原不等式得证．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式，利用基本不等式进行证明，属于中档题.‎