河北安平中学2020届高三上学期月考数学（文）试题

河北安平中学2020届高三上学期月考数学（文）试题

安平中学2019-2020年上学期高三年级第二次月考 数学试题（文科）‎ 命题人 毛艳情 审核人 王会柳 一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上.‎ ‎1、已知集合，，则 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、已知复数，则（ ）‎ A. 0 B. ‎1 C. D. 2‎ ‎3..若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则( )‎ A. 23 B. ‎32 ‎C. 35 D. 38‎ ‎5在中，，，，若为的中点，为中点，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.函数的大致图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8..双曲线（，）的左右焦点为F1，F2，渐近线分别为，，过点F1且与垂直的直线分别交及于P，Q两点，若满足，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C.2 D．‎ ‎9.已知函数，且满足，把的图像上各点向左平移个单位长度得到函数，则的一条对称轴为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知，是椭圆：的两个焦点，以为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.棱锥的四个顶点都在球的球面上，是边长为3的正三角形.若球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知对任意不等式恒成立（其中，是自然对数的底数），则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B. C． D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置.‎ ‎13.抛物线y＝x2的准线方程是　 　．‎ ‎14.已知是函数 的一个极值点，则曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎15.若x，y满足约束条件，则的取值范围为 _______. ‎ ‎16已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为 _______. ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(12分）已知数列满足 ，且 成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，数列的前项和为，求的取值范围.‎ ‎18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB ∥ CD，∠BAD=90°，△PAD为等边三角形，AB=AD=DM=2CD=2，M是PB的中点． （Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABCD； （Ⅱ）求直线DM与平面PBC所成角的正弦值， 19.（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的焦距为‎2c，且b=，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与x轴交于点M，N，P为椭圆E上的动点，|PM|+|PN|=‎2a，△PMN面积最大值为．‎ ‎（1）求圆O与椭圆E的方程；‎ ‎（2）圆O的切线l交椭圆E于点A，B，求|AB|的取值范围．‎ ‎20.（12分）．某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：‎ 反馈点数t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销量（百件）/天 ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎1‎ ‎1.4‎ ‎1.7‎ ‎（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量y（百件）与返还点数t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程，并预测若返回6个点时该商品每天销量；‎ ‎（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：‎ 返还点数预期值区间 ‎（百分比）‎ ‎[1,3)‎ ‎[3,5)‎ ‎[5,7)‎ ‎[7,9)‎ ‎[9,11)‎ ‎[11,13)‎ 频数 ‎20‎ ‎60‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎（ⅰ）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值X的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；‎ ‎（ⅱ）将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13)的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取2名进行跟踪调查，设抽出的2人中 ，至少有一个人是“欲望膨胀型”消费者的概率是多少？‎ 参考公式及数据：①，；②.‎ ‎21.（12分）已知函数 ‎(1)讨论函数的单调性；‎ ‎(2)当时，求函数的零点个数．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（10分）‎ 22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-2ρsinθ+1=0． （Ⅰ）当α=时，求l的普通方程和C的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，直线l的倾斜角α∈（0，]，点P为直线l与y轴的交点，求的最小值． ‎ ‎23.已知关于的函数 ．‎ ‎（Ⅰ）若对所有的R恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围．‎ ‎2019-2020年高三年级第二次月考数学试题答案（文科）‎ ‎ ‎ ‎1-5、C D B C A 6‎-10 A A C D D 11‎-12 A A ‎13. y=﹣ 14. y=x 15. 16.‎ ‎17.（1）（2）‎ 解:（1）由知数列是等比数列，且公比为.‎ 成等差数列， ‎ ‎（2） ‎ 易知单调递减，‎ 当时，‎ 取值范围为 ‎18.证明：（Ⅰ）取PA的中点N，连结MN，DN， ∵M，N分别是PB，PA的中点， ∴MN∥AB，且MN=AB=1， ∵DN=，DM=2，∴DN2+MN2=DM2， ∴DN⊥MN，∴AB⊥DN， ∵AB⊥AD，AD∩DN=D，∴AB⊥平面PAD， ∵AB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD． 解：（Ⅱ）如图，连结BD，CM， 由（Ⅰ）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA， 在Rt△PAB中，PB=2，同理PC=， 在梯形ABCD中，BC=，BD=2， ∵PC=BC，M为PB的中点，∴CM⊥PB， 由题意得S△PCB===， =1， 设O为AD的中点，连结PO，由题意得PO⊥AD， ‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PO⊥平面ABCD， 设点D到平面PBC的距离为d， ∵VP-BCD=VD-PCB，∴， 解得d = ． ∵DM=2，∴直线DM与平面PBC所成角的正弦值sinθ= = ． 19 . (1) +=1, .+=1‎ ‎（2）①当直线l的斜率不存在时，不妨取直线l的方程为x=1，解得A（1，），‎ B（1，﹣ ），|AB|=3．‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，kx1+m），B（x2，kx2+m）．‎ 因为直线l与圆相切，所以=1，即m2=1+k2，‎ 联立，消去y可得（4k2+3）x2+‎8kmx+‎4m2‎﹣12=0，‎ ‎△=48（4k2+3﹣m2）=48（3k2+2）≠0，x1+x2=﹣，x1x2=，．‎ ‎|AB|==4，‎ ‎==，‎ ‎=．‎ 令=t，则0＜t≤，所以|AB|=，t∈（0，]，‎ 所以|AB|=，所以3＜|AB|≤．‎ 综上，|AB|的取值范围是[3，]．‎ 20. ‎(1)‎ ‎， ，‎ 则y关于t的线性回归方程为，当时，，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. ‎ ‎（2）（i）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值X的平均值，及中位数的估计值分别为：，‎ 中位数的估计值为.‎ ‎（ⅱ）p=‎ ‎21.（12分）解：的定义域为．‎ ‎(1) ，‎ ‎①当时，，故在上单调递增；‎ ‎②当时，令，则，‎ 在上，，单调递增，‎ 在上，，单调递减．‎ 综上所述：当时， 在上单调递增；当时，在上递增，在上递减．‎ ‎(2) 由(1)可知，当时，在上递增，在上递减．‎ 故，‎ ‎①当，即时，，‎ 此时函数没有零点．‎ ‎②当，即时，，‎ 此时函数有一个零点．‎ ‎③当，即时，，‎ 令且，则，，‎ 故，故在有一个零点；‎ 再者，，‎ 令，则；再令，‎ 则，故在上单调递减，‎ 故，．‎ 故，故在上有一个零点．‎ 故在上有两个零点．‎ 综上所述：当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点．‎ ‎22.解：（Ⅰ）直线l的普通方程为x-y+2=0； 曲线C的直角坐标方程为（x+1）2+（y-1）2=1． （Ⅱ）将直线l的参数方程（t为参数），代入圆的方程（x+1）2+（y-1）2=1， 得）tcosα+1）2+（2+tsinα-1）2=1，化简得t2+2（sinα+cosα）t+1=0， 易知P（0，2），设A，B所对应的参数分别为t1，t2， 则|PA|•|PB|=|t1t2|=1，|PA|+|PB|=|t1+t2|=12（sinα+cosα）|， 所以===≥． 当α=时，取得最小值． ‎ ‎23.答案:（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 解:（Ⅰ），‎ ‎∴或，‎ ‎∴或. ‎ 故m的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ）∵的解集非空，∴，‎ ‎∴，‎ ‎①当时，，恒成立，即均符合题意；‎ ‎②当时，，，‎ ‎∴不等式可化为，解之得.‎ 由①②得，实数的取值范围为.‎