高考数学难点突破_难点16 三角函数式的化简与求值

高考数学难点突破_难点16 三角函数式的化简与求值

难点16 三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.‎ ‎●难点磁场 ‎(★★★★★)已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________.‎ ‎●案例探究 ‎［例1］不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值.‎ 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.‎ 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.‎ 错解分析：公式不熟，计算易出错.‎ 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.‎ 解法一：sin220°+cos280°+sin220°cos80°‎ ‎= (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°‎ ‎=1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)‎ ‎=1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)‎ ‎=1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220°‎ ‎=1－cos40°－(1－cos40°)= ‎ 解法二：设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°‎ y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，则 x+y=1+1－sin60°=，x－y=－cos40°+cos160°+sin100°‎ ‎=－2sin100°sin60°+sin100°=0‎ ‎∴x=y=，即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=.‎ ‎［例2］设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(‎2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值.‎ 命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目 知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.‎ 错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.‎ 技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.‎ 解：由y=2(cosx－)2－及cosx∈［－1，1］得：‎ f(a)‎ ‎∵f(a)=,∴1－‎4a=a=［2,+∞‎ 故－－‎2a－1=，解得：a=－1，此时，‎ y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5.‎ ‎［例3］已知函数f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；‎ ‎(3)若当x∈［，］时，f(x)的反函数为f－1(x)，求f-－1(1)的值.‎ 命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.‎ 知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.‎ 错解分析：在求f-－1(1)的值时易走弯路.‎ 技巧与方法：等价转化，逆向思维.‎ 解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx ‎=2cosx(sinxcos+cosxsin)－sin2x+sinxcosx ‎=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)‎ ‎∴f(x)的最小正周期T=π ‎(2)当2x+=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.‎ ‎(3)令2sin(2x+)=1，又x∈［］,‎ ‎∴2x+∈［,］,∴2x+=，则 x=，故f-－1(1)= .‎ ‎●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：‎ ‎1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.‎ ‎2.技巧与方法：‎ ‎1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式.‎ ‎2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.‎ ‎3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.‎ ‎4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.‎ ‎●歼灭难点训练 一、选择题 ‎1.(★★★★★)已知方程x2+4ax+‎3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈‎ ‎(－)，则tan的值是( )‎ A. B.－‎2 ‎ C. D. 或－2‎ 二、填空题 ‎2.(★★★★)已知sinα=，α∈(，π)，tan(π－β)= ，则tan(α－2β)=_________.‎ ‎3.(★★★★★)设α∈()，β∈(0，)，cos(α－)=，sin(+β)=，则sin(α+β)=_________.‎ 三、解答题 ‎4.不查表求值:‎ ‎5.已知cos(+x)=，(＜x＜)，求的值.‎ ‎6.(★★★★★)已知α－β=π，且α≠kπ(k∈Z).求的最大值及最大值时的条件.‎ ‎7.(★★★★★)如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.‎ ‎8.(★★★★★)已知cosα+sinβ=，sinα+cosβ的取值范围是D，x∈D，求函数y=的最小值，并求取得最小值时x 的值.‎ 参考答案 难点磁场 解法一：∵＜β＜α＜,∴0＜α－β＜.π＜α+β＜,‎ ‎∴sin(α－β)=‎ ‎∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］‎ ‎=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)‎ 解法二：∵sin(α－β)=,cos(α+β)=－,‎ ‎∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－‎ sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－‎ ‎∴sin2α=‎ 歼灭难点训练 一、1.解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－‎4a＜0.‎ tanα+tanβ=‎3a+1＞0,又α、β∈(－,)∴α、β∈(－,θ),则∈(－,0),又tan(α+β)=,‎ 整理得2tan2=0.解得tan=－2.‎ 答案：B ‎2.解析：∵sinα=,α∈(,π),∴cosα=－‎ 则tanα=－,又tan(π－β)=可得tanβ=－,‎ 答案：‎ ‎3.解析：α∈(),α－∈(0, ),又cos(α－)=.‎ 答案：‎ 三、4.答案：2‎ ‎（k∈Z）, （k∈Z）‎ ‎∴当即（k∈Z）时,的最小值为－1.‎ ‎7.解：以OA为x轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为(cosθ,sinθ)，则 ‎｜PS｜=sinθ.直线OB的方程为y=x，直线PQ的方程为y=sinθ.联立解之得Q(sinθ；sinθ)，所以｜PQ｜=cosθ－sinθ.‎ 于是SPQRS=sinθ(cosθ－sinθ)=(sinθcosθ－sin2θ)=(sin2θ－)=(sin2θ+cos2θ－)= sin(2θ+)－.‎ ‎∵0＜θ＜,∴＜2θ+＜π.∴＜sin(2θ+)≤1.‎ ‎∴sin(2θ+)=1时，PQRS面积最大，且最大面积是，此时，θ=，点P为的中点，P().‎ ‎8.解：设u=sinα+cosβ.则u2+()2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u2≤1,－1≤u≤1.即D=［－1,1］,设t=,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤.x=.‎