北京市清华大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含解析

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北京市清华大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共8小题）‎ 1. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(    )‎ A. B. C. D. ‎ 3. 过点（-1，2）且与直线2x-3y+4=0垂直的直线方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 设m是不为零的实数，则“m＞0”是“方程表示的曲线为双曲线”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|-|MF2|=1则△MF‎1F2是（　　）‎ A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 6. 已知点F1，F2是椭圆x2+2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是  （    ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. ‎ 7. 已知直线x-y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则实数m的值为（　　）‎ A. B. C. 或 D. 或 8. 在△ABC中，AB=AC=1，D是AC的中点，则的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）‎ 9. 双曲线x2-=1的渐近线方程为______．‎ 10. 已知圆C的圆心在直线x-y=0上，过点（2，2）且与直线x+y=0相切，则圆C的方程是______．‎ 11. 已知l为双曲线C：-=1的一条渐近线，其倾斜角为，且C的右焦点为（2，0），则C的右顶点为______ ，C的方程为______ ．‎ 12. 已知圆的方程为x2+y2+2x-8y+8=0，过点P（1，0）作该园的一条切线，切点为A，那么线段PA的长度为______．‎ 13. 若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x-m）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是______．‎ 14. 已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，•＝0，则C的离心率为          ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）‎ 15. 北京市清华大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共8小题）‎ 1. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(    )‎ A. B. C. D. ‎ 3. 过点（-1，2）且与直线2x-3y+4=0垂直的直线方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 设m是不为零的实数，则“m＞0”是“方程表示的曲线为双曲线”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|-|MF2|=1则△MF‎1F2是（　　）‎ A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 6. 已知点F1，F2是椭圆x2+2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是  （    ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. ‎ 7. 已知直线x-y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则实数m的值为（　　）‎ A. B. C. 或 D. 或 8. 在△ABC中，AB=AC=1，D是AC的中点，则的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）‎ 9. 双曲线x2-=1的渐近线方程为______．‎ 10. 已知圆C的圆心在直线x-y=0上，过点（2，2）且与直线x+y=0相切，则圆C的方程是______．‎ 11. 已知l为双曲线C：-=1的一条渐近线，其倾斜角为，且C的右焦点为（2，0），则C的右顶点为______ ，C的方程为______ ．‎ 12. 已知圆的方程为x2+y2+2x-8y+8=0，过点P（1，0）作该园的一条切线，切点为A，那么线段PA的长度为______．‎ 13. 若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x-m）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是______．‎ 14. 已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，•＝0，则C的离心率为          ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）‎ 15. 已知函数． （1）求函数f（x）图象的相邻两条对称轴的距离； （2）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值，以及此时x的取值． ‎ 1. 在△ABC中，a2+c2=b2+ac． （1）求cosB的值； （2）若，a=8，求b以及S△ABC的值． ‎ 2. 已知的短轴长，离心率为，圆O：x2+y2=b2． （1）求椭圆C和圆O的方程； （2）过椭圆左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，，若直线l于圆O交于M，N两点，求直线l的方程及△OAB与△OMN的面积之比． ‎ 3. 已知函数f（x）=（ax+a）ex（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知f（x）和g（x）在x=0处有相同的切线． （1）求函数f（x）和g（x）的解析式； （2）求函数f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值； （3）判断函数F（x）=‎2f（x）-g（x）+2的零点个数，并说明理由． ‎ 4. 已知椭圆的焦点到短轴的端点的距离为，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，过点B作平行于x轴的直线BN，交直线x=5于点N，求证：直线AN恒过定点． ‎ 5. 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2，…的最小值记为Bn，记dn=An-Bn． （1）若数列{an}的通项公式为an=，求数列{dn}的通项公式； （2）证明：“数列{an}单调递增”是“∀n∈N*，dn＜‎0”‎的充要条件； （3）若dn=an对任意n∈N*恒成立，证明：数列{an}的通项公式为an=0． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，椭圆的离心率， 故选D． 根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍可知a=2b，进而可求得c关于a的表达式，进而根据求得e． 本题主要考查了椭圆的基本性质．属基础题． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查倾斜角与斜率的关系，用斜截式求直线的方程方法，解题的关键是正确把握截距的含义，属于基础题． 先求出直线的斜率，再利用在y轴上的截距是-1，用斜截式写出直线方程． 【解答】 ∵直线倾斜角是135°， ∴直线的斜率等于-1， ∵在y轴上的截距是-1， 由直线方程的斜截式得： y=-x-1，亦即x+y+1=0. 故选：D． 3.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵所求直线方程与直线2x-3y+4=0垂直，∴设方程为-3x-2y+c=0 ∵直线过点（-1，2），∴-3×（-1）-2×2+c=0 ∴c=1 ∴所求直线方程为3x+2y-1=0． 故选：A． 根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x-3y+4=0垂直的直线方程为-3x-2y+c=0，再把点（-1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程． 本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：方程表示的曲线为双曲线⇔m≠0． ∴“m＞0”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件． 故选：A． 方程表示的曲线为双曲线⇔m≠0．即可判断出结论． 本题考查了双曲线的标准方程、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由题意， |F‎1F2|=2，|MF1|+|MF2|=4， ∵|MF1|-|MF2|=1， ∴|MF1|=，|MF2|=， ∴|MF2|2+|F‎1F2|2=|MF1|2‎ ‎， 故选：B． 由椭圆的定义知，|F‎1F2|=2，|MF1|+|MF2|=4，又由|MF1|-|MF2|=1可知，|MF2|2+|F‎1F2|2=|MF1|2． 本题考查了椭圆的定义以及简单性质的应用，属于基础题． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵O为F‎1F2的中点， ∴=2，可得=2|| 当点P到原点的距离最小时，||达到最小值，同时达到最小值． ∵椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得=1， ∴a2=2且b2=1，可得a=，b=1， 因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||最小值为b=1 ∴=2||的最小值为2 故选：C． 根据向量的加法法则和三角形中线的性质，可得等于点P到原点距离的2倍，由此结合椭圆的标准方程和简单几何性质，即可得到的最小值是2． 本题给出点F1、F2是椭圆的两个焦点，求椭圆上一个动点P指向两个焦点所成向量和的向量长度的最小值，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题． 7.【答案】D ‎ ‎【解析】解：直线x-y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形， 则：△AOB的边长为1， 则：圆心（0，0）到直线x-y+m=0的距离d=， 解得：m=±． 故选：D． 直接利用等边三角形的性质，进一步利用点到直线的距离公式求出结果． 本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：=-（），设∠CAB=α∈（0，π）， 所以=-=-[]=--cos（π-α） =-（）∈． 故选：A． 利用已知条件表示的表达式，然后求解范围即可． 本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力． 9.【答案】y=±x ‎ ‎【解析】解：双曲线x2-=1的a=1，b=， 可得渐近线方程为y=±x， 即有y=±x． 故答案为：y=±x． 由双曲线的方程-=1的渐近线方程为y=±x，求得a，b，即可得到渐近线方程． 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的性质，考查运算能力，属于基础题． ‎ ‎10.【答案】（x-1）2+（y-1）2=2 ‎ ‎【解析】解：根据题意，圆C的圆心在直线x-y=0上，设圆C的圆心为（a，a），半径为r； 又由圆C过点（2，2）且与直线x+y=0相切，则有r2=（a-2）2+（a-2）2=（）2， 解可得a=1，即圆心的坐标为（1，1）， 则r2=（a-2）2+（a-2）2=2， 则圆C的方程为（x-1）2+（y-1）2=2； 故答案为：（x-1）2+（y-1）2=2． 根据题意，设圆C的圆心为（a，a），半径为r，结合题意可得r2=（a-2）2+（a-2）2=（）2，解可得a的值，即可得圆心的坐标，据此求出r的值，由圆的标准方程即可得答案． 本题考查直线与圆的位置关系以及圆的标准方程的计算，关键是求出圆的圆心，属于基础题． 11.【答案】（，0）；-=1 ‎ ‎【解析】解：由题意可得c=2，即a2+b2=4， 一条渐近线的斜率为k==tan=1， 解得a=b=， 则双曲线的右顶点为（，0）， C的方程为-=1． 故答案为：（，0），-=1． 由题意可得c=2，求出渐近线方程，解方程可得a，b，即可得到右顶点和双曲线的方程． 本题考查双曲线的顶点坐标和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题． 12.【答案】 ‎ ‎【解析】解：圆x2+y2+2x-8y+8=0，即（x+1）2+（y-4）2=9，表示以C（-1，4）为圆心、半径R=3的圆， 再由切线长定理可得切线长PA=， 故答案为：． 由条件求得圆的标准方程，可得圆心坐标和半径，再利用切线长定理求得切线长PA的值． 本题主要考查直线和圆相切的性质，切线长定理，属于基础题 13.【答案】4 ‎ ‎【解析】解：由题知O1（0，0），O2（m，0），半径分别为，2，根据两圆相交， 可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，即＜m＜3． 又O‎1A⊥O‎2A，所以有m2=+=25，∴m=±5． 再根据=•AO1•AO2=O1O2•，求得 AB=2×=4， 故答案为：4． 画出草图，O‎1A⊥AO2，有勾股定理可得m的值，再用等面积法，求线段AB的长度． 本小题主要考查圆的标准方程、两直线的位置关系、直线和圆相交的性质等知识，属于基础题． 14.【答案】2 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题． 由题意画出图形，结合已知可得F1B⊥OA，结合双曲线的对称性可得一条渐近线方程的倾斜角为，从而可得，进而求出离心率. 【解答】 解：如图， ​∵=，且•=0， ∴, ∴OA⊥F1B， 则, 则, 所以一条渐近线的斜率为, 所以, 故答案为：2． 15.【答案】解：= =2sin（2x+）+1． （1）函数f（x）图象的相邻两条对称轴的距离为； （2）∵x∈，∴2x+∈[，]， ∴当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值为3； 当2x+=，即x=-时，f（x）取得最大值为-1． ‎ ‎【解析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积． （1）求出函数的半周期得答案； （2）由x的范围求出相位的范围，进一步求得函数的最值及使函数取得最值的x值． 本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，训练了倍角公式与两角和的正弦的应用，是基础题． 16.【答案】解：（1）由余弦定理及已知得：cosB==， （2）因为A，B为三角形内角， 所以sinA===，sinB===， 由正弦定理得：b===7， 又∵cosA==． ∴c2‎-2c-15=0，解得  c=5 （c=-3舍）． ∴S△ABC=bc•sinA=． ‎ ‎【解析】（1）直接把等式变形即可求解； （2）先利用同角三角函数关系式求出角A，B的正弦值，再借助于正弦定理求出b，带入已知条件求出c ‎，进而求出三角形的面积． 本题主要考查余弦定理以及同角三角函数基本关系式，并涉及到三角形的面积公式和计算能力，属于中档题目． 17.【答案】解：（1）由题得b=，e==，所以c2=a2，所以b2=a2=3，则a2=4， 所以椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3； （2）根据题意可知，左焦点F（-1，0），且直线l的斜率存在且不为0， 不妨设y=k（x+1），联立，整理得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0， 所以xA+xB=，， 所以|AB|=|xA-xB|==12×=， 解得k=±，则l：y=（x+1）； 所以原点到l的距离d==，所以△AOB面积为=； MN=2=3，所以△MON面积为=，所以△OAB与△OMN的面积之比为16：15． ‎ ‎【解析】（1）由条件可知b，再结合离心率即可求出a； （2）有条件可知k存在且不为0，联立椭圆与直线l方程，用k表示出|AB|，求出k即可得l方程； 根据l方程可求出圆心到l距离，|MN|，表示出面积即可求出面积之比． 本题考查椭圆方程的求法，涉及直线与圆的交点，直线与椭圆的交点等，属于中档题． 18.【答案】解：（1）f（x）=（ax+a）ex（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2， f（0）=a，g（0）=2． f′（x）=a（x+2）ex，g′（x）=2x+b， f′（0）=‎2a，g′（0）=b． ∵f（x）和g（x）在x=0处有相同的切线． ∴‎2a=b，a=2． 解得a=2，b=4． ∴f（x）=2（x+1）ex，g（x）=x2+4x+2， （2）f（x）=2（x+1）ex，x∈[-3，3]． f′（x）=2（x+2）ex，可得f（x）在[-3，-2）上单调递减，在（-2，3]上单调递增． ∴x=-2时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（-2）=-． 又f（-3）=，f（3）=8e3． ∴x=3时，函数f（x）取得最大值，f（3）=8e3． 综上可得：函数f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值分别为：8e3，-． （3）函数F（x）=‎2f（x）-g（x）+2=4（x+1）ex-x2-4x． F′（x）=4（x+2）ex-2x-4=2（x+2）（2ex-1）． 令F′（x）=0，解得x=-2，x=-ln2． 可得：x=-2时，函数F（x）取得极大值，F（-2）=4-＞0； x=-ln2．函数F（x）取得极小值，F（-ln2）=2+2ln2-ln22＞0． 又x→-∞时，F（x）→-∞． 可得：函数F（x）=‎2f（x）-g（x）+2只有一个零点． ‎ ‎【解析】（1）f（x）=（ax+a）ex（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，f（0）=a，g（0）=2．利用导数运算性质可得：f′（x），g′（x），根据f（x）和g（x）在x=0处有相同的切线．可得f′（0）=g′（0）．f（0）=g（0），联立解得a，b． （2）f（x）=2（x+1）ex，x∈[-3，3]．利用导数运算法则可得：f′（x），研究其单调性可得极值，再求出区间端点函数值即可得出． （3）函数F（x）=‎2f（x）-g（x）+2=4（x+1）ex-x2-4x．利用导数研究函数的单调性极值即可得出函数F（x）的零点个数． 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题． ‎ ‎19.【答案】解：（1）由椭圆的焦点到短轴的端点的距离为，则a=， 又离心率为，即e==，解得c=2，∴b2=a2-c2=1， ∴椭圆C的方程为+y2=1； （2）证明：当直线l的斜率不存在，即方程设为x=1，代入椭圆方程可得y=±=±， 即有A（1，），B（1，-），N（5，-）， 直线AN的方程为y=-（x-3），直线AN恒过定点Q（3，0）； 当直线l的斜率存在，设过点（1，0）的直线l的方程为y=k（x-1）， 由，消去y整理得（1+5k2）x2-10k2x+5k2-5=0． 由△=100k4-4（1+5k2）（5k2-5）=80k2+20＞0恒成立， 设A（x1，y1），B（x2，y2），N（5，y2）， 则x1+x2=，…①，x1x2=，…②， kAN==， 由kQN===，kAN-kQN=k（-） =k•， 由①②可得x1x2-3（x1+x2）+5=-3•+5=0， 则kAN-kQN=0，即kAN=kQN， 综上可得直线AN过定点（3，0）． ‎ ‎【解析】（1）由题意可得a=，由离心率公式可得c，再由a，b，c的关系可得b，即可得到所求椭圆方程； （2）讨论直线l的斜率不存在，设为x=1，求得A，B，N的坐标，可得直线AN的方程，直线AN恒过定点Q（3，0）；当直线l的斜率存在，设过点（1，0）的直线l的方程为y=k（x-1），联立椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，结合三点共线的条件，即可得到定点． 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于难题． 20.【答案】解：（1）当1≤n≤4，数列{an}是递减数列，最大为a1=4，又a4=a5=…=an=…=1，所以An=4，Bn=1，n=1，2，3，…， 所以dn=An-Bn=4-1=3， （2）充分性：数列{an}单调递增，则a1＜a2＜…＜an＜…，则An=a1，Bn=an+1， 所以dn=An-Bn=a1-an+1＜0； 必要性：数列{an}，∀n∈N*，dn＜0，dn=An-Bn＜0， d1=A1-B1＜0，a1＜B1=min{a2，…，an+1，…}，所以a1＜a2， d2=A2-B2＜0，An=max{a1，a2}=a2，B2=min{a3，…，an+1，…}，所以a2＜a3， 同理a3＜a4＜…＜an…即数列{an}单调递增， 故“数列{an}单调递增”是“∀n∈N*，dn＜‎0”‎的充要条件． （3）反证法：若dn=an对任意n∈N*恒成立，数列{an}的通项an≠0． 当n=1时，d1=a1=A1-B1，An=a1，所以B1=0，这说明从第二项起，至少有一个项为0，这与假设矛盾， 故原命题成立． ‎ ‎【解析】（1）当1≤n≤4，数列{an}是递减数列，最大为a1=4，又a4=a5=…=an=…=1，所以An=4，Bn=1，n=1，2，3，…，所以dn=An-Bn=4-1=3， （2）充分性：数列{an}单调递增，则a1＜a2＜…＜an＜…，则An=a1，Bn=an+1，所以dn=An-Bn=a1-an+1＜0；必要性：数列{an}，∀n∈N*，dn＜0，dn=An-Bn＜0，逐步推出a1＜a2＜a3＜a4＜…＜an… （3）采用了反证法，假设dn=an对任意n∈N*恒成立，数列{an}的通项公式为an≠0‎ ‎，推出矛盾． 本题考查了新定义和应用，考查了充要条件的证明，以及反证法，属于中档题． ‎