2018-2019学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角为 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线x+y﹣1=0的倾斜角为θ．由直线x+y﹣1=0化为y=﹣x+1，可得tanθ=﹣，即可得出．‎ ‎【详解】‎ 设直线x+y﹣1=0的倾斜角为θ．‎ 由直线x+y﹣1=0化为y=﹣x+1，‎ ‎∴tanθ=﹣，‎ ‎∵θ∈[0，π），∴θ=．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．‎ ‎2．过点且与圆，相切的直线有几条 （ ）‎ A． 0条 B． 1条 C． 2 条 D． 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断点与圆的位置关系即可得出相切直线的条数.‎ ‎【详解】‎ 将点P（2，4）代入圆的方程得22+42=20＞9，∴点P在圆外，‎ ‎∴过点且与圆相切的直线有2条 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，考查切线方程．若点在圆外，切线有两条，若点在圆上，有一条，若点在圆内，不存在切线.‎ ‎3．若方程表示一个圆,则的取值范围是 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次方程表示圆的充要条件列出不等式，通过解不等式求出k的范围．‎ ‎【详解】‎ 方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，需满足 ‎1+1﹣4k＞0‎ ‎∴‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件为：D2+E2﹣4F＞0‎ ‎4．已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值是（ ）‎ A． 1 B． －1 C． 2或1 D． －2或1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由直线的方程：得此直线在轴与轴上的截距分别为和，由得或，故选D.‎ 考点：1、直线方程的应用；2、直线的截距.‎ ‎5．已知双曲线的一个焦点为,则焦点到其中一条渐近线的距离为（ ）‎ A． 2 B． 1 C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的a，b，c，焦点F的坐标和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式计算即可得到所求．‎ ‎【详解】‎ 双曲线的a=1，b=，c=，‎ 右焦点F为（，0），‎ 一条渐近线方程为，‎ 则F到渐近线的距离为d==．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，点到直线的距离公式，属于基础题．‎ ‎6．若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值（ ）‎ A． B． C． D． 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，‎ 抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，‎ 其准线方程为：y=﹣，‎ 分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，‎ 即|PF|的最小值为，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程．‎ ‎7．若直线过点，斜率为1，圆上恰有个点到的距离为1，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆心到直线的距离等于半径的一半，可知圆上有三个点到直线l的距离为1，据此列出方程，求解即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 圆心到直线的距离等于半径的一半，可知圆上有三个点到直线l的距离为1‎ 圆心（0，0）到直线l：y=x+a的距离为，‎ 解得：a=‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，本题的解题关键是求圆心（0，0）到直线l的距离等于半径的一半．‎ ‎8．设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设出A的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y．然后求解直线的斜率，得到直线FA的倾斜角．‎ ‎【详解】‎ 设该A坐标为（x，y），抛物线C：y2=3x的焦点为F（，0），‎ 根据抛物线定义可知x+=3，解得x=，代入抛物线方程求得y=±，‎ 故A坐标为：（，），AF的斜率为：=，‎ 则直线FA的倾斜角为：或．‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．‎ ‎9．已知,是椭圆的两个焦点，是上的一点，若且,则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件求出P的坐标，代入椭圆方程，然后求解椭圆的离心率即可．‎ ‎【详解】‎ F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），‎ 所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），‎ 解得e=．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎10．已知双曲线的两个顶点分别为，点为双曲线上除外任意一点，且点与点连线的斜率分别为、，若，则双曲线的渐进线方程为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用即可得到双曲线的渐进线方程.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，设P 则，且，即 ‎∴‎ 即 ‎∴双曲线的渐进线方程为 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单几何性质，充分利用A,B两点的对称性及点在双曲线上得到是解题的关键.‎ ‎11．已知双曲线过点的直线与相交于两点，且的中点为,则双曲线的离心率为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由中点坐标公式，将A和B点代入双曲线的方程，两式相减即可求得直线的斜率，由直线AB的斜率k==1，即可求得=，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．‎ ‎【详解】‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由AB的中点为N（12，15），则x1+x2=24，y1+y2=30，‎ 由，两式相减得：=，‎ 则==，‎ 由直线AB的斜率k==1，‎ ‎∴=1，则=，‎ 双曲线的离心率e===，‎ ‎∴双曲线C的离心率为，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率公式，考查中点坐标公式，考查点差法的应用，考查直线的斜率，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎12．已知,是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且,线段的垂直平分线过点，若椭圆的离心率为,双曲线的离心率为，则的最小值为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过图象可知F1F2=F2P=2c，利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得的表达式，通过基本不等式即得结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知：F1F2=F2P=2c，‎ 又∵F1P+F2P=2a1，F1P﹣F2P=2a2，‎ ‎∴F1P+2c=2a1，F1P﹣2c=2a2，‎ 两式相减，可得：a1﹣a2=2c，‎ ‎∵==，‎ ‎∴===4+2+，‎ ‎∵2+≥2=2，当且仅当时等号成立，‎ ‎∴的最小值为6，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆与双曲线的定义及简单的几何性质，重要不等式，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知直线和直线互相垂直，则实数的值为__________；‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线垂直的性质求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线和直线互相垂直，‎ ‎∴（a+3）×1+1×（a-1）=0，‎ 解得a=-1．‎ 故答案为：-1．‎ ‎【点睛】‎ 两直线位置关系的判断： 和的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：‎ 垂直： ；‎ 平行： ，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！‎ ‎14．点与圆上任一点连结的线段的中点的轨迹方程__________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．‎ ‎【详解】‎ 设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），‎ 则 代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 求轨迹方程的常见方法有:‎ ‎①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；‎ ‎②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；‎ ‎③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；‎ ‎④逆代法，将代入.‎ ‎15．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，若点，则的最小值为___________；‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．‎ ‎【详解】‎ 抛物线C：y2=4x的准线为x=﹣1．‎ 设点P在准线上的射影为D，‎ 则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，‎ 要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小．‎ 当D，P，A三点共线时，|PA|+|PD|最小，为4﹣（﹣1）=5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．‎ ‎16．下列命题正确的是_______（写出正确的序号）‎ ‎①若、，,则动点的轨迹是双曲线左边一支；‎ ‎②已知椭圆的长轴在轴上,若焦距为,则实数的值是；‎ ‎③抛物线的焦点坐标是.‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的定义判断①的正误；椭圆的简单性质求解m即可判断②的正误；求出抛物线的焦点坐标即可判断③的正误.‎ ‎【详解】‎ ‎①已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=3，则动点P的轨迹是双曲线右边一支,所以①不正确；‎ ‎②已知椭圆+=1的长轴在y轴上，若焦距为4，可得，解得实数m的值是7；所以②正确；‎ ‎③抛物线y=2ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，）．所以③不正确；‎ 故答案为：②．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆以及双曲线抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：‎ ‎(1)BC边所在直线的方程；‎ ‎(2)BC边的垂直平分线所在直线方程．‎ ‎【答案】（1）.(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用点斜式可得：BC边所在直线的方程．‎ ‎（2）kDE=﹣=2．利用斜截式BC边的垂直平分线DE的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）BC边所在直线的方程为：y﹣1=（x﹣2），化为：x+2y﹣4=0．‎ ‎(2) kDE=﹣=2．∴BC边的垂直平分线DE的方程为：y=2x+2，即 ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的方程的求法、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎18．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，过点P(2，－1)作圆C的切线，切点为A，B.‎ ‎(1)求直线PA，PB的方程；‎ ‎(2)求过P点的圆C的切线长．‎ ‎【答案】（1）或.(2)2.‎ ‎【解析】‎ ‎　‎ 试题分析：(1)设切线点斜式方程，再根据圆心到切线距离等于半径求斜率（2）根据切线长公式得过P点的圆C的切线长 试题解析：(1)切线的斜率存在，设切线方程为 y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.‎ 圆心到直线的距离等于，即＝，‎ ‎∴k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，‎ 故所求的切线方程为 y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，‎ 即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.‎ ‎(2)在Rt△PAC中|PA|2＝|PC|2－|AC|2‎ ‎＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8，‎ ‎∴过P点的圆C的切线长为2.‎ 点睛：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 ‎(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．‎ ‎19．设椭圆过点(0，4)，离心率为.‎ ‎(1)求C的方程.‎ ‎(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.‎ ‎【答案】 (1).(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆经过的点列出方程，离心率列出方程，利用a、b、c关系式，即可求出a、b的值，即可求C的方程；‎ ‎（2）利用直线过点（3，0）且斜率为，写出直线方程，联立方程组，利用韦达定理求出线段的中点坐标．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)将(0，4)代入C的方程得，所以b=4. 又由，得，‎ 即，所以a=5. 所以C的方程为.‎ ‎(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为. ‎ 设直线与C的交点为，‎ 将直线方程代入C的方程，‎ 即，则.‎ 设线段AB的中点坐标为，‎ 则，‎ 即中点坐标为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆位置关系的应用，中点坐标公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎20．已知抛物线与直线交于两点,‎ ‎（1）若直线的方程为，求弦的长度；‎ ‎（2）为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且面积为，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 联立方程求出、,即得弦长AB.(2) 设直线方程，先根据面积为得到，再利用韦达定理求出和m的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）联立方程，求出、，∴‎ ‎（2）设直线方程，根据题意，所以，‎ 所以，‎ 联立直线和抛物线的方程得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 所以直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键通过面积分析推理得到.‎ ‎21．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．‎ ‎ （1）求的方程；‎ ‎ （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．‎ ‎【答案】(1) y=x–1,(2)或．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：(1)根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程；（2）先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.‎ 详解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 由得．‎ ‎ ，故．‎ 所以．‎ 由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．‎ 因此l的方程为y=x–1．‎ ‎（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为 ‎，即．‎ 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 解得或 因此所求圆的方程为 或．‎ 点睛：确定圆的方程方法 ‎(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．‎ ‎(2)待定系数法 ‎①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；‎ ‎②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．‎ ‎22．设椭圆，离心率，短轴，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为，‎ ‎（1）求椭圆和抛物线的方程；‎ ‎（2）设坐标原点为,为抛物线上第一象限内的点，为椭圆是一点，且有，当线段的中点在轴上时，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1） , ;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件列方程组解得a,b，根据抛物线焦点坐标所在位置可设抛物线方程形式，再根据焦点坐标求抛物线标准方程，（2）利用斜率设直线、OB方程，分别与抛物线、椭圆方程联立方程组解得A,B横坐标，再根据A,B横坐标和为0解斜率得A,B坐标，最后根据两点式求直线AB 方程.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 由得，又有，代入，解得 ‎ 所以椭圆方程为 ‎ 由抛物线的焦点为得，抛物线焦点在轴，且，‎ 抛物线的方程为： ‎ ‎(2)由题意点位于第一象限，可知直线的斜率一定存在且大于 设直线方程为：，‎ 联立方程得：，可知点的横坐标，即 因为，可设直线方程为：‎ 连立方程得：，从而得 若线段的中点在轴上，可知，即 有，且，解得 ‎ 从而得， ‎ 直线的方程：‎ ‎【点睛】‎ 直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.‎