数学卷·2018届安徽省铜陵一中高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届安徽省铜陵一中高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年安徽省铜陵一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1．直线的倾斜角是（　　）‎ A．30° B．120° C．60° D．150°‎ ‎2．直线2x+y+1=0与圆（x+1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 ‎3．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎4．若直线过点P（11，1）且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．以上都有可能 ‎5．在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（　　）‎ A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6） C．（﹣1，﹣3，6） D．（1，﹣3，﹣6）‎ ‎6．已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，以下有三种说法：‎ ‎①若α∥β，β∥γ，则γ∥α； ②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；‎ ‎③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．‎ 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎7．圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为（　　）‎ A．1：（﹣1） B．1：2 C．1： D．1：4‎ ‎8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是（　　）‎ A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．3x﹣2y+1=0 D．x+2y+3=0‎ ‎10．不论m为何实数，直线（2m+1）x+（m+1）y﹣m﹣1=0与圆x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有公共点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．﹣2≤a≤2 B．0≤a≤2 C．﹣1≤a≤3 D．1≤a≤3‎ ‎11．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（　　）‎ A．4 B．3 C．4 D．3‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为　　．‎ ‎14．过点P（1，0），且圆心为直线x+y﹣1=0与直线x﹣y+1=0交点，则该圆标准方程为　　．‎ ‎15．直线l1：x+y+1=0与l2：2x+2y+3=0的距离是　　．‎ ‎16．如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法正确的是　　．（填序号）‎ ‎①MB∥平面A1DE；‎ ‎②|BM|是定值；‎ ‎③A1C⊥DE．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．（17题10分，18，19，20，21，22每题12分）‎ ‎17．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为30°，求该三棱柱的体积．‎ ‎18．已知直线l：y=4x和点P（6，4），点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴正半轴于点B，‎ ‎（1）当OP⊥AB时，求AB所在直线的直线方程；‎ ‎（2）求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时的B的坐标．‎ ‎19．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．‎ ‎（1）求证：VB∥平面MOC；‎ ‎（2）求证：平面MOC⊥平面VAB ‎（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．‎ ‎20．已知圆C经过原点O，与x轴另一交点的横坐标为4，与y轴另一交点的纵坐标为2，‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．‎ ‎21．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC，‎ ‎（1）求证：AC⊥平面DEF；‎ ‎（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎22．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．‎ ‎（1）求直线l1的方程；‎ ‎（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年安徽省铜陵一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1．直线的倾斜角是（　　）‎ A．30° B．120° C．60° D．150°‎ ‎【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．‎ ‎【分析】设直线的倾斜角是θ，则有tanθ=，再由θ∈[0，π），求得 θ的值．‎ ‎【解答】解：∵直线的斜率为﹣=，设直线的倾斜角是θ，则有tanθ=．‎ 又θ∈[0，π），∴θ=150°，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．直线2x+y+1=0与圆（x+1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】求出圆心（﹣1，1）到直线2x+y+1=0的距离小于半径，可得直线和圆相交．‎ ‎【解答】解：由于圆心（﹣1，1）到直线2x+y+1=0的距离为d==0，小于半径，‎ 故直线和圆相交，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【考点】平面图形的直观图．‎ ‎【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2倍，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，‎ ‎∴直角三角形的直角边长是，‎ ‎∴直角三角形的面积是，‎ ‎∴原平面图形的面积是1×2=2‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．若直线过点P（11，1）且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．以上都有可能 ‎【考点】直线的截距式方程．‎ ‎【分析】分类讨论①当此直线经过原点时，直接求出②当此直线不经过原点时，设直线方程为x+y=a，把点代入即可．‎ ‎【解答】解：①当此直线经过原点时，k=，此时直线方程为y=x；‎ ‎②当此直线不经过原点时，设直线方程为x+y=a，把点（11，1）代入得a=12，∴直线方程为x+y=12．‎ 综上可知：满足条件的方程有且仅有两条．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（　　）‎ A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6） C．（﹣1，﹣3，6） D．（1，﹣3，﹣6）‎ ‎【考点】空间两点间的距离公式．‎ ‎【分析】由点P的坐标，利用点关于x轴对称的条件，建立相等关系，可得其对称点的坐标．‎ ‎【解答】解：设p（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标为（x，y，z），‎ 则x=1，y=﹣3，z=﹣6，‎ 所以对称点的坐标为（1，﹣3，﹣6）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，以下有三种说法：‎ ‎①若α∥β，β∥γ，则γ∥α； ②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；‎ ‎③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．‎ 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】由平行的传递性知①正确，两个平行平面有一个和第三个平面垂直，则另一个也与第三个平面垂直，知②正确，当一条直线同时和一条直线和一个平面垂直时，线面之间的关系是平行或在平面上，知③正确 ‎【解答】解：由平行的传递性知若α∥β，β∥γ，则γ∥α，故①正确，‎ ‎ 两个平行平面有一个和第三个平面垂直，则另一个也与第三个平面垂直，‎ 即若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β，故②正确，‎ 当一条直线同时和一条直线和一个平面垂直时，‎ 线面之间的关系是平行或在平面上 即m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β，故③正确，‎ 总上可知有3个命题正确，‎ 故选：A ‎　‎ ‎7．圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为（　　）‎ A．1：（﹣1） B．1：2 C．1： D．1：4‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】根据题意，由相似边的比与面积比的关系，先求出截面分圆锥的高与原来圆锥的高的比值，再求出所求的比值．‎ ‎【解答】解：根据面积比是对应边之比的平方得，此截面分圆锥的高与原来圆锥的高的比是1：，‎ ‎∴此截面分圆锥的高为上、下两段的比为1：（﹣1）．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】由正方体的结构特征，我们取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，可证得∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角，解△OEF即可得到答案．‎ ‎【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，如图所示：‎ ‎∵E为CC1的中点，EF∥BC1∥AD1，‎ 故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，‎ 则在△OEF中，EF=，OE=‎ 故cos∠OEF==‎ 故选D ‎　‎ ‎9．设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是（　　）‎ A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．3x﹣2y+1=0 D．x+2y+3=0‎ ‎【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．‎ ‎【分析】由可得反射点A（﹣1，﹣1），在入射光线y=2x+1上任取一点B（0，1），根据点B（0，1）关于y=x 的对称点 C（1，0）在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程．‎ ‎【解答】解：由可得反射点A（﹣1，﹣1），在入射光线y=2x+1上任取一点B（0，1），‎ 则点B（0，1）关于y=x 的对称点C（1，0）在反射光线所在的直线上．‎ 根据点A（﹣1，﹣1）和点C（1，0）的坐标，利用两点式求得反射光线所在的直线方程是 ‎ ‎，化简可得x﹣2y﹣1=0．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．不论m为何实数，直线（2m+1）x+（m+1）y﹣m﹣1=0与圆x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有公共点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．﹣2≤a≤2 B．0≤a≤2 C．﹣1≤a≤3 D．1≤a≤3‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】直线（2m+1）x+（m+1）y﹣m﹣1=0与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点，说明直线系过的定点必在圆上或圆内．‎ ‎【解答】解：直线（2m+1）x+（m+1）y﹣m﹣1=0过（0，1）点的直线系，‎ 曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0表示圆圆心（a，0），半径为：，‎ 直线与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点，必须定点在圆上或圆内，‎ 即：，所以，﹣1≤a≤3‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K，则D'KA=90°，得到K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．‎ ‎【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，‎ 则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，‎ 如图当E与C重合时，AK==，‎ 取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．‎ 故∠K0A=，∴∠K0D'=，‎ 其所对的弧长为=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（　　）‎ A．4 B．3 C．4 D．3‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】运用题意判断出三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，几何体的性质，在求解体积的值．‎ ‎【解答】解：根据题意：半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，‎ ‎△ABC为截面为大圆上三角形，‎ 设圆形为O，AB的中点为N，ON═=1‎ ‎∵平面PAB⊥平面ABC，‎ ‎∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，‎ PN==，‎ ‎∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为×（2）2×=3，‎ 故选：B ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为　16π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】求出长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：由题意可知长方体的对角线的长，就是外接球的直径，‎ 所以球的直径： =4，所以外接球的半径为：2．‎ 所以这个球的表面积：4π×22=16π．‎ 故答案为：16π．‎ ‎　‎ ‎14．过点P（1，0），且圆心为直线x+y﹣1=0与直线x﹣y+1=0交点，则该圆标准方程为　x2+（y﹣1）2=2　．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】联立两直线方程求得其交点坐标，求得圆的圆心，进而利用两点间的距离公式求得远的半径，则圆的方程可得．‎ ‎【解答】解：联立直线x+y﹣1=0与直线x﹣y+1=0，解得x=0，y=1‎ ‎∴圆的圆心为（0，1），‎ ‎∴圆的半径为 ‎∴圆的标准方程为x2+（y﹣1）2=2．‎ 故答案为：x2+（y﹣1）2=2．‎ ‎　‎ ‎15．直线l1：x+y+1=0与l2：2x+2y+3=0的距离是　　．‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离．‎ ‎【分析】利用两条平行线之间的距离公式即可得出．‎ ‎【解答】解：把l2：2x+2y+3=0化为．‎ ‎∵l1∥l2，‎ ‎∴l1与l2的距离d==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法正确的是　①②　．（填序号）‎ ‎①MB∥平面A1DE；‎ ‎②|BM|是定值；‎ ‎③A1C⊥DE．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得①正确；由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos∠MNB，所以MB是定值，可得②正确，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得③不正确．‎ ‎【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，‎ ‎∴平面MBF∥平面A1DE，‎ ‎∴MB∥平面A1DE，‎ 故①正确．‎ 由∠A1DE=∠MNB，MN=A1D=定值，NB=DE=定值，‎ 由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos∠MNB，‎ 所以MB是定值，故②正确．‎ ‎∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，‎ ‎∴故③不正确．‎ 故答案为：①②．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．（17题10分，18，19，20，21，22每题12分）‎ ‎17．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为30°，求该三棱柱的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】由已知找出异面直线BC1与AA1所成角，求解直角三角形得正三棱柱底面边长，再由棱柱体积公式求解．‎ ‎【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1∥AA1．‎ ‎∴∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C=30°．‎ 在Rt△BCC1中，‎ BC=CC1•tan∠BC1C=6×=2，‎ 从而S△ABC=BC2•sin60°=3，‎ 因此该三棱柱的体积V=S△ABC•AA1=3×6=18．‎ ‎　‎ ‎18．已知直线l：y=4x和点P（6，4），点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴正半轴于点B，‎ ‎（1）当OP⊥AB时，求AB所在直线的直线方程；‎ ‎（2）求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时的B的坐标．‎ ‎【考点】直线的一般式方程．‎ ‎【分析】（1）由垂直关系可得kAB=，由AB过点P（6，4）可得点斜式方程，化为一般式可得；‎ ‎（2）设点A（a 4a），a＞0，点B坐标为（b，0），b＞0，可得△OAB面积为S=××4a=，即10a2﹣Sa+S=0，由判别式△=S2﹣40S≥0可得S≥40，即S的最小值等于40，代入解此时的方程可得B坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵点P（6，4），∴kOP=，‎ ‎∵OP⊥AB，∴kAB=，‎ ‎∵AB过点P（6，4），‎ ‎∴AB的方程为y﹣4=（x﹣6）‎ 化为一般式可得：3x+2y﹣26=0‎ ‎（2）设点A（a 4a），a＞0，点B坐标为（b，0），b＞0，‎ 则直线PA的斜率为=，解得b=，故B的坐标为（，0），‎ 故△OAB面积为S=××4a=，即10a2﹣Sa+S=0．‎ 由题意可得方程10a2﹣Sa+S=0有解，故判别式△=S2﹣40S≥0，S≥40，‎ 故S的最小值等于40，此时方程为a2﹣4a=4=0，解得a=2．‎ 综上可得，△OAB面积的最小值为40，‎ 当△OAB面积取最小值时点B的坐标为（10，0）．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．‎ ‎（1）求证：VB∥平面MOC；‎ ‎（2）求证：平面MOC⊥平面VAB ‎（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；‎ ‎（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB ‎（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．‎ ‎【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，‎ ‎∴OM∥VB，‎ ‎∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，‎ ‎∴VB∥平面MOC；‎ ‎（2）∵AC=BC，O为AB的中点，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，‎ ‎∴OC⊥平面VAB，‎ ‎∵OC⊂平面MOC，‎ ‎∴平面MOC⊥平面VAB ‎（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，‎ ‎∴S△VAB=，‎ ‎∵OC⊥平面VAB，‎ ‎∴VC﹣VAB=•S△VAB=，‎ ‎∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=．‎ ‎　‎ ‎20．已知圆C经过原点O，与x轴另一交点的横坐标为4，与y轴另一交点的纵坐标为2，‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】（1）结合条件即可求圆C的方程；‎ ‎（2）求出点B关于直线l：x+y+2=0的对称点，根据对称性的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵圆C经过原点O，与x轴另一交点的横坐标为4，与y轴另一交点的纵坐标为2，‎ 即点A（4，0），B（0，2）是圆的一条直径，‎ 则圆心坐标为（2，1）．半径r=，‎ 则圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．‎ ‎（2）点B关于直线l：x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），‎ 则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，‎ 又B′到圆上的点的最短距离为|B′C|﹣r，‎ ‎∴|PB|+|PQ|的最小值为，‎ 直线B′C的方程为y=，‎ 则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标满足，‎ 解得，即P（﹣，﹣）．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC，‎ ‎（1）求证：AC⊥平面DEF；‎ ‎（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）取AC的中点H，推导出BH⊥AC，EF⊥AC，DE⊥BC，AB⊥DE，DE⊥AC．由此能证明AC⊥平面DEF．‎ ‎（2）取AC中点G，以E为原点，EC为x轴，EG为y轴，ED为z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）取AC的中点H，‎ ‎∵AB=BC，∴BH⊥AC．‎ ‎∵AF=3FC，∴F为CH的中点．‎ 而E为BC的中点，∴EF∥BH．∴EF⊥AC．‎ ‎∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．‎ ‎∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．‎ ‎∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．‎ ‎∵AC⊂平面ABC，∴DE⊥AC．‎ 而DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．‎ 解：（2）取AC中点G，以E为原点，EC为x轴，EG为y轴，ED为z轴，‎ 建立空间直角系，设AB=BC=2，‎ 则E（0，0，0），C（1，0，0），A（﹣1，2，0），F（，，0），‎ B（﹣1，0，0），D（0，0，），‎ ‎=（，0），=（0，0，），‎ 设平面EFP的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=1，得=（1，﹣1，0），‎ 设平面ABD的法向量=（a，b，c），‎ ‎=（0，﹣2，0），=（1，﹣2，），‎ ‎，取c=1，得=（），‎ 设平面DEF与平面ABD所成的锐二面角为θ，‎ 则cosθ===．‎ ‎∴平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎22．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．‎ ‎（1）求直线l1的方程；‎ ‎（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】（1）由已知中直线l1过点A（3，0），我们可以设出直线的点斜式方程，化为一般式方程后，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线l1的方程；‎ ‎（2）由已知我们易求出P，Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P′与Q′的坐标（含参数），进而得到以P′Q′为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，可设直线l1的方程为y=k（x﹣3），‎ 即kx﹣y﹣3k=0…‎ 又点O（0，0）到直线l1的距离为，解得，‎ 所以直线l1的方程为，‎ 即或…‎ ‎（2）对于圆O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（﹣1，0），Q（1，0）．‎ 又直线l2方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为．‎ 解方程组，得，‎ 同理可得：．…‎ 所以圆C的圆心C的坐标为，半径长为，‎ 又点M（s，t）在圆上，又s2+t2=1．故圆心C为，半径长．‎ 所以圆C的方程为，…‎ 即=0‎ 即，‎ 又s2+t2=1‎ 故圆C的方程为，‎ 令y=0，则（x﹣3）2=8，‎ 所以圆C经过定点，y=0，则x=，‎ 所以圆C经过定点且定点坐标为 ‎　‎