2018-2019学年福建省上杭县第一中学等六校高二下学期期中考试数学(理)试题 解析版

2018-2019学年福建省上杭县第一中学等六校高二下学期期中考试数学(理)试题 解析版

绝密★启用前 福建省上杭县第一中学等六校2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）‎ A．－2 B．4 C．－6 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：因为是纯虚数，因此实部为零，则a+6=0,a=-6‎ ‎2．函数在点处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ 函数的导数，‎ 则函数在点处的切线斜率，‎ 因为，‎ 所以切点坐标为为，‎ 则切线方程为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关函数图象在某点处的切线方程的求解问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.‎ ‎3．函数的递增区间是（ ）‎ A． B．和 C． D．和 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的导数，再令导数大于0，即可求得函数的递增区间.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数的定义域为，‎ 因为，所以，‎ 令，即，‎ 解得或，‎ 又因为函数的定义域是，‎ 所以函数的递增区间是，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关函数的单调增区间的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性的问题，属于简单题目.‎ ‎4．函数 的图象如下图所示，则导函数 的图象的大致形状是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数先减后增，再为常数，所以导函数先负后正，再为零，选D.‎ ‎5．计算为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关定积分的求解问题，注意被积函数的原函数的正确求解，属于简单题目.‎ ‎6．用数学归纳法证明不等式的过程中，从到时左边需增加的代数式是 (　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，左边的代数式为，‎ 当时，左边的代数式为，‎ 故用当时，左边的代数式减去时，左边的代数式的结果为：‎ ‎，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关应用数学归纳法证明问题的过程中，由到增加的项的问题，注意对式子的正确归纳，属于简单题目.‎ ‎7．已知函数在处取得极值10，则（ ）‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数在处取得极值10，得，由此求得的值，再验证是否符合题意即可.‎ ‎【详解】‎ 函数在处取得极值10，‎ 所以，‎ 且，‎ 解得或，‎ 当时，，‎ 根据极值的定义知道，此时函数无极值；‎ 当时，，‎ 令得或，符合题意；‎ 所以，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关根据函数的极值求解析式中的参数的问题，注意其对应的条件为函数值以及函数在对应点处的导数的值，构造出方程组，求得结果，属于简单题目.‎ ‎8．如图是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图一是第1代“勾股树”，重复图一的作法，得到图二为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）‎ A．n B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中所给的条件，最大的正方形的面积为1，从而得到直角三角形的斜边长为1，两个直角边的平方和为1，从而得到图一的三个正方形面积和为2，再算出图二的“勾股树”的所有正方形的面积和为3，观察各选项中的式子求得结果.‎ ‎【详解】‎ 最大的正方形的面积为1，‎ 当时，由勾股定理知正方形面积的和为2，‎ 当时，从图二中图形的特征，‎ 结合勾股定理以及正方形的面积公式，‎ 求得图二的“勾股树”的所有正方形的面积和为3，‎ 即当时，勾股树的面积为为3，‎ 由此类推，并结合选项，可以得出所有正方形面积的和为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关“勾股树”的所有正方形的面积和的问题，在解题的过程中，注意应用前两个图中的结果，对式子进行验证，求得结果，属于简单题目.‎ ‎9．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝11－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是（ ）‎ A．4＋25ln5 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先求得积分上限，然后结合定积分的几何意义整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】‎ 求解方程，即，解得或，‎ 结合，可得，‎ 则汽车行驶的距离为 ‎，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关利用速度与时间的关系求直至停止所行的路程问题，涉及到的知识点有位移的导数是速度，所以速度在对应时间段内的定积分为路程，从而求得结果.‎ ‎10．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得，类似上述过程，则（ ）‎ A． B．3 C．6 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子，令，则两边平方得，得，即，解得舍去，故选A.‎ ‎11．函数在[-2,2]的最大值为2，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用导数，判断函数在时的单调性，求得函数在上的最大值为2,；欲使得函数在上的最大值为2，则当时，，从而解得的范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意，当时，，‎ 可得，‎ 根据导数的符号可以断定函数在是单调增，在上单调减，‎ 所以函数在上的最大值为；‎ 要使函数在上的最大值为2，‎ 则当时，的值必须小于等于2，‎ 即，‎ 解得，‎ 所以的取值范围是，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关根据分段函数的最值求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的最值，属于简单题目.‎ ‎12．已知是定义在上的增函数，其导函数满足，则下列结论正确的是（ ）‎ A．对于任意， B．对于任意，‎ C．当且仅当 D．当且仅当 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，结合函数的单调性，从而可以判断，即在上单调递增，从而判断出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，是定义在上的增函数，，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 所以函数在上单调递增，且，‎ 所以当时，，而，所以此时，‎ 当时，，而，所以此时，‎ 结合选项，可知对于任意，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关构造函数，利用函数的单调性，确定函数值的符号的问题，属于中档题目.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在复平面内，复数对应的点的坐标为__________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以复数对应的点的坐标为.‎ 考点：复数的运算 ‎14．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为，‎ 由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。‎ ‎15．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应如图所示的4个图形：‎ ‎ ‎ 那么以下4个图形中，可以表示A*D的是_______（填与图形对应的序号）‎ ‎【答案】（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别对比①和②，③和④，②和③，得到B、C、D及A所代表的图形，再将A与D组合，判断定义式为所表示的图形，进而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 对比①和②，共同点是都有大矩形，而定义式中都含有B，‎ 因此可以判断B代表大矩形，所以A就是一条竖线；‎ 对于③和④，共同点是都有小矩形，而定义式中都含有D，‎ 因此可以判断D代表小矩形；‎ 则可以判断定义式为的图形为（2）.‎ ‎【点睛】‎ 这是一道考查归纳推理的题目，在求解的过程中，要找到图形中的规律.‎ ‎16．任意，使得成立，则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导函数讨论其单调性，任意，使得成立，等价于，使得成立，对分类讨论，即可求解的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由成立，‎ 令，‎ 则，‎ 因为，所以在上单调减，在上单调增，‎ 所以当时，任意，使得成立，‎ 可化为，显然成立，即；‎ 当时，函数在上是减函数，‎ 可化为，解得，所以；‎ 综上可得：的取值范围是，‎ 故答案是：.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关根据不等式在某个区间上恒成立，求参数的取值范围的问题，注意将其向最值靠拢，注意分类讨论思想的应用.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设复数（其中），． ‎ ‎（Ⅰ）若是实数，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若是纯虚数，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）22＋4i（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用复数z1＋z2是实数，求得a＝4，之后应用复数乘法运算法则即可得出结果；‎ ‎（Ⅱ）利用复数的除法运算法则，求得，利用复数是纯虚数的条件求得的值，之后应用复数模的公式求得结果 ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵z1＋z2＝5＋（a－4）i是实数，‎ ‎∴a＝4，z1＝2＋4i，‎ ‎∴z1z2＝（2＋4i）（3－4i）＝22＋4i； ‎ ‎（Ⅱ）∵是纯虚数，‎ ‎∴，‎ 故．‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数是实数的条件，复数的乘法运算法则，复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.‎ ‎18．已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式.‎ ‎（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先求函数的导数，令，求出的值，切点在函数的图象上也在直线上，可求出的值，最后得到答案；‎ ‎（Ⅱ）对的解析式进行因式分解，之后进行讨论可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ） .‎ 由导数的几何意义得，于是.‎ 由切点在直线上可知.‎ 所以；‎ ‎（Ⅱ），‎ 当时，,函数在区间及上为增函数，在区间上为减函数；‎ 当时，，函数在区间上为增函数； ‎ 当时，，函数在区间及上为增函数，在区间上为减函数.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，利用函数在某个点的切线方程求有关参数，利用导数研究函数的单调性，属于中档题目.‎ ‎19．如图：在三棱锥中，是直角三角形，，点分别为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）连结BD，根据题意可知BD⊥AC，EF∥AC，从而得到，又因为PB⊥面ABC，得到PB，利用线面垂直的判定定理，证得平面PBD；‎ ‎（Ⅱ）根据题意，建立适当的坐标系，根据题中所给的边长，确定对应点的坐标，分别求出两个平面的法向量，再由夹角公式求二面角的余弦值，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）证明：连接BD、在△ABC中，∠B=90°．‎ ‎∵AB=BC，点D为AC的中点，∴BD⊥AC．‎ ‎∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，‎ ‎ ,又∵PB⊥面ABC，EF平面ABC,∴PB,‎ 平面PBD；‎ ‎（Ⅱ）∵∴PB=BC=2‎ 如图建立空间直角坐标系，‎ 则E(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则 ‎=(-1,2,0), =(-1,0,2)‎ 设平面PEC的一个法向量为=（x，y，z），‎ 则 =0， =0‎ 即 令x=2,得y=1,z=1‎ ‎∴=(2,1,1),由已知可得，向量=(2,0,0)为平面PBC 的法向量 ‎∴cos<,>== ，‎ ‎∴二面角E-PC-B的余弦值为 ．.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值的问题，属于简单题目.‎ ‎20．某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：①；②；③‎ ‎（Ⅰ）请从以上三个式子中任选一个，根据 验证其正确性（注意不能近似计算）；‎ ‎（Ⅱ）请将此规律推广至一般情形，并证明之．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）结合此范围，验证其正确性；‎ ‎（Ⅱ）一般结论为：若，则，用分析法即可证明其正确性.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）验证①式成立：‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）一般结论为：若，则，证明如下：‎ 要证：‎ 只需证：‎ 即证：‎ 也就是证：‎ 即证：‎ 只需证：‎ 即证：，显然成立 故.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关推理与证明的问题，注意对题中所给的式子认真观察，得出规律，要熟练掌握分析法证明问题时书写步骤的严密性.‎ ‎21．已知函数，‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的零点个数；‎ ‎（Ⅱ），不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）对函数求导，得到，，利用导数研究函数的单调性，可以得出函数零点的个数；‎ ‎（Ⅱ）由，不等式恒成立，得到恒成立，即，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵． ‎ 当时，在上单调递减，且，‎ 有且只有一个零点； ‎ 当时，令得． ‎ 由得的单调递增区间为； ‎ 由得的单调递减区间为．‎ 的最小值为 当即时无零点 当 即时有一个零点 当 即时且，有两个零点． ‎ ‎（Ⅱ）∵， ‎ 则，即． ‎ 设，则问题转化为， ‎ 由，令 ‎ 当 单调递增 ‎，单调递减 当时，函数有极大值，即最大值为． ‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的零点，利用导数研究不等式恒成立时参数的取值范围，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.‎ ‎22．已知函数 ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若对恒成立，求的最大值与的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）的最大值为，的最小值为1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后证明即可；‎ ‎（Ⅱ）构造函数利用函数的导数求解函数的单调性以及函数的最值，然后求解的最大值与的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为 当，从而在单调递减，所以. ‎ ‎（Ⅱ）令则 ‎，由（Ⅰ）知，‎ 所以函数在单调递增，故 所以的最大值.‎ 因为等价于 令则 ‎（1）当时，，所以在单调递增，所以对任意恒成立，不符合题意；‎ ‎（2）当时，因为对任意，，所以在单调递减，所以对任意恒成立，符合题意；‎ ‎（3）当时，构造，则 所以在单调递增，又因为 所以存在唯一零点，使得，当，，在单调递减，当，，在在单调递增 所以，不符合题意，综上，的最小值为1 ‎ 所以对恒成立，的最大值为，的最小值为1.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关应用导数研究函数的综合题，在解题的过程中，涉及到的知识点有应用导数证明不等式成立，利用导数研究不等式恒成立求参数的取值范围的问题，属于较难题目.‎