高考数学精英备考专题讲座 选择题的解题策略(1)

高考数学精英备考专题讲座 选择题的解题策略(1)

【解法一】直接求解法： 直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公示等，经过变形、推理、计算、判断得 到结论. 这种方法是解填空题的最基本、最常用的方法. 使用直接法解填空题，要善于通过现 象看本质，自觉地，有意识地采取灵活、简捷的解法. 例 1 已知双曲线 22 221xy ab的离心率为 2，焦点与椭圆 22 125 9 xy的焦点相同，那么双曲线 的焦点坐标为 ；渐近线方程为 . 点拨：此题考查椭圆和双曲线的简单性质. 解：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出焦点坐标为 ( 4,0) ，又双曲线离心率为 2，即 2, 4c ca ，故 2, 2 3ab ， 渐 近 线 为 3by x xa    . 易错点：容易将椭圆和双曲线中 ,,abc的关系混淆. 例 2 某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管 理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了 抽样调查，其中 4 位居民的月均用水量分别为 （单位：吨）。根据图 2 所示的程序框图，若分 别为 1，1.5，1.5，2，则输出的结果 s 为 . 点拨：此题考查程序框图及循环体的执行.. 解：第一（ 1i ）步： 11011  ixss 第二（ 2i ）步： 5.25.1111  ixss 第三（ 3i ）步： 45.15.211  ixss 第四（ 4i ）步： 62411  ixss ， 2 364 1 s 第五（ 5i ）步： 45 i ，输出 2 3s 易错点：本题主要考查程序框图的运行，由于运行结果哦的数字运算较为麻烦，可能容易出 错 【解法二】 特殊化法： 当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息 暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取符合条件的恰当特殊值（特殊函数， 特殊角，特殊数列，特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求 的结论. 这样可以大大地简化推理、论证的过程. 此种方法也称为“完美法”，其根本特点是 取一个比较“完美”的特例，把一般问题特殊化，已达到快速解答. 为保证答案的正确性，在 利用此方法时，一般应多取几个特例. 例 3 已知定义在 R 上的奇函数 ()fx满足 ( 4) ( )f x f x   ，且在区间[0，2]上是增函数，若 方程 ()f x m （ 0m  ）在区间 8,8 上 有四个不 同的根， 1 2 3 4x x x x， ， ， ，则 1 2 3 4x x x x    ． 点拨：此题考查抽象函数的奇偶性，周期性，单调性和对称轴方程，条件多，将各种特殊条 件结合的最有效方法是把抽象函数具体化. 解：根据函数特点取 ( ) sin 4f x x ，再根据图像可得    1 2 3 4 [( 6 2) (2 2)] 2 8x x x x           【答案】-8 易错点：由 只想到函数的周期为 8，没有注意各条件之间的联系，根据结论 与对称轴有关而导致思路受阻. 例 4 在△ ABC 中，角 ,,A B C 所对的边分别为 ,,abc，如果 成等差数列， 则 cos cos 1 cos cos AC AC   ___________. 点拨：此题为解三角形与数列的综合题，直接求解较复杂，考虑取特殊值. 解：取特殊值 3, 4, 5a b c   ，则 4cos ,cos 05AC， cos cos 4 1 cos cos 5 AC AC   . 或取 1, 1, 1abc   ，则 1cos cos cos60 2AC   ，代入也可得.也可利用正弦 定理边化角及三角函数和差化积直接求解. 易错点：直接求解时容易忽略三角形内角和等于180 这个隐含条件而导致思路受阻. 【解法三】 数形结合法： 对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做 到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结 果. 例 5： 已知 F 是C 椭圆的一个焦点， B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 于点 D ， 且 2BF FD ，则C 的离心率为 . 点拨：此题是椭圆和向量的综合题，由于涉及到椭圆与直线相 交，应结合图形，运用椭圆的第二定义进行求解. 解：如图， 22||BF b c a   , 作 1DD y 轴于点 D1,则由 ，得 1 | | | | 2 | | | | 3 OF BF DD BD,所以 1 33| | | |22DD OF c,即 3 2D cx  , 由椭圆的第二定义 2233| | ( )22 a c cFD e aca    又由 | | 2| |BF FD ,得 232 caaa ,整理得 223ac .两边都除以 2a ,得 3 3e  . 易错点：没有运用椭圆的第二定义，导致运算量大且极难算. 例 6 定义在区间(0, )2  上的函数 6cosyx 的图像 与 5tanyx 的图像的交点为 P ，过点 作 1PP ⊥ x 轴于点 1P ， 直线 1PP 与的 sinyx 图像交于点 2P ,则线段 1P 的长为_____. 点拨：此题考查三角函数图像和同角三角函数关系，涉及图像问题，应运用数形结合思想进 行转化. 解：线段 的长即为sin x 的值，且其中的 x 满足 6cos x 5tan x ，解得sin x  2 3 ，即线段 的长为 . 易错点：考虑通过求出点 ， 的纵坐标来求线段长度，没有想到线段长度的意义，忽略数 形结合，导致思路受阻. 【解法四】 特征分析法： 有些问题看似，非常复杂，一旦挖掘出其隐含的数量或位置等特征，此问题就能迎刃而解. 例 7 已知函数 ()fx满足： 1(1) 4f  ， 4 ( ) ( ) ( ) ( ),( , )f x f y f x y f x y x y R     ，则 (2010)f  ____________． 点拨：此题考查函数周期性，所知函数值有限，所求函数自变量数值很大，应考虑寻找规律. 解：取 1, 0xy得 2 1)0( f 法一：通过计算 )........4(),3(),2( fff ，寻得周期为 6 法二：取 ,1x n y,有 ( ) ( 1) ( 1)f n f n f n    ,同理 ( 1) ( 2) ( )f n f n f n    . 联立得 ( 2) ( 1)f n f n    , 所以 6T  故  2010f (0)f2 1 . 易错点：忽略自变量是一个数值较大的正整数，没有考虑函数值的周期性规律或数列与函数 的联系，一味考虑直接求 (2010)f 而导致思路受阻. 例 8 五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为 1.第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报出的数 都是前两位同学所报出的数之和； ②若报出的是为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次， 当第 30 个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 点拨：此题考查递推数列，具有循环的特点.这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波 那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力.首先求出这个数列的每一项除以 3 所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了. 解：这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有 1、1、2、3、5、 8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以 3 得余数分别是 1、1、2、 0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按 1、1、2、0、2、 2、1、0 循环，周期是 8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是 3 的倍数，所以在三个周 期内共有 6 个报出的数是三的倍数，后面 6 个报出的数中余数是 1、1、2、0、2、2，只有一 个是 3 的倍数，故 3 的倍数总共有 7 个，也就是说拍手的总次数为 7 次. 易错点：容易考虑将数列的前 30 项分别求出再求有几项是三的倍数，而没有考虑观察余数呈 现的规律而导致解题过程复杂化. 【解法五】构造法： 根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些熟悉的数学模型，并借助于它认识和解决问 题的一种方法. 例 9 如图，在三棱锥O ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且 > > ,分 别经过三条棱 ， ， 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积 依次为 1S ， 2S ， 3S ，则 ， ， 的大小关系为 . 点拨：此题考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力， 已知条件少，没有具体的线段长度，应根据三条棱两两垂直 的特点，以 ， ， 为棱，补成一个长方体. 解：通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长 ， ， 分别为 1，2，3 得 3 2 1S S S. 易错点：立体几何图形比较抽象，忽略将题中图形与熟悉图形联系，将线段长度具体化很难 求出. 例 10 已知实数 ,xy满足 55(3 5 ) 4 0x y x x y     ，则 4xy =____________. 点拨：此题考查数学知识的运用能力，两个未知数一个方程，且方程次数较高，不能直接求 出 x ， y 的值，应考虑将 整体求出，注意方程的结构特点. 解：构 造 函 数 5()f t t t，则已 知 变 为 55(3 ) (3 ) ( )x y x y x x      ，即 (3 ) ( )f x y f x   ，根据函数 ()ft是奇函数且单调递增可得 (3 )f x y ()fx，于是 3x y x   ，即 40xy. 易错点：没有观察方程的特点，一味想将 4xy 作为整体直接求解，导致求解困难. 习题 7-3 1. 设实数 x 、 y 满足 2 2 0 30 3 xy xy x         ,则 2z x y 的最小值为 _________ . 2．已知 a 是第二象限的角， 4tan( 2 ) 3a    ，则 tana  ． 3．过抛物线 21 4yx 准线上任一点作抛物线的两条切线，切点分别为 ,MN.若已知直线 MN 过一个定点，则这个定点是________________. 4．若函数 () xf x a x a   （ 0a  且 1a  )有两个零点，则实数 a 的取值范围是 ． 5.已知数列{}na 满足： 4 3 4 1 210n n n na a a a n     N， ， ， ，则 2009a  ______； 2014a =_________． 6. 如图，点 P 在正方形 ABCD所在的平面外， 且 PD 面 ， PD AD ,则 PA 与 BD 所成角的度数为__________. 7. 设 112, ,(2 ) (3 )23 nnn n N x x     2 0 1 2 n na a x a x a x    ， 将 (0 )ka k n 的最小值记为 nT ，则 2 3 4 53 3 5 5 1 1 1 10, , 0, , , ,2 3 2 3 nT T T T T        其中 nT =__________________ . 【答案】 习题 7-3 4． (1, ) . 提示：（数形结合法）利用函数与方程的思想原题转化为 xya 与 y x a两函数图像有两 交点时实数 a 的取值范围.结合图形分析可知 1a  . 5. 1,0. 提示：（特征分析法）本题主要考查周期数列等基础知识,属于创新题型.依题意得: 2009 4 503 3 2014 2 1007 4 252 11, 0a a a a a        