【数学】2020届一轮复习人教A版不等式的性质的解题技巧（文）学案
专题32 不等式的性质的解题技巧
一．【学习目标】
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．
2．了解不等式(组)的实际背景．
3．掌握不等式的性质及应用．
二．【知识要点】
1．不等式的定义
用不等号“>，≥，＜，≤，≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫做不等式．
2．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b>0⇔a >b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a
b⇔b < a；
(2)传递性：a>b，b>c⇒a >c；
(3)可加性：a>b⇔a+c>b+c；a>b，c>d⇒a+c>b+d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac < bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(5)倒数法则：a>b，ab>0⇒；
(6)乘方性质：a>b>0⇒ (n≥2，n∈N*)；
(7)开方性质：a>b>0⇒ (n≥2，n∈N*)；
(8)有关分数的性质：若a>b>0，m>0，则
①真分数的性质：<；
>(b－m>0)；
②假分数的性质：>；
<(b－m>0)．
4．基本不等式
(1)a2＋b2≥2ab；变式：≥ab；当且仅当a＝b时等号成立；
(2)如果a≥0，b≥0，则≥；变式：ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立，其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
5．(1)若a>0，b>0，且a＋b＝P(定值)，则由ab≤＝可知，当a＝b时，ab有最大值；
(2)若a>0，b>0且ab＝S(定值)，则由a＋b≥2＝2可知，当a＝b时，a＋b有最小值2.
三．典例分析
（一）由已知条件判断不等式
例1．已知条件甲：，条件乙：且，则甲是乙的（ ）
（2）设数列的前n项和为，证明．
【答案】（1）见解析； （2）见解析.
【解析】（1）由题意得，，即，，
由可得，
由，得，故.
（2）由题意得，所以①，
由和得，，
所以，因此②，
由①②得，所以
练习2．选修4-5：不等式选讲
已知为任意实数.
（1）求证：；
（2）求函数的最小值.
【答案】（1）见解析（2）1
【解析】（1）
，
因为，
所以.
（2） .
即.
点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．
（六）利用不等式求范围
例6．已知函数f（x）=x2-ax，h（x）=-3x+2，其中a＞1．设不等式f （1）+f（-1）≥2|x|的解集为A．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）若对任意x1∈A，存在x2∈A，满足2f（x1）=h（x2），求a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）A=[-1，1] （Ⅱ）（1，]
【解析】（Ⅰ）f（1）+f（-1）≥2|x|可化为|x|≤1，解得-1≤x≤1，
∴A=[-1，1]
（Ⅱ）h（x）=-3x+2在[-1，1]上是递减函数，所以h（x）的值域为[-1，5]
f（x）=x2-ax的对称轴为x=，（a＞1）
当＞1即a＞2时，f（x）在[-1，1]上递减，值域为[1-a，1+a]，
2f（x）的值域为[2-2a，2+2a]，依题意[2-2a，2+2a]⊆[-1，5]，
∴，解得a矛盾，舍去
当≤1，即1＜a≤2时，f（x）min=f（）=-，f（x）max=max{1-a，1+a}
依题意解得1＜a
故所求a的取值范围是（1，]
练习1．已知,且－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.
【答案】
【解析】由题意得
解得
所以,
因为，所以；
因为，所以。
两式相加得，故的取值范围是.
练习2．设不等式的解集为.
（Ⅰ）求集合；
（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】（Ⅰ）令，
由得，
解得．
∴.
（Ⅱ）由不等式，的，
令，
要使，
则，
整理得，
∴，
解得.
∴实数的取值范围．
点睛：（1）与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值．
（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
练习3．已知函数的定义域为，其中为常数；
（1）若，且是奇函数，求的值；
（2）若， ，函数的最小值是，求的最大值；
（3）若，在上存在个点，满足， ，
，使得，
求实数的取值范围；
【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）因为函数为奇函数，根据奇函数定义可得可得对任意恒成立，变形可得对任意恒成立，可求；(2)将函数的解析式讨论去掉绝对值号，。两段函数的对称轴都为，因为。讨论 与-1的大小，可得两段二次函数在区间上的单调性，求得最小值。得最小值，求两段的取值范围，取较大的为最大值。（3）由（2）可知在上单调递增，在上单调递减，所以，由绝对值不等式可得，所以
，整理得，解得为所求.
试题解析：解：(1)∵是奇函数，∴对任意恒成立，
∴，即对任意恒成立，∴；
(2)
，
∵，∴，∴，
(3)∵，且在上单调递增，在上单调递减，
∴
而
要使满足条件的点存在，必须且只需，即，解得为所求.
【点睛】1、函数为奇函数，求解析式中字母的值：方法一，奇函数定义；方法二，定义域中特殊的自变量 ， ；方法三，如定义域中含有0，则。2、解析式含绝对值的函数，求最值时，应讨论去掉绝对值号，转化为分段函数求最值。3、二次函数求最值，当对称轴不确定时，应讨论与定义域端点的大小，判断函数的单调性求最值。
