2019-2020学年湖北省黄冈市高一（下）期末数学试卷

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‎2019-2020学年湖北省黄冈市高一（下）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎ ‎ ‎1. sin‎10‎‎∘‎cos‎35‎‎∘‎+cos‎10‎‎∘‎sin‎35‎‎∘‎＝（ ） ‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎−‎‎2‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎ ‎ ‎2. 已知向量a‎→‎‎=(x, 2)‎，b‎→‎‎=(2x+1, 3)‎，若a‎→‎‎=λb‎→‎，则x＝（ ） ‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎−2‎ C.‎1‎ D.‎‎2‎ ‎ ‎ ‎3. 若等差数列‎{an}‎满足a‎7‎‎+‎a‎9‎＝‎2‎，a‎10‎＝‎−5‎，则数列‎{an}‎的首项a‎1‎＝（ ） ‎ A.‎20‎ B.‎−3‎ C.‎22‎ D.‎‎−23‎ ‎ ‎ ‎4. 在‎△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=−‎‎3‎‎5‎，a＝‎8‎，b＝‎5‎，则B＝（ ） ‎ A.π‎4‎ B.π‎6‎ C.π‎3‎ D.‎‎5π‎6‎ ‎ ‎ ‎5. 若直线‎3x+ay−1‎＝‎0‎与直线x−y+1‎＝‎0‎平行，则a＝（ ） ‎ A.‎−3‎或‎−1‎ B.‎−1‎ C.‎−3‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎ ‎ ‎6. 已知点A(−2, −3)‎和点B(−1, 0)‎是平面直角坐标系中的定点，直线y＝kx+1‎与线段AB始终相交，则实数k的取值范围是（ ） ‎ A.‎[1, 2]‎ B.‎[−2, 1]‎ C.‎[−2, −1]‎ D.‎‎[‎1‎‎2‎, 1]‎ ‎ ‎ ‎7. 在‎△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=‎π‎6‎，b＝‎2‎3‎c，‎△ABC的面积为‎2‎‎3‎，则a＝（ ） ‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎4‎ C.‎14‎ D.‎‎2‎‎7‎ ‎ ‎ ‎8. 如图，在三棱柱ABC−‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，侧面BB‎1‎C‎1‎C为矩形，侧面AA‎1‎B‎1‎B为菱形，且平面BB‎1‎C‎1‎C⊥‎平面AA‎1‎B‎1‎B，‎∠BAA‎1‎＝‎60‎‎∘‎，AB＝‎2BC＝‎2‎，则异面直线CA‎1‎与BC‎1‎所成角的余弦值为（ ） ‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎9‎ C.‎2‎‎5‎ D.‎‎1‎‎5‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，‎ ‎ ‎ ‎ 已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（ ） ‎ A.若m⊥α，n⊥α，则m // n B.若m // α，m // β，则α // β C.若α⊥β，m // β，则m⊥α D.若α // β，m⊥α，则m⊥β ‎ ‎ ‎ ‎ 在‎△ABC中，点E，F分别是边BC和AC上的中点，P是AE与BF的交点．则有（ ） ‎ A.AE‎→‎‎=‎1‎‎2‎AB‎→‎+‎‎1‎‎2‎AC‎→‎ B.AB‎→‎‎=2‎EF‎→‎ C.CP‎→‎‎=‎1‎‎3‎CA‎→‎+‎‎1‎‎3‎CB‎→‎ D.CP‎→‎‎=‎2‎‎3‎CA‎→‎+‎‎2‎‎3‎CB‎→‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在长方体ABCD−‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，AA‎1‎＝‎1‎，AB＝‎2‎，AD＝‎3‎，下列选项正确的有（ ） ‎ A.‎BD⊥‎A‎1‎C‎1‎ B.长方体ABCD−‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎的外接球的表面积为‎14π C.三棱锥A‎1‎‎−BDC的体积为‎1‎ D.三棱锥A‎1‎‎−BDC‎1‎与三棱锥A‎1‎‎−ABD的表面积相等 ‎ ‎ ‎ 已知数列‎{an}‎，a‎1‎＝‎1‎，a‎2‎＝‎5‎，在平面四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，且AE‎→‎‎=2‎EC‎→‎，当n≥2‎时，恒有BD‎→‎‎=(an−2an−1‎)BA‎→‎+(an+1‎−3an)‎BC‎→‎，则（ ） ‎ A.数列‎{an}‎为等差数列 B.BE‎→‎‎=‎1‎‎3‎BA‎→‎+‎‎2‎‎3‎BC‎→‎ C.数列‎{an}‎为等比数列 D.an+1‎‎−‎an＝‎4‎n ‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在答题卡上，‎ ‎ ‎ ‎ 直线‎3x−‎3‎y−2‎＝‎0‎的倾斜角为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 已知等比数列an的前n项和为Sn，a‎1‎‎＝4‎，a‎5‎‎2‎‎＝‎a‎8‎，则S‎3‎‎＝‎________. ‎ ‎ ‎ ‎ 已知平面向量a‎→‎‎=(1, 2)‎，b‎→‎‎=(1, x)‎，①若‎|a‎→‎−b‎→‎|=a‎→‎⋅‎b‎→‎，则实数x的值是________；②若a‎→‎‎+2‎b‎→‎与a‎→‎‎−2‎b‎→‎的夹角为锐角，则实数x的取值范围是________． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，设圆M的半径为‎2‎，点C是圆M上的定点，A，B是圆M上的两个动点，则CA‎→‎‎⋅‎CB‎→‎的最小值是________． ‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎ ‎ ‎ 已知向量n‎→‎与向量m‎→‎的夹角为π‎3‎，且‎|n‎→‎|‎＝‎1‎，‎|m‎→‎|‎＝‎3‎，n‎→‎‎⋅(n‎→‎−λm‎→‎)‎＝‎0‎． ‎(‎Ⅰ‎)‎求λ的值； ‎(‎Ⅱ‎)‎记向量n‎→‎与向量‎3n‎→‎−‎m‎→‎的夹角为θ，求cos2θ． ‎ ‎ ‎ ‎ 已知函数f(x)‎＝‎2sinx+cosx． ‎(‎Ⅰ‎)‎求函数f(x)‎的值域； ‎(‎Ⅱ‎)‎当f(x)‎＝‎0‎时，求‎2sin‎2‎xsin2x−cos2x+1‎的值． ‎ ‎ ‎ ‎ 在‎△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c，且sinB+sinCsinA+sinB‎=‎a−bc． ‎(‎Ⅰ‎)‎求A； ‎(‎Ⅱ‎)‎若b＝‎2‎，AD‎→‎‎=‎1‎‎2‎(AB‎→‎+AC‎→‎)‎，且‎|AD‎→‎|‎＝‎1‎，求‎△ABC的面积． ‎ ‎ ‎ ‎ 已知直线l‎1‎‎:x+2y−4‎＝‎0‎与直线l‎2‎‎:x−y−1‎＝‎0‎的交点为A，直线l经过点A，点P(1, −1)‎到直线l的距离为‎2‎．直线l‎3‎与直线l‎1‎关于直线l‎2‎对称． ‎(‎Ⅰ‎)‎求直线l的方程； ‎(‎Ⅱ‎)‎求直线l‎3‎的方程． ‎ ‎ ‎ ‎ 已知数列‎{an}‎满足a‎2‎＝‎4‎，an＝an−1‎‎+2(n≥2)‎，已知数列‎{bn}‎的前n项和为Sn，且满足Sn＝‎1−‎bn． ‎(‎Ⅰ‎)‎求数列‎{an}‎和‎{bn}‎的通项公式； ‎(‎Ⅱ‎)‎求数列‎{an⋅bn}‎的前n项和． ‎ ‎ ‎ ‎ 在三棱锥D−ABC中，底面‎△ABC为等边三角形，DB⊥DC，且DB＝DC，E为BC的中点． ‎(‎Ⅰ‎)‎证明：AD⊥BC； ‎(‎Ⅱ‎)‎若平面DBC⊥‎底面ABC，求AE与平面ADB所成角的正弦值． ‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 参考答案与试题解析 ‎2019-2020学年湖北省黄冈市高一（下）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 两角和与差的三角函数 ‎【解析】‎ 直接利用两角和的正弦化简求值．‎ ‎【解答】‎ sin‎10‎‎∘‎cos‎35‎‎∘‎+cos‎10‎‎∘‎sin‎35‎‎∘‎‎ ＝sin(‎10‎‎∘‎+‎35‎‎∘‎)‎＝sin‎45‎‎∘‎=‎‎2‎‎2‎．‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 平面向量共线（平行）的坐标表示 ‎【解析】‎ 利用向量平行的性质直接求解．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 向量a‎→‎‎=(x, 2)‎，b‎→‎‎=(2x+1, 3)‎，a‎→‎‎=λb‎→‎， ∴ ‎2x+1‎x‎=‎‎3‎‎2‎， 解得x＝‎−2‎．‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 等差数列的通项公式 ‎【解析】‎ 利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出数列‎{an}‎的首项a‎1‎．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 等差数列‎{an}‎满足a‎7‎‎+‎a‎9‎＝‎2‎，a‎10‎＝‎−5‎， ∴ a‎1‎‎+6d+a‎1‎+8d=2‎a‎1‎‎+9d=−5‎‎ ‎， 解得a‎1‎＝‎22‎，d＝‎−3‎． ∴ 数列‎{an}‎的首项a‎1‎＝‎22‎．‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 正弦定理 ‎【解析】‎ 根据同角的三角函数关系和正弦定理，即可求出sinB和B的值．‎ ‎【解答】‎ ‎△ABC中，cosA=−‎‎3‎‎5‎，所以A∈(π‎2‎, π)‎， 所以sinA=‎1‎−cos‎2‎A=‎‎4‎‎5‎； 又a＝‎8‎，b＝‎5‎， 由正弦定理得asinA‎=‎bsinB， 解得sinB=bsinAa=‎5×‎‎4‎‎5‎‎8‎=‎‎1‎‎2‎， 又B∈(0, π‎2‎)‎，所以B=‎π‎6‎．‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 直线的一般式方程与直线的平行关系 ‎【解析】‎ 根据直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 直线‎3x+ay−1‎＝‎0‎与直线x−y+1‎＝‎0‎平行，∴ ‎3‎‎1‎‎=a‎−1‎≠‎‎−1‎‎1‎， 求得a＝‎−3‎，‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 直线的斜率 ‎【解析】‎ 根据题意，分析可得点A、B分别在直线y＝kx+1‎的两侧或直线上，由一元二次不等式的几何意义可得‎(−2k+3+1)(−k+1)≤0‎，解可得k的取值范围，即可得答案．‎ ‎【解答】‎ 根据题意，直线y＝kx+1‎与线段AB始终相交，则点A、B分别在直线y＝kx+1‎的两侧或直线上， 则有‎(−2k+3+1)(−k+1)≤0‎， 解可得：‎1≤k≤2‎，即k的取值范围为‎[1, 2]‎；‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 余弦定理 三角形的面积公式 ‎【解析】‎ 利用三角形的面积公式求出b，c，然后利用余弦定理求解a即可．‎ ‎【解答】‎ 在‎△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=‎π‎6‎，b＝‎2‎3‎c，‎△ABC的面积为‎2‎‎3‎， 可得‎2‎3‎=‎1‎‎2‎bcsinπ‎6‎=‎1‎‎2‎×2‎3‎c‎2‎×‎‎1‎‎2‎，解得c＝‎2‎，则b＝‎4‎‎3‎， 所以a=b‎2‎‎+c‎2‎−2bccosπ‎6‎=‎48+4−2×4‎3‎×2×‎‎3‎‎2‎=2‎‎7‎．‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 异面直线及其所成的角 ‎【解析】‎ 取AA‎1‎中点D，连结BD，推导出CB⊥‎平面ABB‎1‎A‎1‎，BD⊥BB‎1‎，以B为原点，BD为x轴，BB‎1‎为y轴，BC为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线CA‎1‎与BC‎1‎所成角的余弦值．‎ ‎【解答】‎ 取AA‎1‎中点D，连结BD， ∵ 在三棱柱ABC−‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，侧面BB‎1‎C‎1‎C为矩形，侧面AA‎1‎B‎1‎B为菱形， 平面BB‎1‎C‎1‎C⊥‎平面AA‎1‎B‎1‎B，‎∠BAA‎1‎＝‎60‎‎∘‎，AB＝‎2BC＝‎2‎， ∴ CB⊥‎平面ABB‎1‎A‎1‎，BD⊥BB‎1‎， 以B为原点，BD为x轴，BB‎1‎为y轴，BC为z轴，建立空间直角坐标系， C(0, 0, 1)‎，A‎1‎‎(‎3‎, 1, 0)‎，B(0, 0, 0)‎，C‎1‎‎(0, 2, 1)‎， CA‎1‎‎→‎‎=(‎3‎, 1, −1)‎，BC‎1‎‎→‎‎=(0, 2, 1)‎， 设异面直线CA‎1‎与BC‎1‎所成角为θ， 则cosθ=‎|CA‎1‎‎→‎⋅BC‎1‎‎→‎|‎‎|CA‎1‎‎→‎|⋅|BC‎1‎‎→‎|‎=‎1‎‎5‎‎⋅‎‎5‎=‎‎1‎‎5‎． ∴ 异面直线CA‎1‎与BC‎1‎所成角的余弦值为‎1‎‎5‎．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，‎ ‎【答案】‎ A,D ‎【考点】‎ 空间中直线与平面之间的位置关系 空间中直线与直线之间的位置关系 ‎【解析】‎ 由直线与平面垂直的性质判断A；由直线与平面平行及平面与平面平行的定义判断B；由平面与平面垂直、直线与平面平行的定义判断C；由直线与平面垂直、平面与平面平行的定义判断D．‎ ‎【解答】‎ 对于A，若m⊥α，n⊥α，则m // n，故A正确； 对于B，若m // α，m // β，则α // β或α与β相交，故B错误； 对于C，若α⊥β，m // β，则m // α或m⊂α或m与α相交，故C错误； 对于D，若m⊥α，则m垂直α内的所有直线，又α // β，则m垂直β内的所有直线，则m⊥β，故D正确．‎ ‎【答案】‎ A,C ‎【考点】‎ 平面向量的基本定理 ‎【解析】‎ 由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可．‎ ‎【解答】‎ 由题意可得，AE‎→‎‎=AB‎→‎+BE‎→‎=AB‎→‎+‎1‎‎2‎BC‎→‎=AB‎→‎+‎1‎‎2‎(AC‎→‎−AB‎→‎)=‎1‎‎2‎(AC‎→‎+AB‎→‎)‎，A正确； 由中位线性质可得，AB＝‎2EF， 故AB‎→‎‎=2‎FE‎→‎，B错误， 由题意可得P为三角形的重心，则CP‎→‎‎=‎2‎‎3‎×‎1‎‎2‎(CA‎→‎+CB‎→‎)=‎1‎‎3‎(CA‎→‎+CB‎→‎)‎，C正确；D错误．‎ ‎【答案】‎ B,C ‎【考点】‎ 命题的真假判断与应用 棱柱、棱锥、棱台的体积 ‎【解析】‎ 根据长方体的性质结合AA‎1‎＝‎1‎，AB＝‎2‎，AD＝‎3‎，依次判断各选项即可；‎ ‎【解答】‎ 长方体ABCD−‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，AA‎1‎＝‎1‎，AB＝‎2‎，AD＝‎3‎， 对于A：根据AB＝‎2‎，AD＝‎3‎，可知底面不是正方形，所以BD与A‎1‎C‎1‎不垂直，故A不对； 对于B：长方体ABCD−‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎的外接球的直径‎2R=‎‎1+‎2‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎， 可得R=‎‎14‎‎2‎，所以球的表面积S＝‎4πR‎2‎＝‎14π，故B正确； 对于C：三棱锥A‎1‎‎−BDC的体积V=‎1‎‎3‎×SCBD⋅AA‎1‎=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×2×3×1=1‎，故C正确； 对于D：根据长方体的性质，AA‎1‎＝‎1‎，AB＝‎2‎，AD＝‎3‎，三棱锥A‎1‎‎−BDC‎1‎与三棱锥A‎1‎‎−ABD的表面积不相等，故D不对．‎ ‎【答案】‎ B,D ‎【考点】‎ 平面向量的基本定理 ‎【解析】‎ 由题意根据平面向量的线性运算可得BE‎→‎‎=‎2‎‎3‎BC‎→‎+‎‎1‎‎3‎BA‎→‎，进而判断B选项，再结合B，E，D三点共线，可得到an+1‎＝‎5an−4‎an−1‎，进而求出数列‎{an}‎的通项公式，从而判断ACD的正误．‎ ‎【解答】‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 对角线AC与BD交于点E，且AE‎→‎‎=2‎EC‎→‎，作图如下 AE‎→‎‎=2‎EC‎→‎，‎⇒AE‎→‎=‎‎2‎‎3‎AC‎→‎， ‎⇒AB‎→‎+BE‎→‎=‎2‎‎3‎(BC‎→‎−BA‎→‎)‎， ‎⇒BE‎→‎=‎2‎‎3‎BC‎→‎+‎‎1‎‎3‎BA‎→‎，故B正确； ∵ B，E，D 三点共线，则有 BD‎→‎‎=λBE‎→‎， ∴ an‎−2an−1‎=‎1‎‎3‎λan+1‎‎−3an=‎2‎‎3‎λ‎ ‎， 于是an+1‎‎−3‎anan‎−2‎an−1‎‎=2‎， ‎⇒‎an+1‎＝‎5an−4‎an−1‎， 对于求数列‎{an}‎的通项公式下面写两种解法： 解法‎1‎：所以an+1‎‎−‎an＝‎4(an−an−1‎)‎， 故数列‎{an+1‎−an}‎是以a‎2‎‎−‎a‎1‎＝‎4‎为首项，以‎4‎为公比的等比数列， 即an+1‎‎−an=‎‎4‎n，于是有 an‎−‎a‎1‎＝‎(an−an−1‎)+(an−1‎−an−2‎)+...+(a‎3‎−a‎2‎)+(a‎2‎−a‎1‎)‎ ＝‎4‎n−1‎‎+‎4‎n−2‎+...+‎4‎‎2‎+‎4‎‎1‎=‎4(1−‎4‎n−1‎)‎‎1−4‎=‎4‎‎3‎(‎4‎n−1‎−1)‎， 于是an‎=‎4‎n‎3‎−‎‎1‎‎3‎， 解法‎2‎： 由特征根知：x‎2‎＝‎5x−4‎ ‎⇒x‎2‎−5x+4‎＝‎0‎ ‎⇒x‎1‎‎=1‎x‎2‎‎=4‎ ‎， ∴ an‎=A⋅x‎1‎n+B⋅x‎2‎n=A+B‎4‎n， ∵ a‎1‎＝‎1‎，a‎2‎＝‎5‎， ∴ A+4B=1‎A+16B=5‎‎ ‎， ‎⇒A=−‎‎1‎‎3‎B=‎‎1‎‎3‎ ‎， ∴ an‎=‎4‎n‎3‎−‎‎1‎‎3‎， 根据等差数列等比数列的定义可知，A，B错误； an+1‎‎−an=(‎4‎n+1‎‎3‎−‎1‎‎3‎)−(‎4‎n‎3‎−‎1‎‎3‎)=‎‎4‎n， 故D正确；‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在答题卡上，‎ ‎【答案】‎ π‎3‎ ‎【考点】‎ 直线的倾斜角 ‎【解析】‎ 根据题意，设直线‎3x−‎3‎y−2‎＝‎0‎的倾斜角为θ，求出直线的斜率，则有tanθ=‎‎3‎，进而分析可得答案．‎ ‎【解答】‎ 根据题意，设直线‎3x−‎3‎y−2‎＝‎0‎的倾斜角为θ， 直线的斜率k=‎‎3‎， 则有tanθ=‎‎3‎， 又由‎0≤θ<π，则θ=‎π‎3‎；‎ ‎【答案】‎ ‎21‎‎4‎ ‎【考点】‎ 等比数列的通项公式 等比数列的前n项和 ‎【解析】‎ 利用等比数列an的前n项和通项公式求出q=‎‎1‎‎4‎，由此能求出S‎3‎．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 等比数列an的前n项和为Sn， a‎1‎‎＝4‎，a‎5‎‎2‎‎＝‎a‎8‎， ∴ （‎4‎q‎4‎）‎​‎‎2‎‎＝‎‎4‎q‎7‎，解得q=‎‎1‎‎4‎， ∴ S‎3‎‎=‎4(1−‎1‎‎4‎‎3‎)‎‎1−‎‎1‎‎4‎=‎‎21‎‎4‎． 故答案为：‎21‎‎4‎．‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎【答案】‎ ‎1‎‎3‎‎,‎‎(−‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎)‎ ‎【考点】‎ 数量积表示两个向量的夹角 平面向量数量积的性质及其运算 ‎【解析】‎ 可以求出a‎→‎‎−b‎→‎=(0,2−x)‎，然后根据‎|a‎→‎−b‎→‎|=a‎→‎⋅‎b‎→‎，从而可得出‎|2−x|‎＝‎1+2x，解出x即可；根据a‎→‎‎+2‎b‎→‎与a‎→‎‎−2‎b‎→‎的夹角为锐角即可得出‎−3+4−4x‎2‎>0‎‎3(2−2x)+2+2x≠0‎‎ ‎，然后解出x的范围即可．‎ ‎【解答】‎ a‎→‎‎−b‎→‎=(0,2−x)‎‎， ∵ ‎|a‎→‎−b‎→‎|=a‎→‎⋅‎b‎→‎，∴ ‎|2−x|‎＝‎1+2x， ∴ ‎(2−x‎)‎‎2‎＝‎(1+2x‎)‎‎2‎，整理得，‎3x‎2‎+8x−3‎＝‎0‎，解得x＝‎−3‎或‎1‎‎3‎， ∵ x＝‎−3‎时，‎1+2x＝‎−5<0‎，∴ x＝‎−3‎应舍去， ∴ x=‎‎1‎‎3‎； a‎→‎‎+2b‎→‎=(3,2+2x),a‎→‎−2b‎→‎=(−1,2−2x)‎， ∵ a‎→‎‎+2‎b‎→‎与a‎→‎‎−2‎b‎→‎的夹角为锐角， ∴ ‎(a‎→‎+2b‎→‎)⋅(a‎→‎−2b‎→‎)>0‎，且a‎→‎‎+2‎b‎→‎与a‎→‎‎−2‎b‎→‎不共线， ∴ ‎−3+4−4x‎2‎>0‎‎3(2−2x)+2+2x≠0‎‎ ‎，解得‎−‎1‎‎2‎

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