人教A版文科数学课时试题及解析（42）空间两直线

人教A版文科数学课时试题及解析（42）空间两直线

课时作业(四十二)　[第42讲　空间两直线]‎ ‎[时间：45分钟　　分值：100分]‎ ‎1．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b(　　)‎ A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 ‎2．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3． 如图K42－1所示，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点，则异面直线A‎1M和C1D1所成的角的正切值是________．‎ 图K42－1‎ ‎　　　图K42－2‎ ‎4． 如图K42－2，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C‎1C的中点，有以下四个结论：‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线；‎ ‎②直线AM与BN是平行直线；‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线；‎ ‎④直线AM与DD1是异面直线．‎ 其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．‎ ‎5． 给出下列四个命题：‎ ‎①没有公共点的两条直线平行；‎ ‎②互相垂直的两条直线是相交直线；‎ ‎③既不平行也不相交的直线是异面直线；‎ ‎④不同在任一平面内的两条直线是异面直线．‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎6． 已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　)‎ A．AB∥CD B．AB与CD异面 C．AB与CD相交 D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交 ‎7．正四面体P－ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为(　　)‎ 图K42－3‎ A. B. C. D. ‎8．已知异面直线a，b互相垂直，定点P不在直线a，b上，若过P点的直线l与a成25°角，则l与b所成角θ的取值范围为(　　)‎ A．[0°，45°) B．[65°，90°]‎ C．[45°，90°) D．(0°，25°]‎ ‎9．如图K42－4是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直，以上命题中，正确的序号是(　　)‎ 图K42－4‎ A．①②③　 B．②④　 C．③④　 D．②③④‎ ‎10．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．‎ 以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(把符合要求的命题序号都填上)‎ ‎11．ABCD与CDEF是两个全等的正方形，且两个正方形所在平面互相垂直，则DF与AC所成角的大小为________．‎ ‎12．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．‎ ‎13． 已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________________________________________________________________________(写出所有正确结论的编号)．‎ ‎14．(10分)如图K42－5所示，已知E、F分别是正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱AA1和棱CC1的中点．试判断四边形EBFD1的形状．‎ 图K42－5‎ ‎15．(13分) 若四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD(如图K42－6)，且PA＝2.‎ ‎(1)求异面直线PD与BC所成角的大小；‎ ‎(2)求四棱锥P－ABCD的体积．‎ 图K42－6‎ ‎16．(12分)已知：如图K42－7，空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD上的点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝λ，＝＝μ(0<λ、μ<1)，试判断FE、GH与AC的位置关系．‎ 图K42－7‎ 课时作业(四十二)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1．C　[解析] c与b不可能是平行直线，否则与条件矛盾．‎ ‎2．A　[解析] 直线EF和G(不相交，则EF与GH平行或异面，故E、F、G、H四点可能共面．‎ ‎3.　[解析] 如图，因为C1D1∥B‎1A1，所以∠MA1B1为异面直线A‎1M与C1D1所成的角．‎ 因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B‎1M＝90°.‎ 而A1B1＝1，B‎1M＝＝，‎ 故tan∠MA1B1＝＝.‎ 即异面直线A‎1M和C1D1所成的角的正切值为.‎ ‎4．③④　[解析] 由已知：①错．因为AM与CC1为异面直线；②错，因为若AM∥BN，则取DD1中点G，连接AG，由AG∥BN可得AM∥AG，这与AM和AG相交矛盾．③④正确．‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．B　[解析] 没有公共点的两条直线平行或异面，故命题①错；互相垂直的两条直线相交或异面，故命题②错；③④显然正确．‎ ‎6．D　[解析] 若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB∥CD；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.‎ ‎7．C　[解析] 如图，取PB中点N，连接CN、MN，则MN∥PA，‎ 故∠CMN为PA与CM所成的角(或所成角的补角)，‎ 设PA＝2，则CM＝，MN＝1，CN＝，‎ ‎∴cos∠CMN＝＝，故选C.‎ ‎8．B　[解析] 将异面直线a，b平移至相交于P点，当平移后的直线a，b与l这三条直线在同一平面内时，θ取得最小值65°，当b垂直于a，l所在的平面时，θ取得最大值90°.‎ ‎9．C　[解析] 首先将展开图还原(如图)，然后可利用排除法，容易观察出命题①②都是错误的，通过观察选择支，即可知选择C.‎ ‎10．②　[解析] 对于①可举反例，如AB∥CD，A、B、C、D没有三点共线，但A、B、C、D共面．对于②由异面直线定义知正确，故填②.‎ ‎11.　[解析] 如图，将该图补成一个正方体，则AG∥DF，则∠CAG即为DF与AC所成的角，由AG＝AC＝CG知，∠CAG＝.‎ ‎12．24　[解析] 正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线必须是面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有＝24对(每一对被计算两次，所以记好要除以2)．‎ ‎13．①②④　[解析] ①②④对应的情况如下：‎ 用反证法证明③不可能．‎ ‎14．[解答] 如图，取BB1的中点M，连接A‎1M、MF.‎ ‎∵M、F分别是BB1、CC1的中点，‎ ‎∴MF綊B‎1C1.‎ 在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，有A1D1綊B‎1C1，‎ ‎∴MF綊A1D1，‎ ‎∴四边形A1MFD1是平行四边形，‎ ‎∴A‎1M∥D‎1F.‎ 又E、M分别是AA1、BB1的中点，‎ ‎∴A1E綊BM，‎ ‎∴四边形A1EBM为平行四边形，‎ ‎∴EB∥A‎1M，故EB∥D‎1F.‎ 同理BF∥ED1，‎ ‎∴四边形EBFD1是平行四边形．‎ 又Rt△EAB≌Rt△FCB，‎ ‎∴BE＝BF，故四边形EBFD1为菱形．‎ ‎15．[解答] (1)∵AD∥BC，∴∠PDA的大小即为异面直线PD与BC所成角的大小．‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，‎ 由PA＝2，AD＝2，得tan∠PDA＝，∴∠PDA＝60°，‎ 故异面直线PD与BC所成角的大小为60°.‎ ‎(2)∵PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴VP－ABCD＝S正方形ABCD·PA＝×22×2＝.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] ∵＝＝λ，＝＝μ，‎ ‎∴EH∥BD，FG∥BD.‎ ‎∴EH∥FG，EH＝λ·BD，FG＝μ·BD.‎ ‎①当λ＝μ时，EH∥FG，且EH＝FG，‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.‎ ＝，∴HG∥AC.‎ 由公理4知，EF∥GH∥AC.‎ ‎②当λ≠μ时，EH∥FG，但EH≠FG.‎ ‎∴四边形EFGH是梯形，且EH、FG为上下两底边，∴EF、GH为梯形的两腰，它们必交于点P，P∈直线EF，P∈直线HG.又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，‎ ‎∴P∈平面ABC，P∈平面ADC，‎ ‎∴P是平面ABC和平面ADC的公共点．‎ 又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈直线AC，‎ ‎∴三条直线EF、GH、AC交于一点．‎ 综上所述，当λ＝μ时，三条直线EF、GH、AC互相平行；‎ 当λ≠μ时，三条直线EF、GH、AC交于一点．‎