2018-2019学年江苏省扬州中学高二下学期4月月考试题 数学（文）Word版

2018-2019学年江苏省扬州中学高二下学期4月月考试题 数学（文）Word版

江苏省扬州中学 2018-2019 学年高二 4 月检测 数学试题(文科) 2019.4.7 一、填空题（每题 5 分，共 70 分） 1.已知集合 ， ，则 . 2.已知复数 满足 (其中 i 为虚数单位),则 . 3.用反证法证明命题“若 , 能被 2 整除，则 中至少有一个能被 2 整除”，那么 反设的内容是． 4.若“ ”是“ ”的充分不必要条件,则实数 m 的最大值为. 5.已知 是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围是__________． 6.已知函数 ，则 的值. 7. 已 知 ， ， ， … ， ，则 _______. 8.若对于任意的 都有 则实数 a 的取值范围 是． 9.已知函数 ,则满足不等式 的 的取值范围为. 10.已知函数 ，若 ，则 的取值范围为. 11.设 为实数，若函数 存在零点，则实数 的取值范围是． 12.已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则不等式 的解集为. 13. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 满 足 ， 且 在 区 间 上 ， 则函数 的零点的个数为． { }11 <<−= xxA { }2,0,1−=B =BA z ( ) iiz −=+ 11 =z Nba ∈, ab ba， mx < 02020 9201 >− − x x ( )f x x a= − ( )1,+∞ a ( ) 2 2 1 x xxf += ( ) )4 1()4()3 1()3()2 1()2(1 ififififififf ++++++ 3 32 22 27 7 + = 3 33 33 326 26 + = 3 34 44 463 63 + = 33 20192019 n m n m =+ 2 1n m + = ），，（），（ ∞+∪∞∈ 51-x ,0)2(22 >+−− axax ( ) ( )22lg xxf += ( ) ( )312 fxf <− x    −∉ −∈= ]1,1[, ]1,1[,2)( xx xxf 2)]([ =xff x a axxxf −+−−= 13)( a ( )f x R 0x ≥ 2( ) 5f x x x= − ( 1)f x − > ( )f x ( )f x ( 4) ( )f x f x+ = [ )2 4， 2 2 3( ) 4 3 4 x xf x x x − <=  − < ≤ ≤ ， ， ， ， 5( ) logy f x x= − | | 14．若存在 ，使得 （ 且 ）成立，则实数 的取值范围是． 二、解答题 15．（本题 14 分）函数 的定义域为 , 定 义域为 . （1）求 ； （2）若 , 求实数 的取值范围. 16.（本题 14 分）定义在实数集上的函数 是奇函数， 是偶函数，且 . （1）求 、 的解析式； （2）命题 命题 ，若 为真，求 的范 围． 17. （本题 14 分）已知关于 的方程： 有实数根 ． （1）求实数 的值． （2）若复数 满足 ，求 为何值时， 有最小值，并求出 的值． x∈R xxxa −− ≥ 2 243 0a > 1a ≠ a 1 32)( + +−= x xxf A )1)](2)(1lg[()( <−−−= axaaxxg B A AB ⊆ a )(xf )(xg aaxxxgxf ++=+ 2)()( )(xf )(xg ,1)(],2,1[: ≥∈∀ xfxp ,1)(],2,1[: −≤−∈∃ xgxq qp ∨ a x )(09)6(2 Raaixix ∈=+++− b ba, z zbiaz 2=−− z z z 18. （本题 16 分）已知偶函数 的定义域为 ，值域为 ． （1）求实数 的值； （2）若 ，求实数 的值； （3）若 ,求 的值． 19. (本题 16 分)某仓库为了保持库内温度，四周墙上装有如图所示的通风设施，该设施的下部 是等边三角形 ABC，其中 AB=2 米，上部是半圆，点 E 为 AB 的中点．△EMN 是通风窗，（其 余部分不通风）MN 是可以沿设施的边框上下滑动且保持与 AB 平行的伸缩杆（MN 和 AB 不重 合）． （1）设 MN 与 C 之间的距离为 x 米，试将△EMN 的面积 S 表示成 的函数 ； （2）当 MN 与 C 之间的距离为多少时，△EMN 面积最大？并求出最大值． 2 ))(1()( x bxxxf ++= E F b { }  == 4 3,0,,2,1 FaE a [ ]nmFnmE 32,32,1,1 −−=   = nm, x ( )S f x= A BEM NC A BEM NC第 19 题图（图 1） （图 2） 20. (本题 16 分) 已知函数 . （1）求函数 的图象在 处的切线方程； （2）若函数 在 上有两个不同的零点，求实数 的取值范围； （ 3 ） 是 否 存 在 实 数 ， 使 得 对 任 意 的 ， 都 有 函 数 的 图 象 在 的图象的下方？若存在，请求出最大整数 的值；若不存在，请说理由. （参考数据： ， ）. 参考答案： 1. 2.13.a、b 都不能被 2 整除 4. 5. 6. 7.2019 8. 9. 10. 11. 12．(－2，3)13.514. 15．解：（1） ；......................7' （2） .....................14' 16.解：(1)由 f（x）+g（x）=x2+ax+a．①， 得 f（﹣x）+g（﹣x）=x2﹣ax+a． 因为 f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， 所以 f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）， 所以﹣f（x）+g（x）=x2﹣ax+a②， ①②联立得 f（x）=ax，g（x）=x2+a．......................7' (2)若 p 真，则 fmin（x）≥1，得 a≥1， 若 q 真，则 gmin（x）≤﹣1，得 a≤﹣1， 因为 p∨q 为真，所以 a≥1 或 a≤﹣1．.....................14' ( ) lnf x x= ( )f x 1x = ( ) ky f x x = + 2 1[ , )e +∞ k k 1( , )2x∈ +∞ ( ) ky f x x = + ( ) xeg x x = k ln 2 0.6931= 1 2 1.6487e = { }0 2019 ( ],1−∞ 2 7 ]51，（ ），（ 21- { }2]1-1[ ∪， ]2-2[ ， ),2[]2110 9 1 +∞∪∪ ，（），（ ),1[)1,( +∞∪−−∞=A 12 12 <≤−≤ aa 或 17. 解：（1）∵b 是方程 x2﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的实根， ∴（b2﹣6b+9）+（a﹣b）i=0， ∴ 解之得 a=b=3．.....................6' （2）设 z=x+yi（x，y∈R），由| ﹣3﹣3i|=2|z|， 得（x﹣3）2+（y+3）2=4（x2+y2）， 即（x+1）2+（y﹣1）2=8， ∴z 点的轨迹是以 O1（﹣1，1）为圆心，2 为半径的圆， 如图所示， 如图，当 z 点在 OO1 的连线上时，|z|有最大值或最小值， ∵|OO1|= ， 半径 r=2 ， ∴当 z=1﹣i 时． |z|有最小值且|z|min= ．................14' 18 . . 解：（1） .................4' (2)令 f（a）=0，即 ，a=±1，取 a=﹣1； 令 f（a）= ，即 ，a=±2，取 a=﹣2， 故 a=﹣1 或﹣2．..................8' （3）∵ 是偶函数，且 f’（x）= ＞0， 则函数 f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数． ∵x≠0，∴由题意可知： 或 0＜ ． 若 ，则有 ，即 ， 整理得 ，此时方程组无负解；.................12' 若 0＜ ，则有 ，即 ， ∴m，n 为方程 x2﹣3x+1=0，的两个根．∵0＜ ，∴m＞n＞0， ∴m= ，n= ．......................16' 解：（1）令 f（a）=0，即 ，a=±1，取 a=﹣1； 令 f（a）= ，即 ，a=±2，取 a=﹣2， 故 a=﹣1 或﹣2．.....................6' （2）∵ 是偶函数，且 f'（x）= ＞0， 则函数 f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数． ∵x≠0，∴由题意可知： 或 0＜ ． 若 ，则有 ，即 ， 整理得 m2+3m+10=0，此时方程组无解； 若 0＜ ，则有 ，即 ， ∴m，n 为方程 x2﹣3x+1=0，的两个根．∵0＜ ，∴m＞n＞0， ∴m= ，n= ．.....................16' 19．解（1）①当 MN 在三角形区域内滑动时 即 是等腰三角形， 1−=b 010272 24 =+−+ nnn (0, 3)x∈ / / ,MN AB ABC∆ 060MNC∠ = 连接 EC 交 MN 于 P 点，则 PC=x，PN= ， 的面积 .....................................4' ②当 MN 在半圆形区域滑动即 时 ......................................................................................6' 所以 .......................8' （2） 时， 的对称轴为 所以 ...............................................................11' 时， 当且仅当 取等号，..................................................15' 又 所以三角形 EMN 的面积最大值为 ......................................16' 20.解：（1）因为 ，所以 ，则所求切线的斜率为 ， ……………2 分 又 ，故所求切线的方程为 . ................4 分 （2）因为 ，则由题意知方程 在 上有两个不同的根.， 由 ，得 ， ……………6 分 令 ，则 ，由 ，解得 . 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调 递增， 所以当 时， 取得最小值为 . ……………8 分 又 ， （图象如右图所示）， 所以 ，解得 . ……………10 分 1( )f x x ′ = (1) 1f ′ = 1 (1) ln1 0f = = 1y x= − ( ) lnk kf x xx x + = + ln 0kx x + = 2 1 ,e  +∞  ln 0kx x + = lnk x x− = ( ) lng x x x= ( ) ln 1g x x′ = + ( ) 0g x′ = 1x e = 2 1 1,x e e  ∈   ( ) 0g x′ < ( )g x 1 ,x e  ∈ +∞   ( ) 0g x′ > ( )g x 1x e = ( )g x 1 1( )g e e = − 2 2 1 2( )g e e = − (1) 0g = 2 1 2ke e − < − ≤ − 2 2 1ke e ≤ < 3 3 x 2 3 3MN x= ABC∆ 1( ) | | ( 3 )2S f x MN x= = − 23 3 x x= − + ( 3, 3 1)x∈ + 22 1 ( 3)MN x= − − 2 2 3 (0, 3)3( ) ( 3) 1 ( 3) ( 3, 3 1) x x x S f x x x x − + ∈= =   − − − ∈ + (0, 3)x∈ 23( ) 3S f x x x= = − + 3 (0, 3)2x = ∈ 2 max 3 3 3 3 3( ) ( ) ( )2 3 2 2 4f x f= = − + = ( 3, 3 1)x∈ + 2( ) ( 3) 1 ( 3)f x x x= − − − 2 2( 3) (1 ( 3) ) 1 2 2 x x− + − −≤ = 2 3 ( 3, 3 1)2x = + ∈ + 1 3 2 4 > 1 2 y xO 11 e2 1 e 1 1 e − 1 2 2 e − 1 （3）假设存在实数 满足题意，则不等式 对 恒成立. 即 对 恒成立. 令 ，则 ， ……12 分 令 ，则 ， 因为 在 上单调递增， ， ，且 图象在 上不间断，所以存在 ，使得 ，即 ，则 ， 所以当 时， 单调递减；当 时， 单调递增， 则 取到最小值 ，…14 分 所以 ，即 在区间 内单调递增. 所以 ， 所以存在实数 满足题意，且最大整数 的值为 . ……………16 分 k ln xk ex x x + < 1( , )2x∈ +∞ lnxk e x x< − 1( , )2x∈ +∞ ( ) lnxh x e x x= − ( ) ln 1xh x e x′ = − − ( ) ln 1xr x e x= − − 1( ) xr x e x ′ = − ( )r x′ 1( , )2 +∞ 1 21( ) 2 02r e′ = − < (1) 1 0r e′ = − > ( )r x′ 1( ,1)2 0 1( ,1)2x ∈ 0( ) 0r x′ = 0 0 1 0xe x − = 0 0lnx x= − 0 1( , )2x x∈ ( )r x 0( , )x x∈ +∞ ( )r x ( )r x 0 0 0 0 0 1( ) ln 1 1xr x e x x x = − − = + − 0 0 12 1 1 0x x ≥ ⋅ − = > ( ) 0h x′ > ( )h x 1( , )2 +∞ 1 1 2 21 1 1 1( ) ln ln 2 1.995252 2 2 2k h e e≤ = − = + = k k 1