黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

鹤岗一中2018～2019学年度下学期期末考试高二数学理科试题 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） ‎ ‎1.设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=‎ A. (-∞，1) B. (-2，1)‎ C. (-3，-1) D. (3，+∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合A，再求出交集．‎ ‎【详解】由题意得，，则．故选A．‎ ‎【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．‎ ‎2.设命题，，则为（ ）．‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.‎ ‎【详解】解：表示对命题的否定，‎ ‎“，”的否定是“，” ．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.‎ ‎3.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数单调性和奇偶性的性质分别对选项进行判断即可 ‎【详解】对于A，为奇函数，在区间为单调增函数，不满足题意；‎ 对于B, 为偶函数，在区间上为单调递减的函数，故B满足题意；‎ 对于C, 为偶函数，在区间上为周期函数，故C不满足题意；‎ 对于D, 为偶函数，在区间为单调增函数，故D不满足题意；‎ 故答案选B ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质.‎ ‎4.设函数，则（　　）‎ A. 9 B. 11 C. 13 D. 15‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.‎ ‎【详解】∵函数，‎ ‎∴=2+9=11．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．‎ ‎5.函数的零点所在的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的性质可得而且，利用零点存在定理可得结果.‎ ‎【详解】因为函数在上单调递增且连续，‎ 而，‎ ‎，‎ 即，‎ 所以，函数的零点所在的区间是，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于中档题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.‎ ‎6.若，则“”是 “”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.‎ ‎【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.‎ ‎【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.‎ ‎7.函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为 A. B. 或 ‎ C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性得到，在单调递增，得，再由二次函数的性质得到，‎ ‎【详解】函数为偶函数，‎ 则，故，‎ 因为在单调递增，所以.‎ 根据二次函数的性质可知，‎ 不等式 ，或 者，‎ 的解集为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】此题考查了函数的对称性和单调性的应用，对于抽象函数，且要求解不等式的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为自变量的大小比较，直接比较括号内的自变量的大小即可.‎ ‎8.已知函数，，若，，则的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，确定函数的单调性，然后确定这三个数之间的大小关系，最后利用函数的单调性判断出的大小关系.‎ ‎【详解】，所以是上的增函数.‎ ‎，‎ 所以，故本题选C.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数判断出函数的单调性，然后判断函数值大小关系.解决本题的重点是对指数式、对数式的比较，关键是对指数函数、对数函数的单调性的理解.‎ ‎9.如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对B选项的对称性判断可排除B. 对选项的定义域来看可排除，对选项中，时，计算得，可排除，问题得解。‎ ‎【详解】为偶函数，其图象关于轴对称，排除B.‎ 函数的定义域为，排除.‎ 对于，当时，，排除 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了函数对称性、定义域、函数值的判断与计算，考查分析能力，属于中档题。‎ ‎10.若，则（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小.‎ ‎【详解】①令，则，∴在上单调递增，‎ ‎∴当时，，即，故A正确．B错误.‎ ‎②令，则，令，则，‎ 当时，；当时，，∴在上单调递增，‎ 在上单调递减，易知C，D不正确，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.‎ ‎11.已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则实数的取值是（ ）‎ A. 0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，转化求解切线方程，通过方程有两个相等的解，推出结果即可．‎ ‎【详解】设切点为，且函数的导数，‎ 所以，则切线方程为，‎ 切线过点，代入得，‎ 所以，即方程有两个相等的解，‎ 则有，解得或，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎12.已知函数，若对任意，总存在，使，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出两个函数的值域，结合对任意，总存在，使，等价为的值域是值域的子集，利用数形结合进行转化求解即可．‎ ‎【详解】对任意，则，即函数的值域为，‎ 若对任意，总存在，使，‎ 设函数的值域为A，‎ 则满足，即可，‎ 当时，函数为减函数，则此时，‎ 当时，，‎ ‎①当时，（红色曲线），即时，满足条件，‎ ‎②当时，此时，要使成立，‎ 则此时，‎ 此时满足（蓝色曲线），即，得，‎ 综上或，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的值域，转化为的值域是值域的子集，利用数形结合是解决本题的关键．‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：将被积函数化简为，求出原函数，利用微积分基本定理求解即可.‎ 详解：.‎ 点睛：定积分的计算一般有三个方法：‎ ‎（1）利用微积分基本定理求原函数；‎ ‎（2）利用定积分几何意义，利用面积求定积分；‎ ‎（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0‎ ‎14.已知函数对于任意实数满足条件，若 ，则 _________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求得函数的周期性，得出函数的周期，然后利用函数的周期和的值，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，函数对任意实数满足条件，‎ 则，‎ 即函数是以4为周期的周期函数，‎ 又由，令，则，即，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，以及函数的周期性的判定和函数值的求解，其中解答中根据题设条件求得函数的周期是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎15.函数的最小值是___．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 换元将原式化为：进而得到结果.‎ ‎【详解】令，，则，所以，即所求最小值为1.‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】这个题目考查了对数型的复合函数的最值问题，研究函数最值一般先从函数的单调性入手，而复合函数的单调性，由内外层共同决定.‎ ‎16.若函数在上单调递增，则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，根据恒成立，设，得到，分三种情况讨论，运用函数的单调性求得最值，即可得到的取值范围．‎ ‎【详解】由题意，函数的导数为，‎ 由题意可得恒成立，即恒成立，‎ 即有，‎ 设，则，即，‎ 当时，不等式显然不成立；‎ 当时，则，‎ 又由在上递增，可得时，取得最大值，‎ 可得，解答；‎ 当时，则，‎ 又由在上递增，可得时，取得最大值，‎ 可得，解答，‎ 综上可得的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答)‎ ‎（一）必考题(共60分,每题12分）‎ ‎17.命题p：关于x的不等式对一切恒成立； 命题q：函数在上递增，若为真，而为假，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，可分别求得p真、q真时m取值范围，再由p∨q为真，而p∧q为假求得实数a的取值范围即可．‎ ‎【详解】命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；‎ ‎①若命题p正确，则△＝（2a）2﹣42＜0，即﹣2＜a＜2；‎ ‎②命题q：函数f（x）＝logax在（0，+∞）上递增⇒a＞1，‎ ‎∵p∨q为真，而p∧q为假，‎ ‎∴p、q一真一假，‎ 当p真q假时，有，‎ ‎∴﹣2＜a≤1；‎ 当p假q真时，有，‎ ‎∴a≥2‎ ‎∴综上所述，﹣2＜a≤1或a≥2．‎ 即实数a的取值范围为（﹣2，1]∪[2，+∞）．‎ ‎【点睛】本题考查复合命题的真假，分别求得p真、q真时m的取值范围是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．‎ ‎18.已知函数为定义在上的奇函数，且当时， ‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间 上的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用奇函数的定义即可求函数f（x）的解析式．（Ⅱ）根据函数的解析式，先画出图象，然后对a（要考虑函数的解析式及单调性）进行分类讨论即可求出函数的值域．‎ ‎【详解】（Ⅰ）当x＞0时，,又f（x）为奇函数，‎ 则当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-（-x 2-4x）=x 2+4x，又f（0）=0 ‎ 故 f(x)解析式为 ‎ ‎（Ⅱ）根据函数解析式画出函数f(x)的图像，可得f（-2）=-4，当x>0时，由 f(x)=-4,解得x=2+2 ‎ ‎① 当-2＜a≤2+2时，观察图像可得函数最小值为f(-2)=-4‎ ‎② 当a ＞2+2时，函数在[-2，2]上单调递增，在[2，a]是单调递减，由图像可得函数的最小值为f(a)= ‎ 综上所述：当-2＜a≤2+2，最小值为-4； 当a ＞2+2时，最小值为 .‎ ‎【点睛】本题考查由函数奇偶性求函数解析式，考查函数最值得求法和分类讨论思想的应用.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）求函数在上的最大值和最小值；‎ ‎【答案】(1) 在上单调递增，在上单调递减.(2) 最大值为0，最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过求导函数判断函数单调性，进而判断函数在的最值.‎ ‎【详解】（1）的定义域为.‎ 对求导得，‎ 因函数定义域有，故，由.‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）由（1）得上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴在上的最大值为.‎ 又，，且，‎ ‎∴在上的最小值为，‎ ‎∴在上的最大值为0，最小值为.‎ ‎【点睛】此题是函数单调性和函数最值的常见题，通常利用导数来处理。‎ ‎20.如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；‎ ‎(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.‎ ‎【详解】(1)如图所示，连结，‎ 等边中，，则，‎ 平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，‎ 由面面垂直的性质定理可得：平面，故，‎ 由三棱柱的性质可知，而，故，且，‎ 由线面垂直的判定定理可得：平面，‎ 结合⊆平面，故.‎ ‎(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.‎ 设，则，,，‎ 据此可得：，‎ 由可得点的坐标为，‎ 利用中点坐标公式可得：，由于，‎ 故直线EF的方向向量为：‎ 设平面的法向量为，则：‎ ‎，‎ 据此可得平面的一个法向量为，‎ 此时，‎ 设直线EF与平面所成角为，则.‎ ‎【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）若函数与的图像上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）.‎ ‎【答案】(1) (2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将问题转化为在有解，即在上有解，通过求解的最小值得到；（2）通过极值点为可求得，通过构造函数的方式可得：；通过求证可证得，进而可证得结论.‎ ‎【详解】（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点 即的图像与函数的图像有交点 即在有解，即在上有解 设，，则 当时，为减函数；当时，为增函数 ‎，即 ‎（2），‎ 在上存在两个极值点，且 ‎ 且 ‎，即 设，则 要证，即证 只需证明，即证明 设，则 则在上单调递增，‎ 即 ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查利用导数来解决函数中的交点问题、恒成立问题，解决问题的关键是能将交点问题转变为能成立问题、不等式的证明问题转化为恒成立的问题，从而通过构造函数的方式，找到合适的函数模型来通过最值解决问题.‎ ‎（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分）‎ ‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立的极坐标系中，直线；在平面直角坐标系中，曲线（为参数，）.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）曲线极坐标方程为，且曲线分别交，于，两点，若 ‎，求的值.‎ ‎【答案】（1）,；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用极坐标方程、参数方程与普通方程的互化公式直接转化即可；‎ ‎（2）在直角坐标系下求得A点的坐标，可得OB长，即得B的极坐标，代入的极坐标方程即可.‎ ‎【详解】（1），即.‎ 由，消去参数得的普通方程：.‎ 又，的极坐标方程为：.‎ 即的极坐标方程为.‎ ‎（2）曲线的直角坐标方程为 ，由，得.‎ ‎，.即点B的极坐标为代入，得.‎ ‎【点睛】本题考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查曲线的极坐标的应用，是基础题．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎ ‎23.已知函数，‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若方程有三个实数根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）分别在、、三种情况下去掉绝对值，得到不等式，解不等式求得结果；（Ⅱ）将方程变为，分类讨论得到的图象，通过数形结合求得取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，，可得：‎ 当时，，解得：‎ 当时，，则无解 综上所述：不等式的解集为：‎ ‎（Ⅱ）由方程可变形为：‎ 令，则 作出函数的图象如下图所示：‎ 结合图象可知：，又，‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是能够将方程根个数问题转化为直线与函数交点的个数问题，通过数形结合的方式来进行求解.‎ ‎ ‎