甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

兰州一中2019—2020—2学期期中考试试题 高二数学（文）‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．）‎ ‎1.已知集合，，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式得到集合，根据函数定义域的求法得到集合，于是可得．‎ ‎【详解】由题意得，，‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题以不等式的解法和函数定义域的求法为载体考查集合的交集运算，属于基础题．‎ ‎2.设函数f(x)＝－aln x，若f′(2)＝3，则实数a的值为(　　)‎ A. 4 B. －4‎ C. 2 D. －2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ f′(x)＝－，故f′(2)＝－＝3，因此a＝－4.‎ ‎3.下列函数中，既是奇函数又在区间上递减的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以对每一个选项逐一筛选，选项A、B、C呈现的函数是基本初等函数很容易判断，选项D则需要借助函数的性质进行判断 ‎【详解】解：选项A：在（0,1）上是增函数，故排除；‎ 选项B：的定义域为，且满足，为奇函数，同时是幂函数，在（0,1）上的减函数，所以符合题意，选项B正确；‎ 选项C：根据奇偶性定义，可得到是定义域上偶函数，故排除；‎ 选项D：根据奇偶性定义，可得到是定义域上偶函数，故排除.‎ ‎【点睛】研究函数性质问题，可以借助函数的图像与性质的定义来解决.‎ ‎4.曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.‎ ‎【详解】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．‎ ‎5.若，且，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，当且仅当时等号成立，又，即，当且仅当时等号成立，的最小值为，故选B.‎ ‎6.若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据且在上为减函数可得，结合，再根据对数函数的图像特征，得出结论.‎ ‎【详解】由且在上为减函数，则，令，‎ ‎ 函数的定义域为，‎ ‎，所以函数为关于对称的偶函数. ‎ 函数的图像，时是函数的图像向右平移一个单位得到的. ‎ 故选D ‎【点睛】本题考查复合函数的图像，可利用函数的性质以及函数图象的平移进行求解，属于基础题.‎ ‎7.观察下列各式：a+b=1.a2+b2=3，a3+b3=4 ，a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10=（ ）‎ A. 28 B. ‎76 ‎C. 123 D. 199‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】由题观察可发现，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即,‎ 故选C. ‎ 考点：观察和归纳推理能力.‎ ‎8.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点，∴不等式的解集为，故选C．‎ 考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．‎ ‎9.已知，，，则的大小关系为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用利用等中间值区分各个数值的大小．‎ ‎【详解】；‎ ‎；‎ ‎．‎ 故．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．‎ ‎10.若函数的最小值3，则实数的值为（ ）‎ A. 5或8 B. 或‎5 ‎C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D.‎ ‎11.设定义在上的偶函数满足：，且当时，，若，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由定义在上的偶函数满足可得函数是周期为4的函数，然后将问题转化到同一单调区间上进行比较大小，从而可得所求结论．‎ ‎【详解】因为为上的偶函数，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以函数是周期为4的函数，‎ 所以，，．‎ 又当时，，‎ 所以，‎ 所以当时，单调递减，‎ 所以，即．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】解题时注意两点：一是知道函数的奇偶性、对称性和周期性中的两个性质可推出第三个性质；二是比较函数值的大小时，可将问题转化到同一个单调区间上进行研究，利用单调性得到函数值的大小关系．‎ ‎12.函数f（x）的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用判断出为减函数，结合，求得不等式的解集.‎ ‎【详解】设，则，所以为减函数，‎ 又，‎ 所以根据单调性可知，即解集是.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求解抽象函数不等式，属于基础题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题（将答案写在答题卡上．）‎ ‎13. 若函数 ‎ ____.‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 当单调递增；‎ 当单调递减；‎ 当单调递增；‎ 所以，.‎ 故答案为32.‎ ‎14.把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径（其中，为直角三角形两直角边长）．类比此方法可得三条侧棱长分别为，，且两两垂直的三棱锥的外接球半径______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用长方体的对角线为外接球的直径，类比矩形的对角线为外接圆的直径，由此求得.‎ ‎【详解】，，两两垂直，则可将其补形为长方体，长方体的对角线长为，也即外接球的半径.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题.‎ ‎15.学校艺术节对同一类的，，，四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“或作品获得一等奖”； 乙说：“作品获得一等奖”；‎ 丙说：“，两项作品未获得一等奖”； 丁说：“作品获得一等奖”．‎ 若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据“学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果．‎ ‎【详解】若A为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；‎ 若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；‎ 若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；‎ 若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；‎ 综上所述，故B获得一等奖．‎ ‎【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确．‎ ‎16.已知函数，则方程实根个数为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，将代入，得，因为可得到两曲线相切，有一个零点，又易知在处的切线的斜率为1，可得到 在切线的上方，故会有一个交点.‎ ‎【详解】当时，将代入，得，因为，所以与相切.‎ 又易知, 在处的切线的斜率为.直线在切线的上方，‎ 所以与有一个交点，故题中方程的根的个数为2.‎ 故答案为2.‎ ‎【点睛】对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意变形时让含有自变量的函数式子尽量简单一些．‎ 三、解答题 ‎17.已知函数是奇函数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若函数在区间[，]上单调递增，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）2；（2）（1，3]．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用为奇函数，满足，由此求得的值.‎ ‎（2）由（1）判断出在区间上的单调性，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）设，则，‎ 所以 又为奇函数，所以，‎ 于是时，，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知在[，1]上是增函数，‎ 要使在[，]上单调递增，则 所以，故实数的取值范围是（1，3]．‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查根据函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.‎ ‎18.已知．‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）已知（其中，），求证：．‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法，求得不等式的解集；‎ ‎（2）利用基本不等式，求得，由此证得.‎ ‎【详解】（1），即.‎ ‎①当时，，得；‎ ‎②当时，，得，不成立；‎ ‎③当时，，得.‎ 综上，所求的的取值范围是.‎ ‎（2）因为，时，，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 所以，得，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.‎ ‎19.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，圆：，直线：，直线过点，倾斜角为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）写出直线与圆的交点极坐标及直线的参数方程；‎ ‎（2）设直线与圆交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先解出交点的直角坐标，再转化成极坐标；由题直线过点，倾斜角为，直线的参数方程为（为参数） ‎ ‎（2）将的参数方程代入圆的普通方程，结合韦达定理与参数的几何意义求解．‎ ‎【详解】解：（1）联立方程 ， ‎ 解得，.‎ 所以当时，；‎ 当时，，‎ 所以交点的直角坐标分别为，，‎ 则对应的极坐标为，.‎ 由题得，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（2）将的参数方程代入圆的方程中， ‎ 得，‎ 化简整理，得，且，‎ 设点，分别对应参数，，‎ 所以，‎ 又由，的几何意义可知，.‎ ‎【点睛】求极坐标可先求直角坐标，通过直角坐标转化成极坐标，两者之间的关系为 ；直线的参数方程 （为参数）‎ 直线与圆锥曲线交于，两点，P为直线上定点，则.‎ ‎20.设函数，若曲线在处的切线方程为直线．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）若有三个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）单调增区间是，；单调减区间为；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据切点和斜率列方程组，解方程组求得的值.‎ ‎（2）利用求得的单调区间.‎ ‎（3）根据的极值，求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由已知得切点（1，），斜率 因为， 所以 ‎，解得 ‎（2）由（1）知，因此 ‎ ‎ 令即得或 令即得 故的单调增区间是，；单调减区间为.‎ ‎（3）由（2）可知函数极大值为，极小值为.‎ 要使得有三个零点，则曲线与直线有三个不同交点 所以实数的值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的切线，考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的零点，属于中档题.‎ ‎21.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④；‎ ‎⑤；‎ ‎（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）选择②式，（2）.证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）选择②式，利用同角三角函数的基本关系式以及二倍角公式，求出常数.‎ ‎（2）猜想.‎ 法一：利用两角差的余弦公式展开，然后结合同角三角函数的基本关系式证得结论成立.‎ 法二：利用提公因式法，结合两角差的余弦公式、平方差公式进行化简，由此证得结论成立.‎ 法三：利用降次公式，结合两角差的余弦公式进行化简，由此证得结论成立.‎ ‎【详解】（1）选择②式，计算如下：‎ ‎.‎ ‎（2）三角恒等式为.‎ 法一：‎ ‎.‎ 法二：‎ ‎.‎ 法三：‎ ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角恒等变换，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎22.已知函数（）．‎ ‎（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；‎ ‎（2）若函数在处取得极值，（0，），恒成立，求实数的最大值．‎ ‎【答案】（1）时，在（0，）上没有极值点；当时，在（0，）上有一个极值点.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先求得函数的定义域和导函数，对分成和两种情况，讨论的极值点个数.‎ ‎（2）利用求得的值，将不等式分离常数，转化为 ‎，构造函数利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围，进而求得实数的最大值.‎ ‎【详解】（1）的定义域为（0，），‎ ‎.‎ 当时，在（0，）上恒成立，函数在（0，）上单调递减.‎ ‎∴（0，）上没有极值点.‎ 当时，由，得；‎ 由，得，‎ ‎∴在（0，）上递减，在（，）上递增，即在处有极小值.‎ 综上，当时，在（0，）上没有极值点；‎ 当时，在（0，）上有一个极值点.‎ ‎（2）∵函数在处取得极值，‎ ‎∴，则，从而.‎ 因此，‎ 令，则，‎ 令，得，‎ 则在（0，）上递减，在（，）上递增，‎ ‎∴，即.‎ 故实数的最大值是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎