宁夏回族自治区银川市第二中学2020届高三上学期12月月考数学（理）试题

宁夏回族自治区银川市第二中学2020届高三上学期12月月考数学（理）试题

银川二中2019-2020学年第一学期高三统练三数学（理科）试卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，集合，则等于 A. B. C. D. R ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵，,‎ ‎∴‎ 故选D 点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎2.设复数满足 (其中为虚数单位),则下列说法正确是（ ）‎ A. B. 复数的虚部是 C. D. 复数在复平面内所对应的点在第一象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：先求出，然后依次判断模长，虚部，共轭复数，对应的点是否正确即可.‎ 详解：‎ ‎∴，复数的虚部是1，，‎ 复数在复平面内所对应的点为，显然在第一象限.‎ 故选D 点睛：本题考查复数的除法运算，求模长，定虚部，写共轭，及几何意义，属于基础题.‎ ‎3.在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝(　　)‎ A. －12 B. －‎13 ‎C. 12 D. 13‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设公差为d，则2d＝a5－a3＝－9＋5＝－4，则d＝－2，故a7＝a3＋4d＝－5＋4×(－2)＝－13，‎ 故选B.‎ ‎4.中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1斗为‎10升，则下列判断正确的是　　‎ A. a，b，c依次成公比为2的等比数列，且 B. a，b，c依次成公比为2的等比数列，且 C. a，b，c依次成公比为的等比数列，且 D. a，b，c依次成公比为的等比数列，且 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由条件知，，依次成公比为的等比数列，三者之和为‎50升，根据等比数列的前n项和，即故答案为D.‎ ‎5.函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数图象平移后的函数解析式，再利用函数图象关于原点对称，即，求出，比较可得.‎ ‎【详解】函数的图象向右平移个单位后得到.‎ 此函数图象关于原点对称，所以.所以.‎ 当时，．‎ 故选B.‎ ‎【点睛】由的图象，利用图象变换作函数的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位.‎ ‎6.在公比为2的等比数列{an}中，前n项和为Sn，且S7﹣2S6＝1，则a1+a5＝（ ）‎ A. 5 B. ‎9 ‎C. 17 D. 33‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的性质找到的关系计算即可得出首项与公比,再求即可.‎ ‎【详解】由等比数列前项和的性质可知,当时,又,得,故.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查等比数列前项和的性质,属于中等题型.‎ ‎7.中为其内角，设，，且，则 ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：直接利用向量的共线的充要条件，列出方程，解出A值，代入即可.‎ 详解：=（，），=（，）且∥，‎ ‎∴ ==，∴ =1，∵a锐角，‎ 所以 =90°，∴ =45°．‎ ‎.‎ 故选B 点睛：本题考查向量共线的充要条件的应用，三角函数的化简求值，属于基础题．‎ ‎8.设满足 则 A. 有最小值，最大值 B. 有最大值，无最小值 C. 有最小值，无最大值 D. 有最小值，无最大值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ x，y满足平面区域如图：‎ 当直线y=﹣x+z经过A时z最小，‎ 经过B时z最大，‎ 由得到A（2，0）‎ 所以z 的最小值为2+0=2，‎ 由于区域是开放型的，‎ 所以z 无最大值；‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎9.已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若S16＞0，且S17＜0，则当Sn取最大值时的n值为（ ）‎ A. 7 B. ‎8 ‎C. 9 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列前项和的性质进行求解即可.‎ ‎【详解】由,即.又.‎ 故.故等差数列是首项为正数,公差为负数的等差数列.故当时,当时.故当取最大值时.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查首项为正,公差为负的等差数列的性质,属于中等题型.‎ ‎10.各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. ‎6 ‎C. 8 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据等比中项得出 ，然后求得公比首项，再利用公式求得，通项代入用基本不等式求最值.‎ ‎【详解】因为，且等比数列各项均为正数，所以 ‎ 公比首项 ‎ 所以 ，通项 ‎ 所以 ‎ 当且仅当 所以当时，最小值为8‎ 故选C ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项、求和以及性质，最后还用到基本不等式，属于小综合题型，属于中档题，需要注意的是利用基本不等式要有三要素“一正、二定、三相等”.‎ ‎11.已知是等边的外接圆，其半径为4，是所在平面内的动点，且，则的最大值为( )‎ A. 4 B. ‎6 ‎C. 8 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，结合平面向量基本定理，表示所求式子，计算最值，即可．‎ ‎【详解】结合题意，绘制图形，可知 ‎，代入得到 故 而故要计算最大值，可知当的时候，取到最大值，故最大值为，故选C．‎ ‎【点睛】考查了平面向量基本定理，关键表示出所求式子，难度偏难．‎ ‎12.已知函数，关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】对函数求导可得，令，解得，令，解得，所以的递增区间为，递减区间为，故的最大值，时时，故在时，，在时，‎ ‎，所以时，由不等式得或，而或，而的解集为，整数解有无数多个，不合题意；时，由不等式，得，解集为，整数解有无数多个，不合题意；时，由不等式得，所以的解集为无整数解．若不等式有且只有三个整数解，在递增，有递减，而，，所以三个正整数为，而，综上，实数的取值范围是．故本题答案选．‎ ‎13.已知向量的夹角为，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题设,所以.‎ 考点：向量的数量积公式及模的运算．‎ ‎14.已知命题：，命题：幂函数在是减函数，若“”为真命题，“”为假命题，则实数的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简命题可得，化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】对命题，因为，‎ 所以，解得；‎ 命题，因为幂函数在是减函数，‎ 所以，解得；‎ 因为“”为真命题，“”为假命题，‎ 所以一真一假，‎ 若真假，可得且或，解得；‎ 若假真，可得 ，且，解得；‎ 实数的取值范围是，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.‎ ‎15.数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1，（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn＝_____．‎ ‎【答案】2n+1﹣2﹣n ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推公式构造等比数列,进而求得的通项公式再进行求和即可.‎ ‎【详解】,即,‎ 可得数列为首项为2,公比为2的等比数列,‎ 可得,即,‎ 所以数列的前n项和.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据递推公式构造数列求通项公式的方法,同时也考查了分组求和与等比数列求和公式,属于中等题型.‎ ‎16.是R上可导的奇函数，是的导函数已知时，，则不等式的解集为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，判定单调性，建立关于x的不等式，计算结果，即可．‎ ‎【详解】构造新函数，则，结合当时，‎ 可知，在时递增的.‎ 则.‎ 由，得，‎ 令，即所以，‎ 得到，解得 ‎【点睛】考查了利用导函数判定原函数单调性，考查了构造函数的思想，难度偏难．‎ 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.己知数列的前n项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用，证明数列是等比数列，计算通项，即可．（2）将通项代入，得到的通项，结合裂项相消法，计算求和，即可．‎ ‎【详解】（1）数列的前n项和为，且 当时，，‎ 解得：．‎ 当时，，‎ 得：，‎ 整理得：，‎ 即：常数，‎ 所以：数列是以，3为公比的等比数列，‎ 则：首项符合，‎ 故：．‎ ‎（2）由于，‎ 所以，‎ 所以：，‎ 则：，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】考查了等比数列的判定，考查了裂项相消法，考查了等比数列通项计算方法，难度中等．‎ ‎18.设函数，其中，，‎ 求的最小正周期和对称轴；‎ 若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）最小正周期，对称轴为：，；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用向量数量积公式计算后再化成辅助角形式，最后用正弦函数的周期公式和对称轴的结论可求得； 将方程有解转化为求函数的值域，然后用正弦函数的性质解决．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 最小正周期，‎ 由，得，，‎ 所以的对称轴为：，，‎ 因为可化为在上有解，等价于求函数的值域，‎ ‎，，‎ 故实数m的取值范围是 ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算考查了正弦函数的图像和性质，属基础题．‎ ‎19.在数列中， ．‎ ‎(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，若数列的前项和是，求证：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；.（2）证明见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题设得，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式求出，即可求出. ‎ ‎（2）由(1)知，根据放缩法得，再由等比数列的求和公式即可证出.‎ ‎【详解】证明：(1)由题设得，又，‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列，‎ 所以，.‎ ‎(2)由(1)知，‎ 因为对任意恒成立，‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的定义、等比数列的通项公式、求和公式以及放缩法证明不等式，综合性比较强，不仅要熟记公式，更要灵活运用知识点.‎ ‎20.江心洲有一块如图所示的江边，，为岸边，岸边形成角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l：在岸边上取两点，用长度为的围网依托岸边线围成三角形（，两边为围网）；方案2：在岸边，上分别取点，用长度为的围网依托岸边围成三角形.请分别计算，面积的最大值，并比较哪个方案好.‎ ‎【答案】，面积的最大值分别为，.其中方案好.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别在三角形面积公式中应用基本不等式、余弦定理中利用基本不等式计算出方案和方案中和面积的最大值，通过最大值的比较可知方案好.‎ ‎【详解】方案：设，‎ 由已知“用长度为的围网，，两边为围网”得且 当且仅当且时，等号成立 面积的最大值为 方案：设，‎ 在中，由余弦定理得：‎ 即 ‎（当且仅当时等号成立）‎ ‎（当且仅当时等号成立）‎ 面积的最大值为 ‎ 方案好 ‎【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，主要是求解三角形面积的最大值，涉及到基本不等式的应用，属于常规题型.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）若函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，其实数m的取值范围；‎ ‎（2）若函数f（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，证明：lnx1+lnx2＞2．‎ ‎【答案】（1）．（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题知在上恒成立.参变分离求实数m的取值范围即可.‎ ‎(2)求导代入极值点分析满足的关系式,再代换构造出关于的方程,再换元证明不等式即可.‎ ‎【详解】（1）由函数f（x）在（0,+∞）上是减函数,可知,f′（x）＝lnx﹣mx≤0恒成立,‎ ‎∴m恒成立,故mmax,‎ 令g（x）,x＞0,‎ 则g′（x）,‎ 当x∈（0,e）,g′（x）0,g（x）单调递增,‎ 当x∈（e,+∞）,则g′（x）0,g（x）单调递减,‎ g（x）max＝g（e）‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）f′（x）＝lnx﹣mx,‎ 由f（x）在（0,+∞）上存在两个极值点,不妨设x1＜x2,‎ 知,‎ 则m,‎ 又m,‎ ‎∴,‎ 即lnx1+lnx2,‎ 设t∈（0,1）,‎ 要证明：lnx1+lnx2＞2,‎ 只要证,‎ 只要证lnt,‎ 即证lnt0,‎ 构造函数h（t）＝lnt,‎ h′（t）0,‎ h（t）在（0,1）上单调递增,‎ ‎∴h（t）＜h（1）＝0,‎ 即h（t）＝lnt0,‎ ‎∴lnx1+lnx2＞2．‎ ‎【点睛】本题主要考查根据函数的单调性求参数的范围问题,同时也考查了双极值点不等式问题,需要消参构造函数证明不等式,属于难题.‎ ‎（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．‎ ‎【答案】（1）ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝0．（2）9﹣2．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先将化简成直角坐标方程,再利用与化简即可.‎ ‎(2)由为以为底,到的距离为高可知要求面积的最小值即求到的距离最大值.再设求解最值即可.‎ ‎【详解】（1）∵曲线C的参数方程为,（θ为参数）,有.‎ 上下平方相加得曲线C的直角坐标方程为,‎ 化简得 将与,代入得曲线C的直角坐标方程有：‎ ‎．‎ ‎（2）设点到直线AB：x+y+2＝0的距离为d,‎ 则,‎ 当sin（）＝﹣1时,d有最小值,‎ 所以△ABM面积的最小值S9﹣2．‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标和极坐标系的互化,同时与考查了圆上的点到直线距离最值的问题,属于中等题型.‎ ‎23.已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣a．‎ ‎（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞x+1；‎ ‎（2）若存在实数x，使得f（x）f（x+1），求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）{x|x＞3或x}．（2）（﹣2，+∞）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分与两种情况求解即可.‎ ‎(2)代入到不等式中,再根据能成立问题,分的不同取值去绝对值,参变分离求函数最值即可.‎ ‎【详解】解（1）当a＝1时,由f（x）＞x,得|2x﹣1|﹣1＞x+1． ‎ 当x时,2x﹣1﹣1＞x+1,解得x＞3．‎ 当x时,1﹣2x﹣1＞x+1,解得x．综上可知,不等式f（x）＞x+1的解集为 {x|x＞3或x}．‎ ‎（2）因为,得.即.‎ 令 ,‎ 则存在实数,使得成立等价于.‎ 因为 ,故当时, ‎ 故.即实数的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解方法,包括分情况讨论与利用三角不等式进行求解分析,属于中等题型.‎