高二数学人教A版选修4-5教案：2-1比较法x

高二数学人教A版选修4-5教案：2-1比较法x

‎2.1 比较法 一、教学目标 ‎1．理解比较法证明不等式的依据．‎ ‎2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．‎ ‎3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．‎ 二、课时安排 ‎1课时 三、教学重点 掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．‎ 四、教学难点 通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．‎ 五、教学过程 ‎（一）导入新课 已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ ‎【证明】　2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)‎ ‎＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．‎ 因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0,‎ 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，‎ 即2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ ‎（二）讲授新课 教材整理1　作差比较法 ‎1．理论依据：①a＞b⇔ ；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔ .‎ ‎2．定义：要证明a＞b，转化为证明 ，这种方法称为作差比较法．‎ ‎3．步骤：① ；②变形；③ ；④下结论．‎ 教材整理2　作商比较法 ‎1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔ ；②a＜b⇔＜1；③a＝b⇔＝1.‎ ‎2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明 ，这种方法称为作商比较法．‎ ‎3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．‎ ‎（三）重难点精讲 题型一、作商比较法证明不等式 例1已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：aabb＞(ab).‎ ‎【精彩点拨】‎ →→→ ‎【自主解答】　∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，(ab)＞0，‎ 作商＝aa·b＝.‎ ‎∵a≠b，∴当a＞b＞0时，‎ ＞1且＞0，∴＞1，‎ 而(ab)＞0，∴aabb＞(ab).‎ 当b＞a＞0时，0＜＜1且＜0，∴＞1，‎ 而(ab)＞0，∴aabb＞(ab).‎ 综上可知a＞0，b＞0且a≠b时，有aabb＞(ab).‎ 规律总结：‎ ‎1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．‎ ‎2．运用a＞b⇔＞1证明不等式时，一定注意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．‎ ‎[再练一题]‎ ‎1．已知m，n∈R＋，求证：≥.‎ ‎【证明】　因为m，n∈R＋，‎ 所以≥＝，‎ 令ω＝＝m·n＝，‎ 则：①当m>n>0时，>1，m－n>0，则ω>1.‎ ‎②当m＝n时，ω＝1.‎ ‎③当n>m>0时，0<<1，m－n<0，则ω>1.‎ 故对任意的m，n∈R＋都有ω≥1.‎ 即≥，‎ 所以≥.‎ 题型二、比较法的实际应用 例2　甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？‎ ‎【精彩点拨】　设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1, t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了．‎ ‎【自主解答】　设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1, t2，依题意有：m＋n＝s，＋＝t2.‎ ‎∴t1＝，t2＝，‎ ‎∴t1－t2＝－＝‎ ‎＝－.‎ 其中s，m，n都是正数，且m≠n，‎ ‎∴t1－t2＜0，即t1＜t2，‎ 从而知甲比乙先到达指定地点．‎ 规律总结：‎ ‎1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．‎ ‎2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．‎ ‎[再练一题]‎ ‎2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？‎ ‎【解】　设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为π·2，截面是正方形的水管的截面面积为.‎ ‎∵π·－＝＝.‎ 由于l＞0,0＜π＜4，∴＞0，‎ ‎∴π·＞.‎ 因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．‎ 题型三、作差比较法 例3已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.‎ ‎【精彩点拨】　此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．‎ ‎【自主解答】　法一　∵a2＋b2－ab－a－b＋1‎ ‎＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，‎ ‎∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.‎ 法二　a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1，‎ 对于a的二次三项式，‎ Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.‎ ‎∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，‎ 故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.‎ 规律总结：‎ ‎1‎ ‎．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．‎ ‎2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“Δ”判定符号．‎ ‎[再练一题]‎ ‎3．已知a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.‎ ‎【证明】　∵a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)‎ ‎＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a)‎ ‎＝(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)．‎ ‎∵a＞b＞c，∴a－c＞0，a－b＞0，b－c＞0，‎ ‎∴(a－c)(a－b)(b－c)＞0，‎ 即a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.‎ ‎（四）归纳小结 比较法— ‎（五）随堂检测 ‎1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是(　　)‎ A．t＞s B．t≥s C．t＜s D.t≤s ‎【解析】　s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，‎ ‎∴s≥t.‎ ‎【答案】　D ‎2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是(　　)‎ A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D.大小不确定 ‎【解析】　P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga.‎ 当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，则0＜＜1，‎ ‎∴loga＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.‎ 当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，＞1，‎ ‎∴loga＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.‎ 综上总有P＞Q，故选A.‎ ‎【答案】　A ‎3．设a，b，m均为正数，且＜，则a与b的大小关系是________．‎ ‎【解析】　－＝＞0.‎ 又a，b，m为正数，‎ ‎∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0.‎ 即a＞b.‎ ‎【答案】　a＞b 六、板书设计 ‎2.1 比较法 教材整理1　作差比较法 教材整理2　作商比较法 例1：‎ 例2：‎ 例3：‎ 学生板演练习 七、作业布置 同步练习：2.1比较法 八、教学反思