2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：4-2　三角恒等变换（讲解部分）

2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：4-2　三角恒等变换（讲解部分）

考点    三角函数式的化简和求值 考点清单 考向基础 1.两角和与差的三角函数公式 sin( α + β )=sin α cos β +cos α sin β ;   (S α + β ) sin( α - β )= sin α cos β -cos α sin β ;   (S α - β ) cos( α + β )=cos α cos β -sin α sin β ;   (C α + β ) cos( α - β )= cos α cos β +sin α sin β ;   (C α - β ) tan( α + β )=   ;   (T α + β ) tan( α - β )=   .   (T α - β ) 2.二倍角公式 sin 2 α =2sin α cos α ;   (S 2 α ) cos 2 α =cos 2 α -sin 2 α = 2cos 2 α -1 = 1-2sin 2 α ;   (C 2 α ) tan 2 α =   .   (T 2 α ) 3.公式的变形与应用 (1)两角和与差的正切公式的变形 tan α +tan β =tan( α + β )(1-tan α tan β ); tan α -tan β =tan( α - β )(1+tan α tan β ). (2)升幂公式 1+cos α =2cos 2   ;1-cos α =2sin 2   . (3)降幂公式 sin 2 α =   ;cos 2 α =   . (4)其他常用变形 sin 2 α =   =   ; cos 2 α =   =   ; 1 ± sin α =   ; tan   =   =   . 4.辅助角公式 a sin α + b cos α =   sin( α + φ ) , 其中cos φ =   ,sin φ =   ,tan φ =   . 特别地,sin α ± cos α =   sin   ; sin α ±   cos α =2sin   ;   sin α ± cos α =2sin   . 考向突破 考向一    三角函数式的化简和求值 例1     (2019江西上高第二中学第七次(3月)月考,7)已知tan   =   ,且-   < α <0,则   =   (　　) A.-   　　　　    B.-   　　　　    C.-   　　　　    D.   解析 　∵tan   =   =   ,∴tan α =-   . ∵tan α =   ,sin 2 α +cos 2 α =1, α ∈   , ∴sin α =-   . ∴   =   =   =2   sin α =2   ×   =-   .故选A. 答案     A 考向二    三角恒等变换的综合应用 例2     (2019湖北八市3月联考,17)已知向量 a =   , b =   ,函数 f ( x )= a · b . (1)求函数 f ( x )的单调递减区间; (2)若 f   =   ,求sin   的值. 解析 　(1) f ( x )= a · b =2sin   sin   +2   sin x cos x =2sin   cos   +   sin 2 x =   sin 2 x -cos 2 x =2sin   .   +2 k π ≤ 2 x -   ≤   +2 k π, k ∈Z,∴   + k π ≤ x ≤   + k π, k ∈Z, 故 f ( x )的单调递减区间为   ( k ∈Z). (2)∵ f   =2sin   =   ,∴sin   =   , 则sin   =sin   =cos 2   =1-2sin 2   =1-   =   . 方法      三角函数式化简、求值的解题方法 1.三角函数式的化简要遵循的“三看”原则 方法技巧 2. 求值题常见类型 (1)“ 给角求值” : 一般所给出的角都是非特殊角 , 从表面来看较难 , 但仔细 观察会发现非特殊角与特殊角总有一定关系 . 解题时 , 要利用观察得到的关 系,结合公式转化为特殊角的三角函数,然后求值. (2)“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值, 解题关键在于“变角”,使角相同或具有某种关系. (3)“给值求角”:实质上可转化为“给值求值”,先求角的某一三角函数 值,再结合角的范围求角. 例　 (1)(2019湖南长沙长郡中学一模,4)已知sin( α +2 β )=   ,cos β =   , α , β 为锐 角,则sin( α + β )的值为   (　　) A.   　　　    B.   　　　　   C.   　　　    D. (2)(2018湖北八校联考,10)已知3π ≤ θ ≤ 4π,且   +   =   ,则 θ =   (　　) A.   或   　　　    B.   或   　　　    C.   或   　　　 D.   或   解析　 (1)因为cos β =   ,0< β <   ,所以sin β =   , cos 2 β =2cos 2 β -1=2 ×   -1=-   <0,所以   <2 β <π. 因为sin( α +2 β )=   , α 为锐角,所以   < α +2 β <π, 所以cos( α +2 β )=-   , 所以sin( α + β )=sin[( α +2 β )- β ] =sin( α +2 β )cos β -cos( α +2 β )sin β =   ×   -   ×   =   .故选D. (2)∵3π ≤ θ ≤ 4π,∴   ≤   ≤ 2π.∵cos θ =2cos 2   -1=1-2sin 2   ,∴   +   =   +   =cos   -sin   =   cos   =   .∴cos   =   . ∵   ≤   ≤ 2π,∴   ≤   +   ≤   ,∴   +   =   π或   +   =   π,∴ θ =   π或   π, 故选D. 答案 　(1)D　(2)D