四川省泸县第四中学2020届高三三诊模拟考试数学（理）试题

四川省泸县第四中学2020届高三三诊模拟考试数学（理）试题

‎2020年春四川省泸县第四中学高三三诊模拟考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知复数 ，则复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知集合，则满足的集合的个数是 A．4 B．‎3 ‎C．2 D．1‎ ‎3．若实数满足则的最小值是 A． B． C． D．‎ ‎4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 ‎5．定义运算，则函数的大致图象是 A．B．C．D．‎ ‎6．已知，且是第四象限角，则的值是 A． B． C． D．‎ ‎7．已知圆:，定点，直线:，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．‎ A． B． C． D．‎ ‎9．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎10．函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则函数在 上的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎12．已知，则，不可能满足的关系是 A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知向量，，则在方向上的投影为___________.‎ ‎14．学校艺术节对同一类的，，，四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“或作品获得一等奖”； 乙说：“作品获得一等奖”；‎ 丙说：“，两项作品未获得一等奖”； 丁说：“作品获得一等奖”．‎ 若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.‎ ‎15．若过点且斜率为的直线与抛物线的准线相交于点，与的一个交点为，若，则____．‎ ‎16．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，现有如下四个结论：；平面；三棱锥的体积为定值；异面直线所成的角为定值，其中正确结论的序号是______．‎ 三． 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考 题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）在中，，，.‎ ‎（I）求角 （II）设为的中点，求中线的长.‎ ‎18．（12分）在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．‎ ‎(Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；‎ ‎(Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．‎ 女生 男生 总计 获奖 不获奖 总计 附表及公式：‎ 其中,．‎ ‎19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，，，， ，为的中点.‎ ‎（I）平面平面 ‎（II）在线段上是否存在点，使二面角的大小 为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.‎ ‎20．（12分）已知为圆上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点满足 ‎（I）求动点的轨迹方程；‎ ‎（II）设为直线上一点，为坐标原点，且，求面积的最小值.‎ ‎21．（12分）已知函数，，且点处取得极值．‎ ‎（Ⅰ）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）证明：．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（是参数）． （Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数m值．‎ ‎（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）若不等式对恒成立，求正实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设实数为（Ⅰ）中的最大值.若正实数，，满足，求的最小值.‎ ‎2020年春四川省泸县第四中学高三三诊模拟考试 理科数学参考答案 ‎1．A 2．A 3．B 4．B 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10．B 11．A12．C ‎13．1 14．B 15． 16．‎ ‎17．（1）∵，∴.‎ 由正弦定理，即.‎ 得，∵，∴为钝角，为锐角，故.‎ ‎（2）∵∴.‎ 由正弦定理得，即得.‎ 在中由余弦定理得：，∴.‎ ‎18．解：(Ⅰ),‎ ‎．‎ ‎(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,‎ 列联表如下：‎ 女生 男生 总计 获奖 不获奖 总计 因为,‎ 所以在犯错误的概率不超过的前提下能认为“获奖与女生,男生有关．”‎ ‎19．（1）证明：由题意知，四边形为矩形，所以，‎ 又∵四边形为菱形，为中点，‎ 所以，，，所以，所以，‎ 又，所以平面，又平面，‎ 所以平面平面 ‎（2）假设线段上存在点，使二面角的大小为，在上取一点，连接，.‎ 由于四边形是菱形，且，是的中点，可得.‎ 又四边形是矩形，平面平面，∴平面，‎ 所以建立如图所示的空间直角坐标系 则，，，， ‎ 则，，设平面的法向量为，‎ 则，∴，令，则， ‎ 又平面的法向量，所以，解得，‎ 所以在线段上存在点，使二面角的大小为，此时.‎ 20． 解：（1） 设，由题意得：，由，‎ 可得点是的中点，故，所以，又因为点在圆上，‎ 所以得，故动点的轨迹方程为.‎ ‎（2）设，则，且，当时，，此时；当时，因为,即故，，‎ ‎，①，‎ 代入① ‎ 设 因为恒成立，在上是减函数，‎ 当时有最小值，即,综上：的最小值为 ‎21．解：（Ⅰ）∵， ∴‎ ‎∵函数在点处取得极值，‎ ‎∴，即当时，∴，则得．经检验符合题意 2分 ‎∵，∴， ∴．‎ 令， 则．‎ ‎∴当时，随的变化情况表：‎ ‎ ‎ ‎1 ‎ ‎（1，2） ‎ ‎2 ‎ ‎（2，3） ‎ ‎3 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎+ ‎ ‎0 ‎ ‎- ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎↗ ‎ 极大值 ‎ ‎↘ ‎ ‎ ‎ 计算得：，，，‎ 所以的取值范围为． 6分 ‎（Ⅱ）证明：令，‎ 则，‎ 令，则，‎ 函数在递增，在上的零点最多一个 又，，存在唯一的使得， 9分 且当时，；当时，．‎ 即当时，；当时，．‎ 在递减，在递增，从而．‎ 由得即，两边取对数得：，，‎ ‎，从而证得． 12分 考点：1．函数的极值与最值；2．导数的应用；3．函数的单调性．‎ ‎22．解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为： 直线的直角坐标方程为： ‎ 圆心到直线l的距离（弦心距）圆心到直线的距离为 ：‎ ‎ 或 5分 ‎（Ⅱ）曲线的方程可化为，其参数方程为 ‎ 为曲线上任意一点，‎ 的取值范围是 10分 ‎23．（1），当且仅当时等号成立，‎ ‎，解得，正实数的取值范围为.‎ ‎（2）由（1）知，，即.‎ ‎，，‎ ‎，‎ 当且仅当时取得最小值为8.‎