四川省泸县第四中学2020届高三三诊模拟考试数学(理)试题

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四川省泸县第四中学2020届高三三诊模拟考试数学(理)试题

‎2020年春四川省泸县第四中学高三三诊模拟考试 理科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题(60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知复数 ,则复数在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.已知集合,则满足的集合的个数是 A.4 B.‎3 ‎C.2 D.1‎ ‎3.若实数满足则的最小值是 A. B. C. D.‎ ‎4.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为 A.钱 B.钱 C.钱 D.钱 ‎5.定义运算,则函数的大致图象是 A.B.C.D.‎ ‎6.已知,且是第四象限角,则的值是 A. B. C. D.‎ ‎7.已知圆:,定点,直线:,则“点在圆外”是“直线与圆相交”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8.‎ A. B. C. D.‎ ‎9.函数在单调递减,且为奇函数.若,则满足的的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎10.函数的图象向右平移个单位后关于原点对称,则函数在 上的最大值为 A. B. C. D.‎ ‎11.已知双曲线:的焦距为,焦点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D.‎ ‎12.已知,则,不可能满足的关系是 A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题(90分)‎ 二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.已知向量,,则在方向上的投影为___________.‎ ‎14.学校艺术节对同一类的,,,四件参赛作品,只评一件一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:‎ 甲说:“或作品获得一等奖”; 乙说:“作品获得一等奖”;‎ 丙说:“,两项作品未获得一等奖”; 丁说:“作品获得一等奖”.‎ 若这四位同学中有且只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是______.‎ ‎15.若过点且斜率为的直线与抛物线的准线相交于点,与的一个交点为,若,则____.‎ ‎16.如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,且,现有如下四个结论:;平面;三棱锥的体积为定值;异面直线所成的角为定值,其中正确结论的序号是______.‎ 三. 解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ 第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考 题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)在中,,,.‎ ‎(I)求角 (II)设为的中点,求中线的长.‎ ‎18.(12分)在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖.按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示.‎ ‎(Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);‎ ‎(Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”.‎ 女生 男生 总计 获奖 不获奖 总计 附表及公式:‎ 其中,.‎ ‎19.(12分)在如图所示的几何体中,四边形是菱形,是矩形,,,, ,为的中点.‎ ‎(I)平面平面 ‎(II)在线段上是否存在点,使二面角的大小 为?若存在,求出的长度;若不存在,请说明理由.‎ ‎20.(12分)已知为圆上一点,过点作轴的垂线交轴于点,点满足 ‎(I)求动点的轨迹方程;‎ ‎(II)设为直线上一点,为坐标原点,且,求面积的最小值.‎ ‎21.(12分)已知函数,,且点处取得极值.‎ ‎(Ⅰ)若关于的方程在区间上有解,求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)证明:.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:(是参数). (Ⅰ)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.‎ ‎(Ⅱ)设为曲线上任意一点,求的取值范围.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)若不等式对恒成立,求正实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)设实数为(Ⅰ)中的最大值.若正实数,,满足,求的最小值.‎ ‎2020年春四川省泸县第四中学高三三诊模拟考试 理科数学参考答案 ‎1.A 2.A 3.B 4.B 5.A 6.B 7.C 8.A 9.D 10.B 11.A12.C ‎13.1 14.B 15. 16.‎ ‎17.(1)∵,∴.‎ 由正弦定理,即.‎ 得,∵,∴为钝角,为锐角,故.‎ ‎(2)∵∴.‎ 由正弦定理得,即得.‎ 在中由余弦定理得:,∴.‎ ‎18.解:(Ⅰ),‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,‎ 列联表如下:‎ 女生 男生 总计 获奖 不获奖 总计 因为,‎ 所以在犯错误的概率不超过的前提下能认为“获奖与女生,男生有关.”‎ ‎19.(1)证明:由题意知,四边形为矩形,所以,‎ 又∵四边形为菱形,为中点,‎ 所以,,,所以,所以,‎ 又,所以平面,又平面,‎ 所以平面平面 ‎(2)假设线段上存在点,使二面角的大小为,在上取一点,连接,.‎ 由于四边形是菱形,且,是的中点,可得.‎ 又四边形是矩形,平面平面,∴平面,‎ 所以建立如图所示的空间直角坐标系 则,,,, ‎ 则,,设平面的法向量为,‎ 则,∴,令,则, ‎ 又平面的法向量,所以,解得,‎ 所以在线段上存在点,使二面角的大小为,此时.‎ 20. 解:(1) 设,由题意得:,由,‎ 可得点是的中点,故,所以,又因为点在圆上,‎ 所以得,故动点的轨迹方程为.‎ ‎(2)设,则,且,当时,,此时;当时,因为,即故,,‎ ‎,①,‎ 代入① ‎ 设 因为恒成立,在上是减函数,‎ 当时有最小值,即,综上:的最小值为 ‎21.解:(Ⅰ)∵, ∴‎ ‎∵函数在点处取得极值,‎ ‎∴,即当时,∴,则得.经检验符合题意 2分 ‎∵,∴, ∴.‎ 令, 则.‎ ‎∴当时,随的变化情况表:‎ ‎ ‎ ‎1 ‎ ‎(1,2) ‎ ‎2 ‎ ‎(2,3) ‎ ‎3 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎+ ‎ ‎0 ‎ ‎- ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎↗ ‎ 极大值 ‎ ‎↘ ‎ ‎ ‎ 计算得:,,,‎ 所以的取值范围为. 6分 ‎(Ⅱ)证明:令,‎ 则,‎ 令,则,‎ 函数在递增,在上的零点最多一个 又,,存在唯一的使得, 9分 且当时,;当时,.‎ 即当时,;当时,.‎ 在递减,在递增,从而.‎ 由得即,两边取对数得:,,‎ ‎,从而证得. 12分 考点:1.函数的极值与最值;2.导数的应用;3.函数的单调性.‎ ‎22.解:(Ⅰ)曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为: 直线的直角坐标方程为: ‎ 圆心到直线l的距离(弦心距)圆心到直线的距离为 :‎ ‎ 或 5分 ‎(Ⅱ)曲线的方程可化为,其参数方程为 ‎ 为曲线上任意一点,‎ 的取值范围是 10分 ‎23.(1),当且仅当时等号成立,‎ ‎,解得,正实数的取值范围为.‎ ‎(2)由(1)知,,即.‎ ‎,,‎ ‎,‎ 当且仅当时取得最小值为8.‎
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