安徽省合肥市安徽师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

安徽省合肥市安徽师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

‎2019-2020学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.方程（ ）‎ A. 可以表示任何直线 B. 不能表示过原点的直线 C. 不能表示与y轴垂直的直线 D. 不能表示与x轴垂直的直线 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以观察题目所给直线方程，可得出直线方程为点斜式方程，然后根据直线的点斜式方程的性质即可得出结果．‎ ‎【详解】因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，‎ 所以不能表示与轴垂直的直线，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查直线的相关性质，主要考查直线的点斜式方程的相关性质，考查点斜式方程的适用范围，考查推理能力，是简单题．‎ ‎2.设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且，,则下列说法正确的是( )‎ A. 若m，n是异面直线，则与相交 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在A中，与相交或平行；在B中，与相交或平行；在C中，与相交或平行；在D中，由面面垂直的判定定理得．‎ ‎【详解】由，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且，，知：‎ 在A中，若m，n是异面直线，则与相交或平行，故A错误；‎ 在B中，若，，则与相交或平行，故B错误；‎ 在C中，若，则与相交或平行，故C错误；‎ 在D中，若，则由面面垂直的判定定理得，故D正确．‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．‎ ‎3.过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程是（ ）‎ A. ‎ B. 或 C. ‎ D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：当直线过原点时，可设直线方程为，代入点，可得，故方程为；当直线不过原点时，可设方程为，代入点，可得，此时直线方程为，故选B．‎ 考点：直线的方程．‎ ‎4.给出三个命题：①直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面；②夹在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面；③过空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行.正确的是（ ）‎ A. ②③ B. ①② C. ①②③ D. ②‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过举反例可判断出命题①正误；利用平面与平面平行的性质定理以及直线与平面平行的性质定理可判断出命题②的正误；通过实例判断出命题③的正误.‎ ‎【详解】对于命题①，如果这两点在该平面的异侧，则直线与该平面相交，命题①错误；‎ 对于命题②，如下图所示，平面平面，，，，，且、分别为、的中点，过点作交平面于点，连接、.‎ 设是中点，则，平面，平面，平面.‎ 同理可得平面，，平面平面.‎ 又平面平面，平面平面，‎ 平面，平面，平面，命题②正确；‎ 对于命题③，如下图所示，设是异面直线、的公垂线段，为上一点，过点作，，当点不与点或点重合时，、确定的平面即为与、都平行的平面；若点与点或点重合时，则或，命题③错误.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线线、线面、面面平行关系的判定与性质，解题时要注意这三种平行关系的相互转化，考查推理能力与空间想象能力，属于中等题.‎ ‎5.某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是 ‎，如图2所示.其中，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先还原俯视图，再还原三视图，最后根据圆柱性质求表面积.‎ ‎【详解】由俯视图的直观图得俯视图为边长为4的正方形，所以几何体为底面为半圆（半径为2），高为4的半圆柱，其表面积为，选A.‎ ‎【点睛】本题考查直观图、三视图以及圆柱侧面积等，考查基本应用求解能力.属基本题.‎ ‎6.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是 A. ‎ B. 平面 C. 直线∥平面 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，‎ 所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，‎ 所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，‎ ‎∴直线BC∥平面PAE也不成立．‎ 在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，‎ 故选D．‎ ‎7.已知三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的体积为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用所给条件容易得到，为直角三角形，故中点为外接球球心，从而可求解出结果．‎ ‎【详解】‎ 如图：，， ‎ ‎ ‎ 的中点为外接球球心 故外接球半径为 体积 本题正确选项：‎ ‎【点睛】此题考查了三棱锥外接球问题，关键在于能够确定外接球球心的位置，要知道直角三角形外接圆圆心在斜边中点上．‎ ‎8.点在直线上，则的最小值是( )‎ A. 8 B. C. D. 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，得到，将其代入中，由二次函数的性质分析可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，点在直线上，‎ 则有，即，‎ 则，‎ 分析可得：当时，取得最小值8，‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查二次函数的最值，关键是分析得到x、y的关系．‎ ‎9.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A. 1 B. 2‎ C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.‎ 详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，‎ 由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.‎ 点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.‎ ‎10.已知，则直线与坐标轴围成的三角形面积是( )‎ A. 2 B. 4 C. D. 2或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，求出m值，然后求出直线与坐标轴的交点，即可求解三角形的面积．‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，解得．‎ 所以直线方程为它与坐标轴的交点为与．‎ 直线与坐标轴围成的三角形面积是．‎ 故选:A．‎ ‎【点睛】本题考查直线的平行关系的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力,属于基础题.‎ ‎11.如图，正四面体的顶点、、分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误的是( )‎ A. 是正三棱锥 B. 直线与平面相交 C. 直线与平面所成的角的正弦值为 D. 异面直线和所成角是 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】①如图ABCD为正四面体，‎ ‎∴△ABC为等边三角形，‎ 又∵OA、OB、OC两两垂直，‎ ‎∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC，‎ 过O作底面ABC的垂线，垂足为N，‎ 连接AN交BC于M，‎ 由三垂线定理可知BC⊥AM，‎ ‎∴M为BC中点，‎ 同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，‎ ‎∴N为底面△ABC中心，‎ ‎∴O﹣ABC是正三棱锥，故A正确．‎ ‎②将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行．‎ 则B正确，‎ ‎③由上图知：直线与平面所成的角的正弦值为,则C错误 ‎④异面直线和所成角是，故D正确.‎ ‎12.如图，正方体的棱长为a，作平面与底面不平行与棱，，，分别交于E，F，G，H，记EA，FB，GC，HD分别为，，，，若，，则多面体EFGHABCD的体积为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方体的性质可得截面四边形EFGH是平行四边形,所以,结合已知可得，，,由两个多面体EFGHABCD可以拼成一个长方体，能求得多面体EFGHABCD的体积.‎ ‎【详解】由正方体的对面平行及面面平行的性质定理得：‎ ‎，，‎ 四边形EFGH是平行四边形，‎ 连结AC，BD交于点O，连结EG，FH，交于点，‎ 连结，则，‎ ‎，，‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ ‎，，，‎ 两个多面体EFGHABCD可以拼成一个长方体，‎ 多面体EFGHABCD的体积为：‎ ‎．‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.在正三棱锥中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：；平面PDE；  平面其中正确的个数是______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定，直线的平行等判断．‎ ‎【详解】根据正三棱锥的性质可知对棱互相垂直，故正确；‎ ‎，面PDE，面PDE，‎ 平面PDE，故正确；‎ 若平面PDE，则，因为，所以 ,而正三棱锥中AC与AB不垂直， 故不正确．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】主要考查了直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定考查的知识点比较多，属于基础题．‎ ‎14.若直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1在y轴上截距等于1，则实数m的值______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1的方程可化为(m＋1)x＋(m＋1)(m－2)y＝m＋1，‎ 由题意知m＋1≠0，x+(m－2)y＝1，由题意得＝1，∴m＝3.‎ ‎15.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设球的半径为r,‎ 则,‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ 故答案为.‎ 考点：圆柱，圆锥，球的体积公式.‎ 点评：圆柱，圆锥，球的体积公式分别为.‎ ‎16.表面积为的球面上有四点S、A、B、C，且是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为1，若平面平面ABC，则三棱锥体积的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由球的表面积求出半径OB，再计算的面积为定值，由此得出S在AB的中垂线上且位于球心同侧时，棱锥体积的最大，结合图形求出点S到平面ABC的距离，由此求得棱锥体积的最大值．‎ ‎【详解】过球心O作平面ABC的垂线段OD，垂足为D，过D作，垂足为E，‎ 连接BD，则，，如图所示；‎ 则球的表面积为，解得半径；‎ 又，；‎ 又是等边三角形，是的中心，‎ ‎，；‎ ‎；‎ 由球的对称性可知当S在AB的中垂线上时，S到平面ABC的距离最大，‎ 过O作平面SAB的垂线段SH，垂足为H，‎ 平面平面ABC，，平面平面，平面ABC，‎ 平面SAB；又平面SAB，‎ ‎，‎ 四边形ODEH是矩形，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ 则三棱锥面积的最大值为：‎ ‎．‎ 故答案：．‎ ‎【点睛】本题考查了球内接几何体的体积计算问题，寻找图中的数量关系是解题的关键，是中档题．‎ 三、解答题（本大题共5小题）‎ ‎17.已知两直线：，：求分别满足下列条件的a，b的值．‎ 直线过点，并且直线与垂直；‎ 直线与直线平行，并且坐标原点到，的距离相等．‎ ‎【答案】（1），；（2），或，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线过点，直线与垂直，斜率之积为，得到两个关系式，求出a，b的值．‎ 类似直线与直线平行，斜率相等，坐标原点到，的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a，b的值．‎ ‎【详解】，‎ ‎，即 又点在上，‎ 由得，．‎ ‎，，，‎ 故和的方程可分别表示为：‎ ‎，，‎ 又原点到与的距离相等．‎ ‎，或，‎ ‎，或，．‎ ‎【点睛】本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题．‎ ‎18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且，．‎ 求证：平面平面PAC；‎ 当三棱锥体积等于时，求PB的长．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明平面PAC，即可证明平面平面PAC；‎ 利用求出四棱锥的高为PA，利用，即可求PB的长．‎ ‎【详解】证明：平面ABCD，平面ABCD，‎ ‎，底面ABCD是菱形，，‎ 面PAC，面PAC，，平面PAC，‎ 平面PBD，平面平面PAC．‎ 因为底面ABCD是菱形，M是PD的中点，所以，‎ 从而又，，所以，‎ 四棱锥的高为PA，，得，‎ 面ABCD，平面ABCD，．‎ 在中，．‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．‎ ‎19.已知直线．‎ ‎（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围；‎ ‎（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．‎ ‎【答案】（1）k≥0；（2）面积最小值为4，此时直线方程为：x﹣2y+4=0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可求得直线l的方程及直线l在y轴上的截距，依题意，从而可解得k的取值范围；‎ ‎（2）依题意可求得A（﹣，0），B（0，1+2k），S=（4k++4），利用基本不等式即可求得答案．‎ ‎【详解】（1）直线l的方程可化为：y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，‎ 要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是：k≥0‎ ‎（2）依题意，直线l在x轴上的截距为：﹣，在y轴上的截距为1+2k，‎ ‎∴A（﹣，0），B（0，1+2k），又﹣＜0且1+2k＞0，‎ ‎∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）=（4k++4）≥（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时取等号，‎ 故S最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0‎ ‎【点睛】本题考查恒过定点的直线，考查直线的一般式方程，考查直线的截距及三角形的面积，考查基本不等式的应用，属于中档题．‎ ‎20.如图，在直棱柱中，，，，D是BC的中点，点E在棱上运动．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当异面直线AC，所成的角为时，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由直棱柱的性质得出平面，从而得出，再由等腰三角形三线合一的性质得出，由直线与平面垂直的判定定理可证明平面，于是可得出；‎ ‎（2）由棱柱的性质得出，可得出即为异面直线、所成的角，由此计算出、的值，可得出的面积，再证明出平面，由此计算出三棱锥的体积.‎ ‎【详解】（1）证明： 直棱柱中，平面，平面，，‎ 中，，为的中点，，‎ 又、平面，，‎ 平面，又平面，；‎ ‎（2）解：在直棱柱中，，‎ 即为异面直线、所成的角，‎ ‎，，‎ 平面，平面，，‎ 又，平面．‎ 平面，．‎ 在中，，，即.‎ 又，．‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查直线与直线垂直的证明，考查三棱锥体积的计算，结合异面直线所成角的定义来考查，解题时要根据角的值来求出相应的边长，在计算三棱锥的体积时，要选择合适的高与底面，结合题中的垂直关系进行寻找，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎21.如图所示的几何体ABCDE中，平面EAB，，，，M是EC的中点．‎ 求异面直线DM与BE所成角的大小；‎ 求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，先证明直线AE、AB、AD两两垂直，再以点A为原点，AE、AB、AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，‎ 求出向量，然后求出异面直线DM与BE所成的角；‎ 求出平面BDM和平面BDA的法向量，再求二面角的余弦值．‎ ‎【详解】平面EAB，‎ 平面平面EAB，‎ 又，且平面平面，‎ 平面ABCD，‎ 直线AE、AB、AD两两垂直，‎ 以点A为原点，AE、AB、AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设，‎ ‎0，，4，，4，，0，，0，，‎ 是EC的中点，‎ ‎2，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 异面直线DM与BE所成角的大小为；‎ 设二面角的大小为，‎ ‎，，，‎ 设平面BDM的一个法向量,‎ 则,且,‎ 所以,且,‎ 令,则,‎ 平面BDM的一个法向量，平面BDA的一个法向量 ‎，‎ 由图可知，为锐角，‎ 二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查空间角的大小，主要应用空间向量求解，属于中档题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎