2018-2019学年福建省厦门外国语学校高二上学期第一次月考数学（理）试题（Word版）

2018-2019学年福建省厦门外国语学校高二上学期第一次月考数学（理）试题（Word版）

厦门外国语学校2018-2019学年高二10月考试 理科数学试题 ‎ (考试时间：120分钟 试卷总分：150分)‎ 注意事项：‎ ‎1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．‎ ‎2．答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上．‎ ‎3．全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效．‎ 第I卷 （选择题 60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．‎ ‎1.在△ABC，若 ， 则△ABC是(   ) ‎ A. 直角三角形                   B. 等腰三角形                   C. 等腰或直角三角形                   D. 钝角三角形 ‎2.在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（   ） ‎ A. b=10，A=45°，C=75°                                     B. a=7，b=5，A=80° C. a=60，b=48，C=60°                                       D. a=14，b=16，A=45°‎ ‎3.若等比数列 的前n项和 ，则a的值为(   ) ‎ A. -4                                          B. -1                                          C. 0                                          D. 1‎ ‎4.等差数列 的前 项和为 ， ，且 ，则 的公差 （   ） ‎ A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4‎ ‎5.△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c= ，C=（　） ‎ A.                                           B.                                           C.                                           D. ‎ ‎6.等差数列 的前 项和为 ，且 ,则 （  ） ‎ A.                                            B.                                            C.                                            D. 4‎ ‎7.已知等差数列 的前 项为 且 ，则  (    ) ‎ A.90 B‎.100 C.110 D.120‎ ‎8.已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数的和为（   ） ‎ A. 13                                  B. －7                                  C. －7或13                                  D. 无法求解 ‎9.已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若 ， 则△AOC的面积为(      ) ‎ A.                                           B.                                           C.                                           D. ‎ ‎10.A在塔底D的正西面，在A处测得塔顶C的仰角为45°，B在塔底D的南偏东60°处，在塔顶C处测得到B的俯角为30°，AB间距‎84米，则塔高为（   ） ‎ A. ‎24米                                B.  米                                C.  米                                D. ‎‎36米 ‎11.在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=60°，∠C=105°，BC=1，则AB的取值范围（   ） ‎ A. （1，2）             B. （2﹣ ，1）             C. （2﹣ ，2+ ）             D. （1，2+ ）‎ ‎12.已知 成等比数列，且 ．若 ，则（   ） ‎ A.                 B.                 C.                 D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置．‎ ‎13.在等差数列 中， ，则 ________． ‎ ‎14.已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，满足 ， ，则当 取得最小值时， 的值为________． ‎ ‎15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的 方向上，行驶‎600m后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m. 16.在△ABC中，cos∠ABC= ，AB=2，点D在AC上，AD=2DC，BD= ，△ABC的面积为________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.‎ ‎17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 =0． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若b= ，a+c=4，求△ABC的面积． ‎ ‎18.已知数列 的前n项和 ，‎ ‎（1）求数列的通项 ‎ ‎（2）求数列 的前n项和．‎ ‎19.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c． ‎ ‎（1）若c= ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长； ‎ ‎（2）若c= ，求△ABC的周长的取值范围．‎ ‎20.已知等差数列{an}中，a2=6，a3+a6=27． ‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式； ‎ ‎（2）记数列{an}的前n项和为Sn ， 且Tn= ，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围． ‎ ‎21.如图，A、B是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号.位于B点南偏西60°且与B相距20 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时。求救援船直线到达D 的时间和航行方向. ‎ ‎22.已知数列 满足 . ‎ ‎（1）若 （ 且 ），数列 为递增数列，求数列 的通项公式； ‎ ‎（2）若 （ 且 ），数列 为递增数列，数列 为递减数列，且 ，求数列 的通项公式. ‎ ‎1.在△ABC，若 ， 则△ABC是(   ) ‎ A. 直角三角形                   B. 等腰三角形                   C. 等腰或直角三角形                   D. 钝角三角形 ‎【答案】A ‎ ‎2. D ‎ ‎3. B ‎ ‎4. A ‎ ‎5. B ‎ ‎6. C ‎ ‎7. A ‎ ‎8. C ‎ ‎9. A ‎ ‎10. C ‎ ‎11. D ‎ ‎12. B []‎ ‎13. ‎ ‎【解析】【解答】解：因为 是等差数列，所以 ， 所以 ，故 ，填 ． 【分析】由 a4+a6=‎2a15 ， 及等差数列的性质 可得‎4a10=20，a10=5，据前19项和S19=‎19a10 求出结果．‎ ‎14. 5 ‎ ‎15. ‎ ‎【解析】【解答】依题意，,在中，由，所以，因为，由正弦定理可得，即m，在中，因为，,所以,所以m。 【点评】本题是空间四面体问题，不能把四边形ABCD看成平面上的四边形.‎ ‎16.在△ABC中，cos∠ABC= ，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD= ，则△ABC的面积为________． ‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】【解答】解：设BC=a，AD=2DC=2x，则AC=3x， 在△ABC中由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC， 即9x2=4+a2﹣ a，① 在△ABD和△DBC中由余弦定理可得 cos∠ADB= = ， cos∠BDC= = ， ∵∠ADC=π﹣∠BDC， ∴cos∠ADC=cos（π﹣∠BDC）=﹣cos∠BDC， ∴ =﹣ ， 化简得3x2﹣a2=﹣6，②， 由①②可得a=3，x=1，BC=3， ∵cos∠ABC= ， ∴sin∠ABC= ， ∴S△ABC= AB•BC•sin∠ABC= ×2×3× =2 ． 故答案为：2 ． 【分析】设BC=a，AD=2DC=2x，则AC=3x，先根据余弦定理可得9x2=4+a2﹣ a，①，再根据余弦定理可得3x2﹣a2=﹣6，②，求出a的值，再根据三角形的面积公式计算即可．‎ ‎17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 =0． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若b= ，a+c=4，求△ABC的面积． ‎ ‎【答案】解：（I）由 知：（‎2a+c）cosB+bcosC=0 由正弦定理知：（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0 即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0， ∴2sinAcosB=﹣sin（B+C） 即 ， ‎ 又 B∈（0，π）， ∴ ； （II）在△ABC中由余弦定理知：b2=a2+c2﹣2accosB， ∴b2=（a+c）2﹣‎2ac﹣2accosB， 又 ， ∴13=16﹣‎2ac+ac， ∴ac=3 ∴ ‎ ‎【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式可得cosB=﹣ ，问题得以解决，（Ⅱ）由余弦定理可得ac=3，再根据三角形的面积公式计算即可．‎ ‎18.已知等差数列 的前n项和 ，求数列 的前n项和 ． ‎ ‎【答案】解：当n=1时， ； 当 时， ， 且 ，所以 ． 显然，当 时， ； 当n=9时， ； 当 时， ． 故当 时， 当 时， ． 综上， ‎ ‎【解析】【分析】由前n项和公式求出通项,找到数列的正负项,再分段求数列的绝对值数列的和.‎ ‎19.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c． ‎ ‎（1）若c= ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长； ‎ ‎（2）若c= ，求△ABC的周长的取值范围． ‎ ‎【答案】（1）解： 2cosC（acosB+bcosA）=c． 由正弦定理：可得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC 即2cosCsinC=sinC ‎ ‎∵0＜C＜π，sinC≠0， ∴cosC= ∴C= ． （2）由△ABC的面积为 ，即 absinC= ， ∵C= ． ∴ab=6． 由c= ，余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC． 可得：a2+b2﹣ab=7． 即（a+b）2=7+3ab=25． ∴a+b=5． 那么△ABC的周长为：a+b+c=5 ． （3）∵c= ，C= ． 正弦定理：a= ，b= △ABC的周长：a+b+c=2sinA+2sinB+ ． ∵C= ，A+B+C=π ∴B= ． 则a+b=2sinA+2sinB=2sinA+2sin（ ）=3sinA+ cosA=2 sin（A+ ） ∵0＜A ， ∴ ＜A+ ， ∴ ＜2 sin（A+ ） ． 即 ＜a+b ∴△ABC的周长的取值范围为：（2 ，4 ]． ‎ ‎20.已知等差数列{an}中，a2=6，a3+a6=27． ‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式； ‎ ‎（2）记数列{an}的前n项和为Sn ， 且Tn= ，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围． ‎ ‎【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d， 由a2=6，a3+a6=27．可得a1+d=6，‎2a1+7d=27， 解得a1=d=3， 即有an=a1+（n﹣1）d=3n ‎ ‎（2）解：Tn= = = ， Tn+1= ， 由 = ， 可得T1＜T2≤T3＞T4＞T5＞…＞Tn＞… 即有T2=T3= ，取得最大值． 对于一切正整数n，总有Tn≤m成立， 则有m≥ ． 即有m的取值范围是[ ，+∞） ‎ ‎【解析】【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式，计算即可得到；（2）由等差数列的求和公式和数列的单调性，可得Tn的最大值，再由恒成立思想，即可得到m的范围．‎ ‎21.如图，A、B是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号.位于B点南偏西60°且与B相距20 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时。求救援船直线到达D的时间和航行方向. ‎ ‎【答案】解：由题意知AB＝5(3＋ )海里， ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°． 在△ADB中，由正弦定理得 ＝ ， ∴DB＝ ＝ ＝ ＝10  (海里)． 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20  (海里)， 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10 ×20 × ＝900， ‎ ‎∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝ ＝1(小时)， 答：救援船到达D点需要1小时 ‎ ‎22.已知数列 满足 . ‎ ‎（1）若 （ 且 ），数列 为递增数列，求数列 的通项公式； ‎ ‎（2）若 （ 且 ），数列 为递增数列，数列 为递减数列，且 ，求数列 的通项公式. ‎ ‎【答案】（1）解：因为数列 为递增数列，所以 ，即 ， ，由条件， ， 所以 ， 即数列 是首项 ，公差为1的等差数列， 则 （2）解：因为数列 为递增数列， 所以 ，即 ， ，由条件 ， ， 得 （绝对值大的必为正数）， ， 同理，数列 为递减数列，所以 ，即 ， ，由条件， ， ， 得 （绝对值大的必为负数）， ， 而 ，则 ， 综上可知，当 为奇数且 时， ； 当 为偶数时， . 当 为奇数且 时，   ， 当 时， 也成立， 即当 为奇数时， ， ‎ 当 为偶数时， 为奇数， ， 所以 ‎ ‎【解析】【分析】（1）用递增数列的性质得到 a 2n-1< a2n+1,再由已知条件化简得解。 （2）用递增数列的性质得到 a 2n-1< a2n+1,再由已知条件化简得 a2n+1 − a 2n> 0 ，同理用递减数列的性质得a2n+2− a2n+1<0，  分类讨论 n 为偶数时和 n 为奇数时a n的通项公式得到答案。‎