2020届福建省永安市第一中学高三上学期第二次月考试题 数学（理）

2020届福建省永安市第一中学高三上学期第二次月考试题 数学（理）

永安一中 ‎2019---2020学年第一学期第二次月考 高三数学理科试题 ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知全集，集合，那么=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 下列选项中，说法正确的是( )‎ A．若，则 B．向量共线的充要条件是 C．命题“”的否定是“”‎ D．设等比数列的前项和为，则“”是“”的充要条件 ‎3. 已知，且，则向量在方向上的投影为（ ）‎ A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D. ‎ ‎4．在等差数列中，为其前项和，若，则（ ）‎ A．20 B．27 C．36 D．45‎ ‎5．已知是两条不同直线,是两个不同平面,下列命题中的假命题是（ ）‎ A．若则 B．若则 C．若，则 D．若,则 ‎6.将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度,再把图象上各点 的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，则所得图象的的一条对称轴方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．函数的图象大致为（ ）‎ A．　 B．　 C．D．‎ ‎8．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称药品，他先将的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( )‎ A． 大于 B．小于 C． 大于等于 D． 小于等于 ‎9. 已知，若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,,若三棱锥体积的最大值为,则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知函数 其中，对于任意且，均存在唯一实数，使得，且，若有4个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ 第II卷 （非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13.已知 .‎ ‎14．若，，，且的最小值为9，则______.‎ ‎15. 如图，在等腰三角形ABC中，已知|AB|=|AC|=1，∠A=120°，E、F分别是边AB、AC上的点，且,其中且 ‎，若线段EF、BC的中点分别为M、N，则的最小值是 . ‎ ‎16．设为数列的前项和，，，则 . ‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17．（本题满分12分）‎ 如图，在平面四边形中，，，的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求的长；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的长．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 设等差数列的公差为，前n项和为，‎ 且 成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前n项和．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求函数在区间上的值域.‎ ‎（Ⅱ）使得不等式成立，‎ 求实数的取值范围.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）当时，若直线是函数的图像的切线，求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负．‎ ‎22. （本题满分10分）【选修4—4 坐标系统与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，曲线的方程为在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点在上，点在上，求的最小值．‎ ‎23. （本题满分10分）【选修4—5 不等式选讲】‎ 己知，函数.‎ ‎（Ⅰ）若，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若函数，且存在使得成立，求实数 的取值范围.‎ 参考答案 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D A C D B B A C D A C 二、 填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ ‎17．⑴∵，，的面积为 ‎∴‎ ‎∴ .................................................................................................................3分 ‎∴由余弦定理得 ‎∴ .....................................................................................................................6分 ‎⑵由（1）知中，，‎ ‎∴‎ ‎∵,∴ ............................................................................................8分 又∵ ， ‎ ‎∴在中，由正弦定理得 即,∴.....................................................................................................12分 ‎18.（1）∵，‎ 又 ‎∴……………………………………………………………..2分 又成等比数列．‎ ‎∴，…………………………………….3分 即，‎ 解得，………………………………………………………..5分 ‎∴。…………………………………………………..6分 ‎(2)由（1）可得，………….8分 ‎ ‎ ‎……..12分 ‎19． （1）令，因为，所以。..................2分 当时，，单调递增；当时，，单调递减；................................................................................................................................3分 所以；‎ 又因为，，所以；.........................................................5分 所以在上的值域为......................................................................6分 ‎…..9分 由（1）得，‎ 等价于 实数的取值范围是…..12分 ‎20．（1）∵矩形和菱形所在的平面相互垂直，∴，‎ ‎∵矩形菱形，∴平面，‎ ‎∵平面，∴，‎ ‎∵菱形中，，为的中点．∴，即，‎ ‎∵，∴平面．.........................................5分 ‎（2）由（1）可知，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，故，，，，则，，，.......................................................7分 设平面的法向量，‎ 则，取，得，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，得，................10分 设二面角的平面角为，则，‎ 易知为钝角，∴二面角的余弦值为．.......................12分 ‎21.解：(1)设切点坐标为设切点坐标为，‎ ‎，‎ 切线斜率，又，‎ ‎∴，∴‎ 令，......................................................................................3分 ‎ ，‎ 解得，解得，∴在上递减，在上递增．‎ ‎∴，∴的最小值为．...............................................................5分 ‎（Ⅱ），．‎ ‎∴．‎ 设，则．‎ 由，得．‎ 当时，；当时，．‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减．‎ 且，，．‎ 显然．‎ 结合函数图象可知，若在上存在极值，‎ 则或．.................................................................................................7分 ‎（ⅰ）当，即时，‎ 则必定，使得，且．‎ 当变化时，，，的变化情况如下表：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴当时，在上的极值为，且．‎ ‎∵．‎ 设，其中，．‎ ‎∵，∴在上单调递增，，当且仅当时取等号．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴当时，在上的极值．.......................................9分 ‎（ⅱ）当，即时，‎ 则必定，使得．‎ 易知在上单调递增，在上单调递减．‎ 此时，在上的极大值是，且．‎ ‎∴当时，在上的极值为正数．..........................................................11分 综上所述：当时，在上存在极值，且极值都为正数．...................12分 注：也可由，得．令后再研究在上的极值问题．若只求的范围给3分.‎ ‎22. （Ⅰ）曲线C的参数方程为，...........2分 直线的极坐标方程为，即，‎ 直线l的直角坐标方程：．       …………………………………………….5分 ‎（Ⅱ）设点的坐标为，点到直线的距离为，‎ 由点到直线的距离公式得：‎ 即当时，‎ 即所求的最小值为……………………………………………10分 ‎23. （1）当时，，‎ 当时，由，解得；‎ 当时，由，解得；‎ 当时，由，解得.‎ 综上可知，原不等式的解集为........................5分 ‎（2）.‎ 存在使得成立，等价于.‎ 又因为，所以，即.‎ 解得，结合，所以实数的取值范围为..................10分