湖南省岳阳市第一中学2019届高三第一次模拟（5月）数学（理）试题 Word版含解析

湖南省岳阳市第一中学2019届高三第一次模拟（5月）数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2019届高三年级第一次模拟考试数学试卷 一.选择题。‎ ‎1.复数 的共扼复数是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎,∴复数的共轭复数是 故选：C 点睛：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．‎ ‎2.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 使函数有意义的x满足 解不等式组即得解.‎ ‎【详解】使函数有意义的x满足解得即函数的定义域为.‎ 故选B.‎ 点睛】本题考查了具体函数定义域，属于基础题.‎ ‎3.设等比数列的前n项和为，且，则公比q=（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ - 24 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知转化为的形式，解方程求得的值.‎ ‎【详解】依题意，解得，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量，属于基础题.基本元的思想是在等比数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.‎ ‎4.若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用诱导公式求得，再由同角三角函数基本关系式求得，进一步得到值．‎ ‎【详解】由，得，则．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．‎ - 24 -‎ ‎5.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的算法，至今仍是比较先进的．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入的值分别为3，3，则输出的值为(　　)‎ A. 24 B. 25 C. 54 D. 75‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照程序框图运行程序，运行到时输出结果即可.‎ ‎【详解】若输入的值分别为 则，成立 ‎，成立 ‎，成立 ‎，不成立，输出 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据循环结构计算输出结果，属于基础题.‎ - 24 -‎ ‎6.若点M是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知条件中的转化为，然后然后化简得，由此求得两个三角形高的比值，从而求得面积的比值.‎ ‎【详解】如图，由5=+3得 ‎2=2+3-3，即2(-)=3(-)，即2=3，故=，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC=3∶5.所以选C.‎ ‎【点睛】本小题考查平面向量的线性运算，考查三角形面积的比值的求法，属于基础题.‎ ‎7.将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，‎ 每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有种选法；第二步，为甲地选两个学生，有种选法；第三步，为乙地选名教师和名学生，有种选法，故不同的安排方案共有种，故选A．‎ 考点：排列组合的应用．‎ - 24 -‎ ‎8.已知函数，若，且，则的值为（ ）‎ A. B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 数形结合由函数对称性可得，由对数的运算性质可得.‎ ‎【详解】‎ 作出函数图像，易知，‎ ‎.‎ 所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数形结合研究方程的根的问题，正确作出函数图像是解题的关键，属于基础题.‎ ‎9.设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再由存在唯一确定的，使得，得，从而得解.‎ ‎【详解】当时，有，所以.‎ 在区间上总存在唯一确定的，使得，‎ 所以存在唯一确定的，使得.‎ ‎，所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题.‎ ‎10.已知抛物线C:的焦点为F，过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，若AF，BF的中点在y轴上的射影分别为M，N，且，则p的值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过，可知，假设直线代入，整理出韦达定理的形式，从而构造出关于的方程，求得结果.‎ ‎【详解】有题意知：‎ 设直线方程为：，即 - 24 -‎ 代入抛物线方程可得：‎ 设，，则，‎ 由可得：‎ 即：‎ 解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的问题，关键是能够利用韦达定理表示出线段长度，从而构造出方程，使问题得以求解.‎ ‎11.设是双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若，且，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A. 3 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的左焦点为F1，则MF2PF1为平行四边形，根据双曲线定义可得，在△MF1F2中利用余弦定理得出a，c的关系即可求出离心率．‎ ‎【详解】设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MF2PF1为平行四边形．‎ ‎∴．‎ 设，则，‎ ‎∴，即．‎ - 24 -‎ ‎∵，‎ 又，‎ 在△MF1F2中，由余弦定理可得：，‎ 即，‎ ‎∴双曲线的离心率e．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的性质，离心率计算，利用双曲线的对称性是解题的关键，属于中档题．‎ ‎12.函数的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为，，，………在点列中存在三个不同的点，，，使得是等腰直角三角形将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，可求对称轴方程，进而可求A1，A2，A3，……An的坐标，由△AkAtAp是等腰直角三角形可知直线的斜率之积为﹣1可求ωn，进而可得解.‎ ‎【详解】由，得，，‎ - 24 -‎ 由题意得，‎ 即，‎ 由是等腰直角三角形，‎ 得，‎ 即，得，‎ 同理是等腰直角三角形得，得.‎ 同理是等腰直角三角形得，得 ‎……‎ 则，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦函数的对称性及直线垂直关系的应用，还考查了归纳推理的应用，属于难题.‎ 二.填空题。‎ ‎13.在的二项展开式中，的系数等于_______.‎ ‎【答案】180‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求出r的值，即可求得x6的系数．‎ ‎【详解】在的二项展开式的通项公式公式为 C10k（﹣2）kx10﹣2k，‎ 令10﹣2k＝6，解得k＝2，‎ 故x6的系数等于C102（﹣2）2＝180，‎ 故答案：180．‎ ‎【点睛】‎ - 24 -‎ 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎14.某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图为正方形，则该三棱锥的体积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出三棱锥的直观图，根据三视图的数据计算棱锥的体积．‎ ‎【详解】设三棱锥为P﹣ABC，O为P在底面上的射影，‎ 由三视图可知ABCO为边长为1的正方形，且棱锥的高PO＝1，‎ ‎∴三棱锥的体积．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征，三视图与体积计算，属于中档题．‎ ‎15.已知实数x，y满足约束条件：，则的最大值为_____.‎ - 24 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】由实数x，y满足约束条件：，作出可行域如图，则的最大值就是u＝﹣2x+y的最大值时取得．‎ 联立，解得A（1，1），‎ 化目标函数u＝﹣2x+y为y＝2x+u，‎ 由图可知，当直线y＝2x+u过A时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．‎ ‎16.记，已知矩形ABCD中，AB=2AD，E是边AB的中点，将 沿DE翻折至（平面BCD），记二面角为，二面角为，二面角为，二面角为，则____.‎ - 24 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用特例法，设平面A′DE⊥平面ABCD，取DE中点O，作出各个平面角，由正切值容易判定α最小．‎ ‎【详解】‎ 作为填空题，可用特例法，‎ 不妨设平面A′DE⊥平面ABCD，‎ 取DE中点O，连接A′O，则A′O⊥平面ABCD，‎ 由点O作各边的垂线OM，ON，OH，‎ 并连接A′M，A′N，A′H，‎ 则α＝∠A′HO，β＝∠A′NO，θ＝A′MO，γ＝90°，‎ ‎，‎ 易知 ‎ 所以最小，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】此题考查了二面角的作法，求法，难度适中．‎ - 24 -‎ 三.解答题 ‎17.数列的前n项和记为，，点在直线上，其中.‎ ‎(1)当实数t为何值时，数列是等比数列 ‎(2)在（1）的结论下，设，，是数列的前n项和，求.‎ ‎【答案】（1）时，数列为等比数列（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意,再利用项和公式求得时，数列为等比数列；（2）由题得，再利用错位相减法求．‎ ‎【详解】解:（1）由题意 ①，‎ 则 ②‎ ‎①－②得，即 ‎ 又，则，即，‎ 得，故时，数列为等比数列. ‎ ‎（2）可得，，所以 ‎③‎ ‎④‎ ‎③－④得 ‎==‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查项和公式，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ - 24 -‎ ‎18.已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若点为棱上一点且，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设的中点为，连接，，证明， ，平面，然后证明平面平面．‎ ‎（Ⅱ）以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）设的中点为，连接，．‎ 由题意，得，， ．‎ 在中，，为的中点， ， ‎ 在中，，，， ，‎ ‎．‎ ‎，，平面，平面，‎ 平面，平面平面． ‎ - 24 -‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由平面，， ，，‎ 于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，‎ 则， ， ， ，， ， ， ， ．‎ 设平面的法向量为，‎ 则由得： ．令，得，，即．‎ 设平面的法向量为，‎ 由得： ，令，得，z＝1，即．‎ ‎．由图可知，二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎19.已知椭圆C:的焦距为，且C过点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ - 24 -‎ ‎(2)设、分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于、的任意一点，过点P作轴于M，N为线段PM的中点，直线与直线交于点D，E为线段的中点，O为坐标原点，则是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由焦距为，得，由椭圆过点，得，再由a2＝b2+c2，解得a＝2，b＝1，由此能求出椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P（x0，y0），x0≠0，则M（0，y0），，由此能求出直线B2N的方程，令y＝﹣1，得，由B2（0，﹣1），E为线段B1D的中点，得，从而，，由此能证明．‎ ‎【详解】(1)由题意各焦距为，∴，又∵椭圆过点，‎ ‎∴代入椭圆方程得，∵，解得，，‎ 故所求椭圆C的方程是；‎ ‎(2)证明：设，，则，，‎ ‎∵点P在椭圆C上，，即，‎ 又，∴直线的方程为，‎ 令，得，∴，‎ - 24 -‎ 又，E为线段的中点，∴，‎ ‎∴，，‎ 因 ‎.‎ ‎∴，即.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，考查线线垂直的证明，考查直线与椭圆的位置关系、韦达定理、向量的数量积等基础知识，综合程度较高，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎20.某市疾控中心流感监测结果显示，自2019年1月起，该市流感活动一度d现上升趋势，尤其是3月以来，呈现快速增长态势，截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平，为了预防感冒快速扩散，某校医务室采取积极方式，对感染者进行短暂隔离直到康复。假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定感染的同学，血液化验结果呈阳性即为感染，呈阴性即未被感染。下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定感染同学为止；方案乙：先任取3个同学，将它们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定感染同学为止；若结果呈阴性则在另外3位同学中逐个检测；‎ ‎(1)求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；‎ ‎(2)表示依方案甲所需化验次数，表示依方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑那种化验方案最佳。‎ ‎【答案】（1）；（2）方案乙更佳 ‎【解析】‎ 分析：（1）分别求出时的值，及时的值，进而可求出方案甲所需化验次数等于依方案乙所需化验次数的概率；（2）确定 - 24 -‎ 的可能取值及相应的数学期望，比较二者大小可知方案乙更佳.‎ 详解：‎ ‎（1）设分别表示依方案甲需化验为第次； 表示依方案乙需化验为第次；‎ 表示方案甲所需化验次数等于依方案乙所需化验次数．‎ ‎， ‎ ‎（2）的可能取值为．的可能取值为．‎ ‎（次），‎ ‎ ‎ ‎∴（次），∴故方案乙更佳 ．‎ 点睛：求解离散型随机变量数学期望的一般步骤：（1）确定各随机变量的可能取值；（2）求出随机变量各取值下的概率；（3）计算数学期望.‎ ‎21.已知，函数 ‎(1)讨论函数的单调性；‎ ‎(2)若是的极值点，且曲线在两点，处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为、，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ ‎（1）根据导数和函数的关系即可求出函数的单调区间，‎ ‎（2）由x＝2是f（x）的极值点，以及导数的几何意义，可求出相对应的切线方程，根据切线平行可得，同理，．求出b1﹣b2，再构造函数，‎ 利用导数，即可求出b1﹣b2的取值范围 ‎【详解】（1），‎ ‎①当a≤0时，f'（x）＜0在x∈（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ ‎②当a＞0时，时f'（x）＜0，时，f'（x）＞0，‎ 即f（x）在上单调递减，在单调递增；‎ ‎（2）∵x=2是f（x）的极值点，∴由（1）可知，‎ ‎∴a=1，设在P（x1，f（x1））处切线方程为，‎ 在Q（x2，f（x2））处的切线方程为 ‎∴若这两条切线互相平行，则，∴‎ ‎∵，且0＜x1＜x2＜6，∴，∴，‎ ‎∴x1∈（3，4）令x=0，则，‎ 同理，．‎ ‎【解法一】∵，∴‎ - 24 -‎ 设，‎ ‎∴‎ ‎∴g（x）在区间上单调递减，∴‎ 即b1-b2的取值范围是．‎ ‎【解法二】∵，‎ ‎∴‎ 令，其中x∈（3，4）‎ ‎∴‎ ‎∴函数g（x）在区间（3，4）上单调递增，∴‎ ‎∴b1-b2的取值范围是．‎ ‎【解法三】∵x1•x2=2（x1+x2），‎ ‎∴‎ 设，则 - 24 -‎ ‎∵，∴g'（x）＞0，‎ ‎∴函数g（x）在区间上单调递增，‎ ‎∴，∴b1-b2的取值范围是．‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力，属于难题 ‎22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，t为参数）.‎ ‎(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；‎ ‎(2)设P为曲线上的动点，求点P到上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标.‎ ‎【答案】（1） ； （2）最小值，点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由曲线的参数方程消去参数之间得出其普通方程；由曲线的参数方程先化为普通方程，进而可得出极坐标方程；‎ ‎（2）根据曲线参数方程设出，由点到直线的距离公式即可求解.‎ ‎【详解】（1）对曲线：，，‎ ‎∴曲线的普通方程为． ‎ - 24 -‎ 对曲线消去参数可得且 ‎∴曲线的直角坐标方程为． ‎ 又，‎ 从而曲线的极坐标方程为。‎ ‎（2）设曲线上的任意一点为， ‎ 则点到曲线：的距离， ‎ 当，即时，，此时点的坐标为．‎ ‎【点睛】本题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程，熟记方程互化的公式，灵活使用曲线的参数方程，即可解题，属于常考题型.‎ ‎23.设.‎ ‎(1)求的解集；‎ ‎(2)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围 ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）分段去绝对值求解不等式即可；‎ ‎（Ⅱ）先求f（x）的最小值，进而使其最大值满足不等式求参即可.‎ - 24 -‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意得f（x）＝ ，‎ 因为f（x）≥4x+3，所以或 或 ，‎ 解得x≤，‎ 所以f（x）≥4x+3的解集为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的最小值为，‎ 因为不等式2f（x）≥3a2﹣a﹣1对任意实数x恒成立，‎ 所以，解得，‎ 故实数a的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．‎ - 24 -‎ ‎ ‎ - 24 -‎