2012泉州3月份质检文数试卷

2012泉州3月份质检文数试卷

‎ 准考证号 姓名 ‎ ‎（在此卷上答题无效）‎ 保密★启用前 泉州市2012届普通中学高中毕业班质量检查 文 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. ‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ ‎4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 参考公式： ‎ 样本数据、、…、的标准差：‎ ‎，其中为样本平均数；‎ 柱体体积公式：，其中为底面面积，为高；‎ 锥体体积公式：，其中为底面面积，为高；‎ 球的表面积、体积公式：，，其中为球的半径.‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．复数 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合，，则为 ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．函数的零点所在的区间是 A． B． C． D． ‎ ‎4．下列双曲线中与椭圆有相同焦点的是 A． B． C． D．‎ ‎5．下列函数中，既是偶函数，且在区间内是单调递增的函数是 A． B． C． D． ‎ ‎6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入的值为，那么输出的结果是 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎7．条件“”，条件“”，则是的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．右图所示的是函数图象的一部分，则其函数解析式是 A． B． ‎ C． D． ‎ 甲 乙 ‎9‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎9‎ ‎●‎ ‎9‎ ‎9．甲、乙两同学5次综合测评的成绩如茎叶图所示．老师在计算甲、乙两人平均分时，发现乙同学成绩的一个数字无法看清.若从随机取一个数字代替，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知正六边形ABCDEF的边长为1，则的值为 ‎ A． B． C ． D．‎ ‎11．如图，边长为的正方形组成的网格中，设椭圆、、的离心率分别为、、，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎12．已知函数在区间上均有意义，且、是其图象上横坐标分别为、的两点. 对应于区间内的实数，取函数的图象上横坐标为的点，和坐标平面上满足的点，得.对于实数，如果不等式对恒成立，那么就称函数在上“k阶线性近似”．‎ 若函数在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎ 准考证号 姓名 ‎ ‎（在此卷上答题无效）‎ 保密★启用前 泉州市2012届普通中学高中毕业班质量检查 文 科 数 学 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13．已知向量，，若，则的值为 ．‎ ‎14．若角的终边经过点，则的值是 ．‎ ‎15．一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为 ．‎ ‎16. 设圆：，记为圆内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则的所有可能值为__________________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把解答过程填写在答题卡的相应位置.‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 等比数列的各项均为正数，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 如图1，在正方形中，，是边的中点，是边上的一点，对角线分别交、于、两点．将折起，使重合于点，构成如图2所示的几何体．‎ ‎（Ⅰ）求证：面；‎ ‎（Ⅱ）试探究：在图1中，在什么位置时，能使折起后的几何体中／／平面，并给出证明. ‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 设的三个内角所对的边分别为．已知．‎ ‎（Ⅰ）求角Ａ的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最大值.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 某学校为调查高三年学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））.已知图（1）中身高在170 ~‎175cm的男生人数有16人．‎ 图（1） 图（2）‎ ‎（Ⅰ）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？‎ ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分几）的把握认为“身高与性别有关”?‎ ‎≥‎‎170cm ‎<‎‎170cm 总计 男生身高 女生身高 总计 ‎（Ⅲ）在上述80名学生中，从身高在170～175cm之间的学生中按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．‎ ‎ 参考公式： ‎ 参考数据：‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 如图，点为坐标原点，直线经过抛物线的焦点.‎ ‎（Ⅰ）若点到直线的距离为，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点A是直线与抛物线在第一象限的交点．点B是以点为圆心,为半径的圆与轴负半轴的交点．试判断直线与抛物线的位置关系，并给出证明．‎ ‎22．(本小题满分14分)‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程； ‎ ‎（Ⅱ）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）记为函数的导函数．若，试问：在区间上是否存在（）个正数…，使得成立？请证明你的结论.‎ 泉州市2012届普通中学高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准 ‎ 说明：‎ ‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ ‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．‎ ‎ 1． A 2．C 3．C 4．B 5．D 6．A ‎ ‎7． B 8．A 9．A 10．D 11．D 12．C ‎ 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.‎ ‎13．5 ； 14． ； 15．； 16．、、12.‎ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.满分12分.‎ 解：（Ⅰ）设数列的公比为，则 ‎………………………………2分 解得（负值舍去）. ………………………………4分 所以．………………………………6分 ‎（Ⅱ）因为，，‎ 所以，………………………………8分 ‎，‎ 因此数列是首项为2，公差为的等差数列，………………………………10分 所以．………………………………12分 ‎18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力.满分12分.‎ 解：（Ⅰ）,………………………………2分 又，………………………………4分 面．………………………………5分 ‎（Ⅱ）当点F为BC的中点时，面．………………………………6分 证明如下：当点F为BC的中点时，‎ 在图（1）中，分别是，的中点，‎ 所以，………………………………8分 即在图（2）中有．………………………………9分 又，，………………………………11分 所以面．………………………………12分 ‎19．本小题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分．‎ 解法一：（Ⅰ）由已知有，………………………………2分 故，.………………………………4分 又，所以.………………………………5分 ‎（Ⅱ）由正弦定理得，……………………7分 故.………………………………8分 ‎．………………………………10分 所以.‎ 因为，所以.‎ ‎∴当即时，取得最大值，取得最大值４. …………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得，，………………………………8分 所以，即，………………………………10分 ‎，故.‎ 所以，当且仅当，即为正三角形时，取得最大值４. …………12分 ‎20．本小题主要考查频率分布直方图、列联表和概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想等．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）直方图中，因为身高在170 ~‎175cm的男生的频率为，‎ 设男生数为，则，得.………………………………………4分 由男生的人数为40，得女生的人数为80-40=40.‎ ‎（Ⅱ）男生身高的人数，女生身高的人数，所以可得到下列列联表：‎ ‎≥‎‎170cm ‎<‎‎170cm 总计 男生身高 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 女生身高 ‎4‎ ‎36‎ ‎40‎ 总计 ‎34‎ ‎46‎ ‎80‎ ‎…………………………………………6分 ‎，………………………………………7分 所以能有99．9％的把握认为身高与性别有关；…………………………………………8分 ‎（Ⅲ）在170～175cm之间的男生有16人，女生人数有人．‎ 按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人. ………………………9分 设男生为，女生为.‎ 从5人任选3名有:‎ ‎,共10种可能，………………………………10分 ‎3人中恰好有一名女生有:共6种可能，………………………11分 故所求概率为．…………………………………………12分 ‎21．本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．‎ 解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点，………………………………………1分 当直线的斜率不存在时，即不符合题意. ……………………………2分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即…………3分 所以，，解得：…………5分 故直线的方程为：，即.…………6分 ‎（Ⅱ）直线与抛物线相切，证明如下：…………7分 ‎（法一）：设，则.…………8分 因为所以.…………9分 所以直线的方程为：，整理得: ‎ 把方程（1）代入得：，…………10分 ‎，‎ 所以直线与抛物线相切．…………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．‎ ‎（Ⅱ）直线与抛物线相切，证明如下：…………7分 设，则.…………8分 设圆的方程为：，…………9分 当时，得，‎ 因为点B在轴负半轴，所以.…………9分 所以直线的方程为，整理得:‎ 把方程（1）代入得：，…………10分 ‎，‎ 所以直线与抛物线相切．…………12分 ‎22．本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）当时，，，，‎ 所以切线的斜率为.…………………………………………2分 ‎ 又，所以切点为.‎ ‎ 故所求的切线方程为：即.…………………………………………4分 ‎（Ⅱ），，.………………………6分 ‎ 令，则.‎ ‎ 当时，；当时，.‎ ‎ 故为函数的唯一极大值点，‎ 所以的最大值为=.…………………………………………8分 由题意有，解得.‎ ‎ 所以的取值范围为.…………………………………………10分 ‎（Ⅲ）当时，. 记，其中.‎ ‎∵当时，，∴在上为增函数，‎ 即在上为增函数. …………………………………………12分 又，‎ 所以，对任意的，总有.‎ 所以，‎ 又因为，所以.‎ 故在区间上不存在使得成立的（）个正数…. ………………………14分