2013重庆卷（理）数学试题

2013重庆卷（理）数学试题

‎2013·重庆卷(理)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1． 已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝(　　)‎ A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}‎ ‎1．D　[解析] 因为A∪B＝{1，2，3}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.‎ ‎2． 命题“对任意x∈，都有x2≥0”的否定为(　　)‎ A．对任意x∈，都有x2＜0‎ B．不存在x∈，使得x2＜0‎ C．存在x0∈，使得x≥0‎ D．存在x0∈，使得x＜0‎ ‎2．D　[解析] 根据定义可知命题的否定为：存在x0∈，使得x＜0，故选D.‎ ‎3． (－6≤a≤3)的最大值为(　　)‎ A．9 B. C．3 D. ‎3．B　[解析] 因为－6≤a≤3，所以≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时等号成立，故选B.‎ ‎4． 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．‎ 图1－1‎ 已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(　　)‎ A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8‎ ‎4．C　[解析] 因为甲组数据的中位数为15，由茎叶图可得x＝5.因乙组数据的平均数为16.8，则＝16.8，解得y＝8，故选C.‎ ‎5．， 某几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的体积为(　　)‎ 图1－2‎ A. B. C．200 D．240‎ ‎5．C　[解析] 该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，其腰为5的等腰梯形，所以其底面面积为(2＋8)×4＝20，所以体积为V＝20×10＝200.‎ ‎6． 若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)‎ A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 ‎6．A　[解析] 因为f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，所以f(a)f(b)＜0，f(b)f(c)＜0，所以函数的两个零点分别在(a，b)和(b，c)内，故选A.‎ ‎7．， 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)‎ A．5 －4 B. －1‎ C．6－2 D. ‎7．A　[解析] 如图，作圆C1关于x轴的对称圆C′1：(x－2)2＋(y＋3)2＝1，则|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|.由图可知当C2，N，P，M′，C′1在同一直线上时，|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|取得最小值，即为|C′1C2|－1－3＝5 －4，故选A.‎ 图1－3‎ ‎8．， 执行如图1－4所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是(　　)‎ 图1－4‎ A．k≤6 B．k≤7 ‎ C．k≤8 D．k≤9‎ ‎8．B　[解析] 第一次输入得s＝log23，k＝3；第二次得s＝log23·log34＝2，k＝4；第三次得s＝2log45，k＝5；第四次得s＝2log45·log56＝2 log46，k＝6；第五次得s＝2log46·log67＝2log47，k＝7；第六次得s＝2log47·log78＝2log48＝2log44＝3，k＝8，输出，故选B.‎ ‎9．、， 4cos 50°－tan 40°＝(　　)‎ A. B. C. D．2 －1‎ ‎9．C　[解析] 原式＝4sin 40°－ ‎＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝，故选C.‎ ‎10．、， 在平面上，⊥，|OB1|＝||＝1，＝＋.若||＜，则||的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎10．D　[解析] 根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图．设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，‎ 由||＝||＝1得 则 又由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，则1－x2＋1－y2＜，即x2＋y2＞①.‎ 又(x－a)2＋y2＝1，得x2＋y2＋a2＝1＋2ax≤1＋a2＋x2，则y2≤1；‎ 同理由x2＋(y－b)2＝1，得x2≤1，即有x2＋y2≤2②.‎ 由①②知＜x2＋y2≤2，所以＜≤.‎ 而||＝，所以＜||≤，故选D.‎ ‎11． 已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________．‎ ‎11.　[解析] 因为z＝＝2＋i，所以|z|＝＝.‎ ‎12．， 已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．‎ ‎12．64　[解析] 设数列{an}的公差为d，由a1，a2，a5成等比数列，得(1＋d)2＝1·(1＋4d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以S8＝8×1＋×2＝64.‎ ‎13． 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答)‎ ‎13．590　[解析] 从12名医生中选出5名的选法有C＝792种，其中只不选骨科医生的选法有C－1＝125种；只不选脑外科医生的选法有C－1＝55种；只不选内科医生的选法有C＝21种；同时不选骨科和脑外科医生的选法有1种，故骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数有792－(125＋55＋21＋1)＝590.‎ ‎1－6‎ ‎14． 如图1－6所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．‎ ‎14．5　[解析] 联结CE.由弦切角定理知∠BCD＝∠A＝60°，所以在Rt△BCD中，∠CBD＝30°.又在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝AB＝10，所以CE＝AC＝10.在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，故DE＝CE＝5.‎ ‎15． 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________．‎ ‎15．16　[解析] 直线的普通方程为x＝4，代入曲线的参数方程 得t＝±2，当t＝2时x＝4，y＝8；当t＝－2时x＝4，y＝－8，即有A(4，8)，B(4，－8)，于是|AB|＝8－(－8)＝16.‎ ‎16． 若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解，则实数a的取值范围是________．‎ ‎16．(－∞，8]　[解析] 要使不等式无解，则a必须小于或等于|x－5|＋|x＋3|的最小值，而|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，则a≤8，所以实数a的取值范围是(－∞，8]．‎ ‎17．， 设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6)．‎ ‎(1)确定a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间与极值．‎ ‎17．解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，‎ 故f′(x)＝2a(x－5)＋.‎ 令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，‎ 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，‎ 由点(0，6)在切线上可得6－16a＝8a－6，‎ 故a＝.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x＞0)，‎ f′(x)＝x－5＋＝，‎ 令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.‎ 当0＜x＜2或x＞3时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故f(x)在(2，3)上为减函数．‎ 由此可知，f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.‎ ‎18．、、， 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：‎ 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 ‎3红1蓝 ‎200元 二等奖 ‎3红0蓝 ‎50元 三等奖 ‎2红1蓝 ‎10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．‎ ‎(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；‎ ‎(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．‎ ‎18．解：设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0，1，2，3)与Bj(j＝0，1)独立．‎ ‎(1)恰好摸到1个红球的概率为 P(A1)＝＝.‎ ‎(2)X的所有可能值为0，10，50，200，且 P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝‎ ·＝，‎ P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝，‎ P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝·＝＝，‎ P(X＝0)＝1－－－＝.‎ 综上知X的分布列为 X ‎0‎ ‎10‎ ‎50‎ ‎200‎ P 从而有E(X)＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．‎ 图1－7‎ ‎19．、、， 如图1－7所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F为PC的中点，AF⊥PB.‎ ‎(1)求PA的长；‎ ‎(2)求二面角B－AF－D的正弦值．‎ ‎19．解：(1)如图，联结BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，故AC⊥BD.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，则OC＝CDcos＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3.又OD＝CDsin＝，故A(0，－3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)．‎ 因PA⊥底面ABCD，可设P(0，－3，z)，由F为PC边中点，得F，又＝，＝(，3，－z)，因AF⊥PB，故·＝0，即6－＝0，z＝2 (舍去－2 )，所以||＝2 .‎ ‎(2)由(1)知＝(－，3，0)，＝(，3，0)，＝(0，2，)．设平面FAD的法向量为1＝(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为2＝(x2，y2，z2)．‎ 由1·＝0，1·＝0，得 因此可取1＝(3，，－2)．‎ 由2·＝0，2·＝0，得 故可取2＝(3，－，2)．‎ 从而向量1，2的夹角的余弦值为 cos〈1，2〉＝＝.‎ 故二面角B－AF－D的正弦值为.‎ ‎20．、、， 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．‎ ‎20．解：(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，‎ 所以由余弦定理有cos C＝＝＝－.故C＝.‎ ‎(2)由题意得 ＝，‎ 因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，‎ tan2 αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，‎ tan2 αsin Asin B－tan αsin (A＋B)＋cos Acos B＝.①‎ 因为C＝，所以A＋B＝，所以sin (A＋B)＝.‎ 因为cos (A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，‎ 即－sin Asin B＝.‎ 解得sin Asin B＝－＝.‎ 由①得tan2α－5tan α＋4＝0，‎ 解得tan α＝1或tan α＝4.‎ ‎21．、、、， 如图1－9所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程；‎ ‎(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．‎ 图1－9‎ ‎21．解：(1)由题意知点A(－c，2)在椭圆上，则＋＝1，从而e2＋＝1.‎ 由e＝得b2＝＝8，从而a2＝＝16.‎ 故该椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)．又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8 ‎＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4，4])．‎ 设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取得最小值．又因x1∈(－4，4)，所以上式当x＝2x0时取得最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.‎ 因为PQ⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，所以·′＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，‎ 即(x1－x0)2－y＝0.由椭圆方程及x1＝2x0得x－8＝0，‎ 解得x1＝±，x0＝＝±，从而|QP|2＝8－x＝.‎ 故这样的圆有两个，其标准方程分别为 ＋y2＝，＋y2＝.‎ ‎22．、， 对正整数n，记In＝{1，2，…，n}，Pn＝‎ ‎.‎ ‎(1)求集合P7中元素的个数；‎ ‎(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”，求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．‎ ‎22．解：(1)当k＝4时，m∈I7中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为7×7－3＝46.‎ ‎(2)先证：当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使A∪B＝Pn⊇In.不妨设1∈A，则因1＋3＝22，故3∉A，即3∈B.同理6∈A，10∈B，又推得15∈A，但1＋15＝42，这与A为稀疏集矛盾．‎ 再证P14符合要求，当k＝1时，m∈I14＝I14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1＝{1，2，4，6，9，11，13}，B1＝{3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1＝I14.‎ 当k＝4时，集m∈I14中除整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：A2＝，B2＝.‎ 当k＝9时，集m∈I14中除正整数外剩下的数组成集 ‎，可分解为下面两稀疏集的并：A3＝，‎ B3＝.‎ 最后，集C＝中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14.‎ 综上，所求n的最大值为14.‎ 注：对P14的分拆方法不是唯一的．‎