2019届二轮复习函数的性质学案（全国通用）

2019届二轮复习函数的性质学案（全国通用）

第一讲 函数的性质 一、知识要点 ‎1、映射 对于任意两个集合，依对应法则，若对中的任意一个元素在中都有唯一一个元素与之对应，则称为一个映射，记作其中称为像，称为原像。‎ 如果是一个映射且对任意都有则是到上称之为单射.‎ 如果是映射且对任意都有一个使得则称是到上的满射.‎ 如果既是单射又是满射，则是到上叫做一一映射.‎ 如果是从集合到集合上的一一映射，并且对于中每一个元素，使在中的原像和它对应，这样所得的映射叫做的逆映射，记作 ‎2、函数方程问题 ‎（1）代换法（或换元法）‎ 把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得位置函数 例.设求的解. （【解析】分别用带入）‎ ‎（2）待定系数法 当函数方程中的未知数是多项式时，可待定系数而求解.‎ 例.已知是一次函数，且，求. （【解析】设求解）‎ ‎3、函数对称性以及周期性 ‎1）已知函数，若函数图像与图像关于：‎ 直线对称，则；‎ 直线对称，则；‎ 点对称，则。‎ ‎2）已知函数图像关于：‎ 直线对称，则；‎ 点对称，则，即。‎ ‎3）常用：若函数图像与图像关于：‎ 轴对称，则；‎ 轴对称，则；‎ 原点对称，则。‎ ‎ 4）若，则图像关于直线对称；‎ ‎ 若，则图像关于点对称；‎ ‎ 若与关于直线对称；‎ ‎5）若，则函数是以为周期的函数。‎ ‎6）若，则，即；‎ 若，则，即；‎ 若，则，即。‎ ‎7）若关于直线和对称，则为以为周期的周期函数；‎ ‎ 若关于点和对称，则为以为周期的周期函数；‎ ‎ 若关于点和对称，则为以为周期的周期函数。‎ ‎4、抽象函数问题的解法 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号极其满足的条件的函数，如给出定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等，它是高中函数的难点，也是与高等数学函数部分的一个衔接点。‎ ‎（1）函数性质法 函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性等）反映出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，才能够将抽象函数问题化难为易。常用的方法有：①利用奇偶性整体思考；②利用单调性等价转化；③利用周期性回归已知；④利用对称性数形结合；⑤借助特殊点列方程。‎ ‎（2）特殊化方法 ‎① 在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将换成或将换成其他字母等；‎ ‎② 在求函数值时，可用特殊值代入；‎ ‎③ 研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或通过具体模型函数为解答综合题提供思路和方法。‎ ‎5、函数的迭代 一个函数的自复合，叫做迭代。我们用表示的次迭代函数。‎ 即 如果 则称有迭代周期 迭代问题的解法通常是找它的迭代周期。一般来说，若的图像关于直线对称，则一定有.它的迭代周期就是2.下面是几个常见函数的迭代周期。‎ 迭代周期是3；‎ 迭代周期是4；‎ ‎6、凹凸函数 设为定义在区间上的函数，若对上任意两点、和实数总有则称为上的凸函数（有时也称下凸函数）。反之，如果总有不等式则称则称为上的凹函数（有时也称上凸函数）。‎ 特别地，时，有（凸函数）或 ‎（凹函数）。‎ 如何判断一个函数是凸函数（凹函数）？除了定义以外，还有下面的定理：‎ 设为上二阶可导函数，则为上的凸（凹）函数的充要条件是 凸函数更一般的情形是下面的琴生不等式：若为上的凸函数，则对任意 ‎，且则 ‎ ‎ 二、热身练习 ‎1、（2009复旦）若要求关于的函数的定义域是则、的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选A.由对 恒成立这样的不存在。‎ ‎2、（2010复旦）某校有一个班级，设变量是该班同学的姓名，变量是该班同学的学号，变量是该班同学的身高，变量是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中正确的是（ ）‎ 是的函数 是的函数 是的函数 是的函数 ‎【解析】按照函数的定义，由于班上可能会有相同的姓名，故A不正确。而任意一个学生的学号是唯一的，也对应了一个唯一的身高，故选项B正确；同理，均不正确。‎ ‎3、（2007复旦）设是定义在实数集上的周期为的周期函数，且是偶函数。已知当时，则当时，的表达式为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选A 可以考虑特殊值。，‎ ‎。符合条件的只有选项A了。‎ ‎4、（2006复旦）设有三个函数，第一个是，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线对称，则第三个函数是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选。第二个函数是第三个函数为，即 三、真题讲解 ‎1、（2005交大）函数的最大值为最小值为求实数、.‎ ‎【解析】即.‎ 显然，这个关于的方程必有实数根，从而有 ‎。根据题意，‎ 故，所以解得.‎ ‎2、（2006复旦）设且下列不等式中成立的是（ ）‎ ① ‎ XIAN 数 ② ③ ④ ‎①③ ①④ ②③ ②④‎ ‎【解析】选B这是一道和凸函数有关的问题，分别画出,的草图。由图像可知是下凸函数，是上凸函数，故选B ‎3、（2009清华）求证：‎ ‎【解析】本题考查的是前文中证明函数是凸函数的充要条件。首先构造函数 先证明它是凸函数。事实上故是上的凸函数，从而证毕！‎ ‎4、（2007交大）已知函数对于定义若则.‎ ‎【解析】本题考查迭代周期问题。计算得 故以6为周期. 注：条件可以不用。‎ ‎5、（2007北大）求 ‎【解析】‎ 故，所以 ‎.‎ ‎6、（2002交大）函数有且 求满足的关系；‎ 证明：存在这样的使 ‎【解析】因为有且所以，且 ‎（因为），‎ 故即 ‎ 令而故在之间必有一解，所以存在，是的 四、强化训练 ‎（A组）‎ ‎1、（2004复旦）若存在使对任意（为函数的定义域），都有 则称函数有界。问函数在上是否有界？‎ ‎【解析】令则，‎ 若令且则当时，，，‎ 故在上无界.注：本题中的有无穷多个赋值方式，如令事实上，只要使均可。‎ ‎2、（2007复旦）若且则 ‎ 不是与无关的常数 ‎ ‎【解析】选D. 由得故 ‎3、（2005复旦）定义在上的函数满足，‎ 则 ‎【解析】 令令 ‎4、设 且，则的值有（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】因为，故为偶函数.在时，有 ‎.当时，‎ 恒有 故选！‎ ‎5、（2000交大）求函数的反函数 ‎【解析】由得 ‎ ‎ 6、 ‎（模拟题）求函数在区间上的值域.‎ ‎【解析】，值域为 ‎7、（模拟题）已知是定义在上的函数，且 ‎（1）试证明是周期函数；‎ ‎（2）若试求 ‎【解析】（1）又条件可知故用换上式的，得 所以，即是以8为周期的周期函数。‎ ‎（2）.‎ ‎8、（模拟题）已知是一次函数，且.求 ‎【解析】设则有 ‎.‎ 依此类推有：‎ 由题设可得：故解得.‎ 所以或.‎ ‎9、（模拟题）已知实数满足求.‎ ‎【解析】记则 故.‎ ‎10、（2001交大）已知函数的最小值是，试着写出的解析表达式。‎ ‎【解析】其对称轴为 当时，在上单调递增，从而 当即时，在上单调递减，从而 当时，‎ 故 ‎（B组）‎ ‎1、（2008交大）已知函数且没有实数根.那么是否有实数根？并证明你的结论.‎ ‎【解析】法一：利用，得到，故没有实数根（本方法计算量过大）‎ ‎ 法二：若则对一切恒成立.‎ ‎ 故有；‎ ‎ 同理时则对一切恒成立. ‎ 故有；所以没有实数根 2、 ‎（模拟题）已知函数 ‎（1）函数的图像与直线均无公共点，求证:‎ ‎（2）若且，又时，恒有，求的解析式.‎ ‎【解析】（1）函数与直线无公共点，无实数解.‎ 故，即.‎ 同理 函数与直线无公共点，即有.‎ 两式相加 得即 ‎ （2），又时，恒有 故有 故.又.故 故在处取得最小值而且从而是函数的对称轴.‎ 故。‎ ‎3、（模拟题）已知且当时有.求 ‎【解析】把已知条件中的等式进行整理，得到：‎ ‎ ‎ 把依次用代换，得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 上述的个等式相加，可以得到：‎ 所以 故 ‎4、（模拟题）已知是定义在上的不恒为的函数，且对于任意的，有 ‎.‎ ‎（1）求的值. ‎ ‎（2）判断的奇偶性，并证明你的结论.‎ ‎（3）若，求数列的前项和.‎ ‎【解析】（1）令，则；令，则，‎ ‎。‎ ‎（2）令则 再令则 故，即是奇函数。‎ ‎（3）当时，.‎ 令则有 故，‎ 故 又因为 故. .‎