山东省淄博市部分学校2020届高三6月阶段性诊断考试数学试题

山东省淄博市部分学校2020届高三6月阶段性诊断考试数学试题

部分学校高三阶段性诊断考试试题数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合、，利用交集的定义可求得集合.‎ ‎【详解】，，‎ 因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了分式不等式和绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.设复数z满足，则的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，故，得到答案.‎ ‎【详解】，则，故 ‎，虚部为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎3.在正项等比数列中，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比中项的性质求得的值，进而可求得的值.‎ ‎【详解】在正项等比数列中，，由等比中项的性质可得，，‎ 因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查等比中项性质的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.当，方程表示的轨迹不可能是（ ）‎ A. 两条直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分、、三种情况讨论，分别判断出三种情况下方程所表示的曲线，进而可得出合适的选项.‎ ‎【详解】当时，，方程表示的曲线为椭圆；‎ 当时，方程为，即，方程表示两条直线；‎ 当时，，方程表示的曲线为双曲线.‎ 综上所述，当，方程表示的轨迹不可能是圆.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查方程所表示的曲线形状的判断，考查推理能力与分类讨论思想的应用，属于基础题.‎ ‎5.已知，，（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数的运算以及幂函数的单调性，进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 在上单调递增 ‎，即 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了比较指数式，对数式的大小，关键是借助幂函数的单调性进行比较，属于中档题.‎ ‎6.在平行四边形中，，若交于点M，则（ ）‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形相似的性质结合向量的运算，即可得出答案.‎ ‎【详解】，为线段靠近点的四等分点 显然，即 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.‎ ‎7.某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测：‎ 甲说：丙或丁竞选成功；‎ 乙说：甲和丁均未竞选上；‎ 丙说：丁竞选成功；‎ 丁说：丙竞选成功；‎ 若这四人中有且只有2人说的话正确，则成功竞选学生会主席职位的是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别讨论当选上的人为甲、乙、丙、丁时，判断每个人说的是否正确，即可得到正确答案.‎ ‎【详解】若甲被选上，甲、乙、丙、丁说的均错误，故A错误；‎ 若乙被选上，甲、丙、丁说的均错误，乙说的正确，故B错误；‎ 若丙被选上，甲、乙、丁说的正确，丙说的错误，故C错误；‎ 若丁被选上，甲、丙说的正确，乙、丁说的错误，故D正确；‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了推理与证明，考查学生逻辑推理的能力，属于基础题.‎ ‎8.已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，，当时，根据，可得函数单调递增．根据是定义在，上的奇函数，可得是定义在，上的偶函数．进而得出，解出即可．‎ ‎【详解】解：令，，‎ 当，时，，，即函数单调递增．‎ 又，时，，‎ 是定义在，上的奇函数，是定义在，上的偶函数．‎ 不等式，‎ 即，即，‎ ‎，①，‎ 又，故②，‎ 由①②得不等式的解集是．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究的单调性、构造法、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.设表示不小于实数x最小整数，则满足关于x的不等式的解可以为（ ）‎ A. B. ‎3 ‎C. -4.5 D. -5‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用一元二次不等式的解法，得到，再根据表示不小于实数x的最小整数求解.‎ ‎【详解】因为不等式，‎ 所以，‎ 所以，‎ 又因为表示不小于实数x的最小整数，‎ 所以不等式解可以为3，-4.5.‎ 故选：BC ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及实数的新定义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎10.已知动点在双曲线上，双曲线的左、右焦点分别为、，下列结论正确的是（ ）‎ A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C. 动点到两条渐近线的距离之积为定值 D. 当动点在双曲线的左支上时，的最大值为 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的方程求出、、的值，可求得双曲线的离心率和渐近线方程，可判断A、B选项的正误；设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合双曲线的方程可判断C选项的正误；利用双曲线的定义和基本不等式可判断D选项的正误.‎ ‎【详解】对于双曲线，，，，‎ 所以，双曲线的离心率为，渐近线方程为，A选项正确，B选项错误；‎ 设点的坐标为，则，双曲线的两条渐近线方程分别为和，则点到两条渐近线的距离之积为 ‎，C选项正确；‎ 当动点在双曲线的左支上时，，，‎ ‎，‎ 当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为，D选项错误.‎ 故选：AC.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率、渐近线方程的求解，同时也考查了双曲线几何性质和定义的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎11.华为‎5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：，其中，.已知定义在R上不恒为0的函数，对任意有：且满足，则（ ）‎ A. B. C. 是偶函数 D. 是奇函数 ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 创新题型，利用新知识矩阵定义求出，再赋值可得解 ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 令,则，‎ 令,则，， ‎ 令,则，，‎ 令,则，，‎ 故选：AD ‎【点睛】利用奇偶性解题的类型及方法 ‎(1)求解析式：利用奇偶性将待求值转化到方程问题上，进而得解．‎ ‎(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足或偶函数满足列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据列式求解，若不能确定则不可用此法．‎ ‎12.向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为的液体，旋转容器，下列说法正确的是（ ）‎ A. 当时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同 B. ，液面都可以成正三角形形状 C. 当液面与正方体的某条体对角线垂直时，液面面积的最大值为 D. 当液面恰好经过正方体的某条体对角线时，液面边界周长的最小值为 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方体的截面性质依次判断每个选项：根据对称性知A正确，取得到B错误，液面为正六边形时面积最大，计算得到 C正确，将绕旋转，根据两点间线段最短得到D正确，得到答案.‎ ‎【详解】当时，题目等价于过正方体中心的平面截正方体为两部分，根据对称性知两部分完全相同，A正确；‎ 取，此时液面过正方体中心，截面不可能为三角形，故B错误；‎ 当液面与正方体的体对角线垂直时，液面为如图所示正六边形时面积最大，其中正六边形的顶点均为对应棱的中点，， C正确；‎ 当液面过时，截面为四边形，将绕旋转，如图所示：‎ 则，当共线时等号成立，故周长最小值为，故D正确.‎ 故选：ACD.‎ ‎【点睛】本题考查了正方体的截面问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.已知，则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据诱导公式得到，联立得到，再利用二倍角公式计算即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，即.‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，同时考查了三角函数的诱导公式，属于简单题.‎ ‎14.设随机变量，若实数a满足，则a的值是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态曲线的对称性列式可解得.‎ ‎【详解】因为随机变量，所以正态曲线关于对称，‎ 又，所以，‎ 解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了正态曲线的对称性，属于基础题.‎ ‎15.已知抛物线的焦点是F，点M是其准线l上一点，线段交抛物线C于点N.当时，的面积是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，因为，可得在，之间，设垂直于准线交于，由抛物线的性质可得，可得，求出直线的方程，代入抛物线的方程求出的横坐标，进而求出的面积．‎ ‎【详解】由题意抛物线的标准方程为：，所以焦点，准线方程为，‎ 设垂直于准线交于，如图，‎ 由抛物线的性质可得，‎ 因为，可得在，之间，‎ 所以，所以，‎ 所以，‎ 即直线的斜率为，所以直线的方程为，‎ 将直线的方程代入抛物线的方程可得：，解得或（舍），‎ 所以，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，抛物线的定义，三角形的面积公式，属于中档题．‎ ‎16.用表示函数在闭区间I上的最大值.若正实数a满足则______a的取值范围是______‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦函数的值域可知分a在不同区间进行讨论,得出符合条件的a值.‎ ‎【详解】当，，‎ 由，‎ 得，‎ 与矛盾，舍去；‎ 当，，‎ 由，得，‎ 解得，此时不成立；‎ 当时，，‎ 由，得，‎ 解得，‎ 所以，‎ 当或1，‎ 由，得或（不成立），‎ 解得，‎ 所以，即，‎ 当时，‎ 由，得，此时不成立，‎ 综上，此时，‎ 故答案为：1；‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦函数的最值问题，正弦函数的性质，也考查了分类讨论和运算求解能力,属于中档题.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.下面给出有关的四个论断：①；②；③或；④.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若______，则_______（用序号表示）并给出证明过程：‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先选取3个条件做题设，剩下的一个条件为结论，进一步利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果.‎ ‎【详解】方案一：如果①②③，则④；‎ 证明：由②得，得，即；‎ 由①，得，且，得； ‎ 由③或，不仿取，联立，得，； ‎ 余弦定理：，得，④成立；‎ 方案二：如果①②④，则③；‎ 证明：由②得，得，即；‎ 由①，得，且，得； ‎ 由④，且，得；‎ 从而，；‎ 得或，得或，③成立； ‎ 方案三：如果①③④，则②；‎ 证明：由①，得，‎ 由③或，不仿取，得，即；‎ 由④，且，，得，‎ 从而；‎ 同时，得，得或，‎ 当时，得，由余弦定理得：，且，得，即；即，②成立；‎ 当时，得，由余弦定理得：，且，得 ‎，即不成立；即不成立，②不成立；‎ 方案四：如果②③④，则①；‎ 证明：由②得，得，即；‎ 由④，且，得；‎ 由③或，不妨取，代入，‎ 即，得，；‎ 从而得，，①成立；‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形知识的应用，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，考查了运算能力和转化能力及思维推理能力，属于中档题.‎ ‎18.已知数列为“二阶等差数列”，即当时，数列为等差数列，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的最大值 ‎【答案】（1）；（2）157‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据定义求出，，从而可得公差，再得后可得通项；‎ ‎（2）由采取累加法可求得，结合二次函数性质可得最大值．‎ ‎【详解】（1）由定义知：，，，；‎ 得，；‎ 设数列的公差为d，，‎ 即得，，‎ 数列的通项公式为；‎ ‎（2）由于：，，，，…，，‎ 累加可得：‎ ‎，‎ 由于二次函数在时取得最大值，‎ 所以数列得最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查数列新定义“二阶等差数列”，解题关键是理解新定义，问题转化为等差数列是解题关键．‎ ‎19.新生儿某疾病要接种三次疫苗免疫（即0、1、6月龄），假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等为了解新生儿该疾病疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，现进行了两种接种方案的临床试验：10μg/次剂量组与20μg/次剂量组，试验结果如下：‎ 接种成功 接种不成功 总计（人）‎ ‎10μg/次剂量组 ‎900‎ ‎100‎ ‎1000‎ ‎20μg/次剂量组 ‎973‎ ‎27‎ ‎1000‎ 总计（人）‎ ‎1873‎ ‎127‎ ‎2000‎ ‎（1）根据数据说明哪种方案接种效果好？并判断能否有99.9%的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关？‎ ‎（2）以频率代替概率，若选用接种效果好的方案，参与该试验的1000人的成功人数比此剂量只接种一次的成功人数平均提高多少人.‎ 参考公式：，其中 参考附表：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）方案20μg/次剂量组接种效果好，有99.9%的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关；（2）273人 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）比较两种方案的成功人数可得，按公式计算得结论；‎ ‎（2）按题意成功人数是人，假设接种一次成功概率为，由独立重复试验的概率公式可计算出，设参与试验的1000人此剂量只接种一次成功的人数为X，显然，计算出期望即平均人数后可得提高的人数．‎ ‎【详解】（1）由于两种接种方案都是1000人接受临床试验，接种成功人数10μg/次剂量组900人，20μg/次剂量组973人，973>900，所以方案20μg/次剂量组接种效果好； ‎ 由公式 ‎ ‎ 所以有99.9%的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关 ‎（2）假设20μg/次剂量组临床试验接种一次成功的概率为p，‎ 由数据，三次接种成功的概率为，不成功的概率为，‎ 由于三次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等，‎ 所以，得，‎ 设参与试验的1000人此剂量只接种一次成功的人数为X，‎ 显然，‎ 参与试验的1000人此剂量只接种一次成功的人数平均为700人，‎ 且973-700=273，‎ 所以选用20μg/次剂量组方案，参与该试验的1000人比此剂量只接种一次成功人数平均提高273人.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验，考查独立重复试验的概率，考查二项分布及其期望，按所给数据计算是解题的基本方法．本题考查学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．‎ ‎20.在四棱柱中，已知底面为等腰梯形，，，M，N分别是棱，的中点 ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）若平面，且，求经过点A，M，N的平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点P，连结，证得，利用线平行的判定定理，即可证得直线平面；‎ ‎（2）以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）取的中点P，连结，，所以，且，‎ 所以，且，所以是平行四边形，所以，‎ 因为平面，所以直线平面.‎ ‎（2）连结，‎ 由己知可得，，所以为等边三角形，‎ 所以，，所以，‎ 即，所以，‎ 分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，， 所以，，‎ 可得，，，.‎ 设平面的法向量为，所以，即，取，解得，所以， ‎ 设平面的一个法向量为，，即，‎ 取，可得 ，所以，‎ 设平面与平面所成二面角的大小为，‎ 所以，则 所以平面与平面所成二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎21.已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率是，P为椭圆上的动点.当取最大值时，的面积是 ‎（1）求椭圆的方程：‎ ‎（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由 ‎【答案】（1）；（2）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据余弦定理和基本不等式确定点P为椭圆短轴端点时，取最大值，再根据三角形面积及，求得，，，即可得到答案；‎ ‎（2）对直线的斜率分存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线的方程为 ‎，，，利用向量数量积的坐标运算及韦达定理可得，即可得到答案；‎ ‎【详解】（1）依题意可得，‎ 设，由余弦定理可知：，‎ 所以，‎ 当且仅当（即P为椭圆短轴端点）时等号成立，且取最大值；‎ 此时的面积是，‎ 同时，联立和 解得，，，‎ 所以椭圆方程为.‎ ‎（2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，‎ 所以，，此时，‎ 当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，‎ 原点O到直线1的距离为d，所以，‎ 整理得，‎ 由，可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， ，恒成立，‎ 即恒成立 ，‎ 所以，所以，‎ 所以定圆C的方程是 所以当时 ， 存在定圆C始终与直线l相切 ，‎ 其方程是.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、离心率的概念、圆的方程求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对直线的斜率分存在不和存在两种情况的讨论.‎ ‎22.已知函数 ‎（1）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）当，（）时，求证：；‎ ‎（3）若函数有两个极值点，，求证：（e为自然对数的底数）‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意可知在上恒成立，通过参变分离可知 恒成立，结合导数可求出的最大值，从而可求出实数a的取值范围.‎ ‎(2)由(1)可知，从而可知，结合累加法可知，进而可证出.‎ ‎(3)由题意可知有两个相异实根，，进而可知，结合导数证明在成立，从而可知，进而可知.‎ ‎【详解】解：(1)，若函数在区间上单调递减，‎ 则在上恒成立，即在上恒成立，‎ 即区间上恒成立，所以.‎ 令，则，‎ 因为，所以，所以，在上单调递减，‎ 所以，故，所以实数a的取值范围a.‎ ‎(2)由(1)可知，当时，函数在区间上单调递减，‎ 所以，当时，，则当时有，‎ 即.因为当时，所以时，‎ ‎，，‎ ‎，……，，‎ 所以 ‎，‎ 即，所以.‎ ‎(3)若函数有两个极值点，，不妨设，‎ 即有两个相异实根，，且.‎ 从而有，将上两式相加得：.‎ 将上两式相减得：，从而，‎ 即，即得，‎ 要证明，也就是证明，即，‎ 也就是证明，令，只需证明，‎ 由，知，因此只需证明 令，则，‎ 所以在区间上单调递增，又因为，‎ 因此在区间上恒成立.‎ 所以，当时，成立，所以有成立，从而.‎ ‎【点睛】本题考查了结合导数由函数的单调性求参数的取值范围，考查了结合导数求函数的最值，考查了结合导数证明不等式成立.本题较难，本题的难点在于将不等式的证明转化为求函数的最值.‎