2021高考数学一轮复习课后限时集训60圆锥曲线中的证明探索性问题理北师大版

2021高考数学一轮复习课后限时集训60圆锥曲线中的证明探索性问题理北师大版

课后限时集训60‎ 圆锥曲线中的证明、探索性问题 建议用时：45分钟 ‎1．(2019·长沙模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F‎1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎[解]　(1)根据题意，设F1，F2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)，由题意可得 ‎ 解得a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3，‎ 故椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)假设存在斜率为－1的直线l，设为y＝－x＋m，‎ 由(1)知F1，F2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，‎ 所以以线段F‎1F2为直径的圆为x2＋y2＝1，‎ 由题意知圆心(0,0)到直线l的距离d＝<1，‎ 得|m|<.‎ ‎|AB|＝2＝2＝×，‎ 联立得 消去y，得7x2－8mx＋‎4m2‎－12＝0，‎ 由题意得Δ＝(－‎8m)2－4×7(‎4m2‎－12)＝336－‎48m2‎＝48(7－m2)>0，解得m2<7.‎ 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎|CD|＝|x1－x2|＝× ‎＝×＝×＝|AB|‎ ‎＝××，解得m2＝<7，得m＝±.‎ 即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±.‎ ‎2．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C 3‎ 的两条切线，切点分别为A，B.‎ ‎(1)证明：直线AB过定点；‎ ‎(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．‎ ‎[解]　(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.‎ 由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.‎ 整理得2tx1－2y1＋1＝0.‎ 设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.‎ 故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.‎ 所以直线AB过定点.‎ ‎(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.‎ 由 可得x2－2tx－1＝0.‎ 于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，‎ ‎|AB|＝|x1－x2|＝×＝2(t2＋1)．‎ 设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝，d2＝.‎ 因此，四边形ADBE的面积S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).‎ 设M为线段AB的中点，则M.‎ 由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.‎ 解得t＝0或t＝±1.‎ 当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.‎ 因此，四边形ADBE的面积为3或4.‎ ‎3．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(－2,0)，B(2,0)，C三点．‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝k(x－1)(k≠0)与椭圆E交于M，N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x＝4上．‎ 3‎ ‎[解]　(1)设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，‎ 将A(－2,0)，B(2,0)，C代入椭圆E的方程，得 解得 ‎∴椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：将直线l：y＝k(x－1)代入椭圆方程＋＝1并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.‎ 设直线l与椭圆E的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 消去k2，得2x1x2＝5(x1＋x2)－8.‎ 直线AM的方程为y＝(x＋2)，即y＝(x＋2)．‎ 直线BN的方程为y＝(x－2)，即y＝(x－2)．‎ 由直线AM与直线BN的方程消去y，得 x＝＝＝4.‎ ‎∴直线AM与直线BN的交点在直线x＝4上．‎ 3‎