2017-2018学年湖南省醴陵市第二中学高二上学期第三次月考数学理试题（解析版）

2017-2018学年湖南省醴陵市第二中学高二上学期第三次月考数学理试题（解析版）

‎2017-2018学年湖南省醴陵市第二中学高二上学期第三次月考数学理试题（解析版）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) ‎ ‎1. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有 ( )‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 ‎【答案】C ‎【解析】抛物线 的焦点为，当过点的直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，与抛物线 只有一个公共点；当过的直线的斜率等于时，直线的方程，与抛物线 只有一个公共点；当过点的直线的斜率存在且不为零时，设斜率为，那么直线方程为，即，代入抛物线方程可得，由判别式等于可得，此时，直线与抛物线有一个公共点，所以，满足条件的直线共有条，故选C.‎ ‎2. 实轴长为，虚轴长为的双曲线的标准方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，，焦点在轴时，双曲线的标准方程是，焦点在轴时，标准方程为，故选D.‎ 考点：双曲线的标准方程 ‎3. 在以下命题中，不正确的个数为(　　)‎ ‎①是共线的充要条件；‎ ‎②若，则存在唯一的实数，使； ‎ ‎③对于空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面；‎ ‎④.‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】D ‎4. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的(　　)‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由得：，因为焦点在轴上，所以，解得：，反之，当时，表示焦点在轴上的椭圆，所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件，故选C．‎ 考点：充分条件、必要条件．‎ ‎5. 若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），‎ 故选D.‎ 考点：双曲线的简单性质 ‎【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线共渐近线的可设为；（2）若渐近线方程为，则可设为；（3） 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；（4）的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.‎ 视频 ‎6. 设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于两点，则(　　)‎ A. B. 6 C. 12 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，‎ ‎，选C．‎ 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．‎ 视频 ‎7. 在空间直角坐标系中,正方体棱长为为正方体的棱的中点,为棱上的一点,且则点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由正方体的性质可得，设，则，因为，‎ ‎，解得，则点的坐标为，故选C.‎ ‎8. 双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为(　　)‎ A. 1 B. 4 C. 8 D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线焦点F(m,0)为双曲线的一个焦点，‎ ‎∴m＋n＝m2.又双曲线离心率为2，‎ ‎∴1＋＝4，即n＝3m.‎ 所以4m＝m2，可得m＝4，n＝12.‎ ‎9. 已知椭圆的左、右焦点为离心率为，过的直线交于两点.若的周长为，则的方程为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：若△AF1B的周长为4可知，所以方程为 考点：椭圆方程及性质 视频 ‎10. 已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点．若，则|(　　)‎ A. B. 3 C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，‎ ‎∵，‎ ‎∴|PQ|=3d，‎ ‎∴直线PF的斜率为-2，‎ ‎∵F（2，0），‎ ‎∴直线PF的方程为y=-2（x-2），‎ 与y2=8x联立可得x=1，‎ ‎∴|QF|=d=1+2=3‎ 考点：抛物线的简单性质 ‎11. 已知平行六面体中，底面是边长为的正方形， ，则异面直线与所成角的余弦值(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设，则平行六面体，底面是边长为的正方形，， ，， ，，异面直线与所成角的余弦值为，故选C.‎ ‎12. 已知椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 椭圆的左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于两点，‎ 两点关于轴对称，可设四边形是菱形，，将代入抛物线方程，得，，再代入椭圆方程，得，化简整理，得，解之得不合题意，舍去），故答案为.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查抛物线的方程及椭圆的几何性质与离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据点在椭圆上可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出之间的关系，求出离心率．‎ 二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 抛物线的准线方程为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：将化成，所以准线方程为.‎ 考点：抛物线的标准方程.‎ ‎14. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为双曲线渐近线方程为，所以可设双曲线方程，代入点，可得，双曲线的标准方程是，故答案为.‎ ‎15. 设是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的准线是，到的距离等于到焦点的距离，故点到点的距离与到的距离之和等于 ，即点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)‎ 将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.‎ ‎16. 已知向量，若，则与的夹角为______________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设向量 ，‎ ‎，，设与的夹角为，，，故答案为.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若该双曲线与椭圆有共同的焦点．求该双曲线的渐近线方程．‎ ‎【答案】（1） ；（2） .‎ 试题解析：（1）双曲线方程为，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ ‎（2）椭圆焦点，∵双曲线的，，‎ ‎∴，解得或．‎ 当时，，，渐近线方程：，‎ 当时，，，渐近线方程：．‎ 考点：双曲线及其性质．‎ ‎18. 是否存在同时满足下列两条件的直线.‎ ‎（1）与抛物线有两个不同的交点和；‎ ‎（2）线段被直线垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线的方程．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：假设存在满足条件的直线l，，可设, 联立 , 得，设，，其中点,根据韦达定理求出的中点的坐标，代入直线方程求得，进而求得直线的方程.‎ 试题解析：假设存在满足条件的直线l，可设, 联解 , 得设，，其中点,‎ ‎ 由△＞0得 且，,‎ ‎ ∴ , 而, 故 ，解得 ,‎ ‎ ∴存在这样的直线l，方程为.‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，分别是的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由题意可证得，，则平面，由线面垂直的性质有，由三角形中位线的性质可得，则 ‎(Ⅱ)（方法一）为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，计算可得 平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎（方法二）由等体积法可得点到平面的距离，据此可得与平面所成角的正弦值为.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为底面，平面，所以 又因为正方形中，，‎ 所以平面 又因为平面，所以 因为分别是、的中点，所以 所以 ‎（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）可知，，，两两垂直，以为轴，以为轴，以为轴，设，‎ ‎，，，，‎ ‎，，‎ 设平面的一个法向量，‎ ‎，解得 设直线与平面所成角为，则 ‎（方法二）设点到平面的距离为 等体积法求出 设直线与平面所成角为，‎ ‎20. 已知椭圆的离心率为,点在上.‎ ‎(1)求的方程；‎ ‎(2)直线不经过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由求得,由此可得C的方程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是 .‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）由题意有解得,所以椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线,,把代入得 故于是直线OM的斜率即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.‎ 考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.‎ 视频 ‎21. 如图,在四棱锥中,平面平面 ， 为的中点. ‎ ‎（1）证明:‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用等腰三角形三线合一证得 ，再根据面面垂直性质定理证得 ‎ ，从而证得；（2）可以为原点建立空间直角坐标系，求得 平面的法向量和平面的法向量，从而求得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）联结因为 为的中点,‎ 所以又平面平面交线为 平面所以又 所以 ‎（2）取线段的中点 因为所以由（1）知, 故可以为原点, 射线分别为的正半轴建立空间直角坐标系则 于是 设平面的一个法向量为由得 令得 设平面的法向量为由得 令得 所以易知二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为 ‎22. 已知椭圆的右焦点为左顶点为 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的）两点.试判断直线与轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知得 椭圆的方程为 ‎（2）①当直线与轴垂直时 的方程为联立直线与轴的交点为②当直线不垂直于轴时设直线的方程为联立且 即由题意知 或 ‎ 直线与轴的交点为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得 ‎ 所以椭圆的方程为 ‎（2）①当直线与轴垂直时,直线的方程为 联立得解得 此时直线的方程为直线与轴的交点为 ‎②当直线不垂直于轴时,设直线的方程为 联立得 设则 且即 而由题意知,‎ 即 解得或 当时,满足直线的方程为此时与轴的交点为故直线与轴的交点是定点,坐标为 ‎【点睛】‎ 本题的几个关键难点有：‎ 利用分类讨论思想确立解题总体思路,即：①直线与轴垂直，②当直线不垂直于轴；‎ 利用舍而不求法，结合韦达定理将问题转化为；‎ 较为繁杂的计算量.‎