【数学】2020届一轮复习人教B版离散型随机变量及其分布列（理）学案

【数学】2020届一轮复习人教B版离散型随机变量及其分布列（理）学案

‎ 离散型随机变量及其分布列 ‎ ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1．了解离散型随机变量的概念．‎ ‎ 2．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．‎ ‎ 3．掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单问题．‎ ‎4. 理解两个特殊的分布列：“两点分布”和“超几何分布”。‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、随机变量和离散型随机变量 ‎1. “随机试验”的概念 一般地，一个试验如果满足下列条件：‎ a．试验可以在相同的情形下重复进行．‎ B．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．‎ c．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．‎ 这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．‎ ‎2．随机变量的定义 一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．‎ 通常用大写拉丁字母X，Y，Z（或小写希腊字母ξ，η，ζ）等表示。‎ 要点诠释:‎ ‎（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的。‎ 例如，任意掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上这两种结果，虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但仍可以用数量来表示它，比如，我们用ξ来表示这个随机试验中出现正面向上的次数，则ξ=0，表示试验结果为反面向上，ξ=1，表示试验结果为正面向上。‎ ‎（2）随机变量实质是将随机试验的结果数量化 。‎ ‎3．离散型随机变量的定义 如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。‎ 离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….‎ ‎4. 随机变量的分类 随机变量有以下两种：‎ (1) 离散型随机变量:‎ (2) 连续型随机变量: 如果随机变量可以取其一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量．‎ 要点诠释:‎ 离散型随机变量和连续型随机变量的区别：‎ 离散型随机变量，它所可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出.‎ 连续性随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举．‎ 例如，抛掷一枚骰子，可能出现的点数就是一个离散型随机变量；某人早晨在出租车站等出租车的时间（单位：秒）就不是一个离散型随机变量．‎ ‎5. 若是随机变量，其中a,b是常数，则也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。‎ 要点二、离散性随机变量的分布列 1. 分布列定义：‎ 设离散型随机变量所有可能取得的值为x1,x2,…,x3,…xn,若取每一个值xi(i=1,2,…，n)的概率为，则称表 x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P P1‎ P2‎ ‎…‎ Pi ‎…‎ Pn 为随机变量的概率分布，简称的分布列. ‎ 要点诠释：‎ 离散型随机变量的分布列，不仅清楚地反映离散型随机变量所取的一切可能的值，而且能清楚地看到每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况，是进一步研究离散型随机试验的数量特征的基础。‎ ‎2.分布列的性质 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：‎ ‎（1）Pi≥0,i=1,2，…，n；‎ ‎（2）P1+P2+…+Pn=1‎ 要点诠释：‎ ‎1. 离散型随机变量分布列的两条性质是检验某事件的概率或者一个分布列是否正确的重要依据。‎ ‎2. 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即 ‎3. 离散型随机变量函数及其分布列 一般地，若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f(ξ)也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量。‎ 已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量函数的分布列：‎ ‎①ξ与η一一对应时，ξ的每个取值的概率就对应着η的每个取值的概率；‎ ‎②如果ξ有多个取值对应一个η的值，那么这个η值的概率就是这多个ξ值的概率的和。‎ 要点诠释：‎ 已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量函数的分布列，关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η所取的值。‎ 要点三、离散性随机变量的分布列的求法 ‎1.求随机变量的概率分布有以下几步：‎ ‎（1）要确定随机变量的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；‎ ‎（2）分清概率类型，计算取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样）；‎ ‎（3）列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证.‎ 要点诠释：‎ 随机变量的概率分布的求解要注意以下几点：‎ ‎①搞清楚随机变量每个取值对应的基本随机事件；‎ ‎②计算必须准确无误；‎ ‎③注意运用概率分布的两条性质检验所求的概率分布是否正确．‎ ‎2.常见的分布列的求法：‎ (1) 取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有化归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.‎ (2) 对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解.‎ ‎ 要点四、两类特殊的分布列 ‎1. 两点分布 ‎ 随机变量 X 的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ P 像上面这样的分布列称为两点分布列．‎ 要点诠释：‎ ‎(1)若随机变量X的分布列为两点分布, 则称X服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.‎ ‎(2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 ‎ (3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；‎ 投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究.‎ ‎2. 超几何分布 一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则则事件 {X=k｝发生的概 率为, 其中，且．‎ ‎0‎ ‎1‎ 称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布 ‎【典型例题】‎ 类型一、随机变量和离散型随机变量的判断 例1. 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．‎ ‎ （1）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，每次取到的红球不放回，直到取出的球是白球为止所需要的取球次数；‎ ‎ （2）从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．‎ ‎ 【思路点拨】 要根据随机变量的定义考虑所有情况．‎ ‎ 【解析】 ‎ ‎（1）设所需的取球次数为x，则x=1，2，3，4，…，10，11，‎ ‎ X=i表示前（i－1）次取到红球，第i次取到白球，这里i=1，2，…，11．‎ ‎（2）设所取卡片的数字之和为ξ，则ξ可取3，4，…，11，其中：‎ ‎ {ξ=3}表示取出标有1，2的两张卡片；‎ ‎ {ξ=4}表示取出标有1，3的两张卡片；‎ ‎ {ξ=5}表示取出标有1，4或2，3的两张卡片；‎ ‎ {ξ=6}表示取出标有1，5或2，4的两张卡片；‎ ‎ {ξ=7}表示取出标有1，6或2，5或3，4的两张卡片：‎ ‎ {ξ=8}表示取出标有2，6或3，5的两张卡片；‎ ‎ {ξ=9}表示取出标有3，6或4，5的两张卡片；‎ ‎ {ξ=10}表示取出标有4，6的两张卡片；‎ ‎ {ξ=11}表示取出标有5，6的两张卡片．‎ ‎ 【总结升华】 随机变量并不一定要取整数值，它的取值一般来源于实际问题，且有特定的含义，因此，可以是R中的任意值．但这并不意味着可以取任何值，它只能取分布列中的值。且随机变量取某值时，其所表示的某一试验发生的概率必须符合p1+p2+p3+…+pn=1．‎ ‎ ‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】抛掷一枚均匀硬币一次，随机变量可为（ ）‎ A．抛掷硬币的次数 B．出现正面向上的次数 C．出现正面向上或反面向上的次数 D．出现正面向上与反面向上的次数之和 ‎【答案】B 。因为A、C、D中所指的量均非变量，根据随机变量定义，故选B.‎ ‎【变式2】在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X，则“X=3”表示的试验结果为________。‎ ‎【答案】前两次均取到正品，第三次取到次品。‎ ‎【变式3】甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”。用X表示需要比赛的局数，写出“X=6”时表示的试验结果。‎ ‎【答案】“X=6”表示：甲在前5局比赛中胜了3局并胜第6局，或乙在前5局比赛中胜了3局并胜第6局。‎ 类型二、求离散型随机变量的分布列 ‎【高清课堂：离散型随机变量及其分布列408405 例题3】‎ ‎ 例2.掷两颗骰子，设掷得点数和为随机变量ξ：‎ ‎（1）求ξ的分布列；‎ ‎（2）求P（3＜ξ＜7）。‎ ‎【思路点拨】要根据随机变量的定义考虑所有情况．‎ ‎【解析】（1）用数轴表示出掷骰子的所有结果如图所示 ‎∴ξ的取值为2，3，4，…，10，11，12。‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎。‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ P ‎（2）。‎ ‎【总结升华】确定随机变量的可能取值和每一个可能取值的概率是求概率分布列的关键，本题求概率采用的是古典概型中的列举法 举一反三：‎ ‎【变式】将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数X的分布列。‎ ‎【答案】将一颗骰子连掷两次共出现6×6=36种等可能基本事件，‎ 其最大点数X可能取的值为1，2，3，4，5，6。‎ 设（x，y）表示第一枚骰子点数为x，第二枚骰子点数为y。‎ 当X=1时包含一个基本事件：（1，1），∴，‎ 当X=2时包含三个基本事件：（1，2），（2，1），（2，2），∴，‎ 同理可求，，，，‎ ‎∴X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P 例3．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列 ‎ 【思路点拨】因为在编号为1，2，3，4，5的球中，同时取3只，所以小号码可能是1或2或3，即ξ可以取1，2，3‎ ‎【解析】随机变量ξ的可能取值为1，2，3‎ 当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有P（ξ=1）===；‎ 当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，故有P（ξ=2）==；‎ 当ξ=3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其他两只球只能在编号为4，5的两只球中任取两只，故有P（ξ=3）==‎ 因此，ξ的分布列如下表所示：‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎【总结升华】求随机变量的分布列，重要的基础是概率的计算，如古典概率、互斥事件的概率，本题中基本事件总数，即n=C，取每一个球的概率都属古典概率（等可能性事件的概率）‎ 举一反三：‎ ‎【变式】一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．‎ ‎【答案】设黄球的个数为n，由题意知 ‎　　绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中的总数为7n．‎ ‎ 　∴　，，．‎ ‎　　　　所以从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ P 例4. ‎ 一批零件中有九个合格品，三个废品．安装机器时，从这批零件中随机抽取，取出的是废品则不放回，求在第一次取到合格品之前取到废品数ξ的分布列．‎ ‎【思路点拨】因为是不放回抽样，所以随机变量ξ可以只可能取0，1，2，3。‎ ‎【答案】由题意知ξ可知0，1，2，3，则 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎。‎ ξ的分布列如下：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎【总结升华】不放回地抽取，ξ可能的取值为有限的数值，然后分别求出相应的概率即可． ‎ 举一反三：‎ ‎【变式】‎ 盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的（用过的球即为旧的），从盒中任取3个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，求ξ的分布列 ‎【答案】从盒中任取3个，这3个可能全是旧的，2个旧的1个新的，1个旧的2个新的或全是新的，所以用完放回盒中，盒中旧球个数可能是3个，4个，5个，6个，即ξ可以取3，4，5，6‎ P（ξ=3）==；P（ξ=4）==；‎ P（ξ=5）==；P（ξ=6）==‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P 类型三、离散型随机变量的分布列的性质 例5. （1）随机变量的概率分布规律为（n=1，2，3，4），其中a是常数，则 的值为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎（2）设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q的值。‎ X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎1－2q q2‎ ‎【思路点拨】由离散型随机变量的性质解题。‎ ‎【解析】 （1）因为（n=1，2，3，4），所以，所以，因为。故选D。‎ ‎（2）离散型随机变量的分布列满足①0≤pi≤1，i=1，2，3，…，n。‎ ‎②p1+p2+p3+…+pn=1。所以，解得。‎ ‎【总结升华】离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：‎ ‎（1）pi≥0,i=1,2…，n；‎ ‎（2）p1+p2+…+pn=1‎ 举一反三：‎ ‎【高清课堂：离散型随机变量及其分布列408405 例题1】‎ ‎【变式1】设离散型随机变量X的概率分布如下：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 则p的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 由离散型随机变量分布列的性质，知P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=1，‎ 所以。‎ 由分布列性质，有a+2a+3a+4a+5a=1，解得。‎ ‎【变式2】某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：‎ ξ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.02‎ ‎0.04‎ ‎0.06‎ ‎0.09‎ ‎0.28‎ ‎0.29‎ ‎0.22‎ 求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．‎ ‎　　【答案】‎ ‎ “射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“=7”，“=8”，“=9”，“=10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，有：‎ P（≥7）=P（=7）+P（=8）+P（=9）+P（=10）=0.88 ‎ ‎【变式3】（2015春 资阳期末）设随机变量X的概率分布列为 ‎ ‎ 则（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 根据概率分布的定义得出：。得，‎ 随机变量X的概率分布列为 ‎ ‎ ‎∴‎ 类型四、两类特殊的分布列 例6． 一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球。‎ ‎（1）从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即，求X的分布列；‎ ‎（2）从中任意摸出两个球，用“X=0”表示两个球全是白球，用“X=1”表示两个球不全是白球，求X的分布列。‎ ‎【思路点拨】 （1）从任意摸一球，只有两种结果，或是红球，或不是红球（即白球），符合两点分布。（2）从中任意摸两个球，要么“全是白球”，要么“不全是白球”，只有这两种结果，故符合两点分布。‎ ‎【解析】 ‎ ‎ （1）X的分布列如下表：‎ X ‎0‎ ‎1‎ P ‎（2）X的分布列如下表：‎ X ‎0‎ ‎1‎ P ‎【总结升华】 ‎ ‎（1）两点分布是一种常见的分布，它的特点是：X的取值只有两种可能；‎ ‎（2）列两点分布列时要注意：保证其概率和为1。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】若离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎9C2－C ‎3－8C 试求常数C。‎ ‎【答案】由离散型随机变量的分布列性质有：‎ P(X=0)+P(X=1)=1，即9C2－9C+2=0，得或 又∵（），‎ ‎∴应满足，解得，‎ ‎∴。‎ 例7. （2015春 金台区期末）某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数，‎ ‎ （1）请列出X的分布列；‎ ‎（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率。‎ ‎【答案】（1）略（2） ‎ ‎【思路点拨】（1）本题是一个超几何分布，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4。结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望。‎ ‎ （2）选出的4人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有4人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果。‎ ‎【解析】（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，‎ 随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4。‎ ‎，k=0，1，2，3，4。‎ ‎∴所以X的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎（2）由分布列可知至少选3名男生，‎ 即。‎ ‎【总结升华】本题主要是体现了超几何分布的概念及其在实际中的应用.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】鱼塘中只有80条鲤鱼和20条草鱼，每条鱼被打捞的可能性相同.捞鱼者一网打捞上来4条鱼，计算：‎ ‎（1）其中有1条鲤鱼的概率；‎ ‎（2）其中有2条鲤鱼的概率；‎ ‎（3）其中有3条鲤鱼的概率；‎ ‎（4）4条都是鲤鱼的概率；‎ ‎【答案】‎ 从100条鱼中打捞上来4条鱼，有中不同的等可能结果，这是元素的总数.用表示被打捞的4条鱼中的鲤鱼数.因为每条鱼被打捞的可能性相同，所以服从超几何分布.即.‎ ‎（1）.‎ ‎（2）.‎ ‎（3）.‎ ‎（4）.‎ ‎【变式2】在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求：‎ ‎ (1)取到的次品数X 的分布列；‎ ‎（2）至少取到1件次品的概率．‎ ‎【答案】 (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为，从100 件产品中任取3件，‎ 其中恰有k 件次品的结果数为，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为 ‎。‎ 所以随机变量 X 的分布列是 ‎ ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎(2)根据随机变量X 的分布列，可得至少取到 1 件次品的概率 ‎ P ( X≥1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) ‎ ‎≈0.138 06 + 0. 005 88 + 0. 00006 ‎ ‎= 0. 144 00 . ‎ 类型五、离散型随机变量函数及其分布列 例8．已知随机变量的分布列如下：‎ ξ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 分别求出随机变量，的分布列。‎ ‎【思路点拨】先分析随机变量函数的取值范围，再列出分布列。，都是关于ξ的函数，而函数关系可先用表格的形式表示出来，然后再写出分布列。在所得到的分布列中，，的可能取值无重复出现，从而得到第二行的概率和为1。‎ ‎【解析】列出一个表格（不是分布列，而是一张预备表）：‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ P ‎∴的分布列为：‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ P ‎【总结升华】已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量函数的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η所取的值，ξ与η一一对应时，ξ的每个取值的概率就对应着η的每个取值的概率，如果ξ有多个取值对应一个η的值，那么这个η值的概率就是这多个ξ值的概率的和。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超过4 km，则按10元的标准收出租车费，若行驶路程超过4 km，则按每超出1 km加收2元计费（超出不足1 km的部分按1 km计）。从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km，某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程（这个城市规定，每停车5分钟按1 km路程计费），这个司机一次接送旅额的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费y也是一个随机变量。‎ ‎（1）求租车费y关于行车路程ξ的关系式；‎ ‎（2）已知某旅客实付租车费38元，而出租车实际行驶了15 km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？‎ ‎【答案】‎ ‎（1）依题意，得：‎ 当ξ≤4时，y=10；‎ 当ξ≥4时，y=2(ξ－4)+10，即y=2ξ+2。‎ ‎（2）由38=2ξ+2，得ξ=18，5×(18－15)=15。‎ 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟。‎