2018-2019学年广西南宁市第三中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版
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广西南宁市第三中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．设集合则=
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}．
B＝{x|x2－1<0}＝{x|－1
0}∪{x|－1－1}，故选C．
2．若a，b都是实数，则“>0”是“a2－b2>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由“>0”判断的取值范围，再由“a2－b2>0”计算的取值范围，比较两个命题所对应范围的大小，就可以得出答案。
【详解】
由>0得a>b≥0，由a2－b2>0得a2>b2，即|a|＞|b|，所以“>0”是 “a2－b2>0”的充分不必要条件．
故选:A
【点睛】
本题是一道逻辑题，主要考察了充分不必要条件的判断方法，属于基础题。
3．若a＞b，则下列不等式中成立的是( )
A．＜ B．a3＞b3 C．a2＞b2 D．a＞|b|
【答案】B
【解析】
∵函数在上单调递增，∴若，则．故选．
4．若实数满足，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】
，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.
考点：基本不等式
【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
5．下列函数中，最小值为4的是( )
A．y＝x＋ B．y＝sinx＋(00)，若不等式f(x)≥6的解集为(－∞，－2]∪[4，＋∞)，则a的值为__________．
【答案】3
【解析】
试题分析：∵a＞0，故f（x）=|x+1|+|x-a|=，
∴当x≤-1时，解-2x+a-1≥6得：x≤；
当-1＜x＜a时，f（x）=1+a；
当x≥a时，解2x+1-a≥6得：x≥；
又f（x）≥6的解集为（-∞，-2]∪[4，+∞），
∴=-2且=4且1+a∈[4，+∞），解得a=3．故应填入：3．
考点：绝对值不等式的解法．
16．已知直线过点，与轴的正半轴相交于两点，三角形（为坐标原点）的内切圆半径的最大值为.
【答案】1
【解析】
【分析】
与两坐标轴都相切的圆可以设为：，由过圆上一定的切线方程公式，可以写出切线方程，将点代入直线，据柯西不等式，可以得出答案。
【详解】
设直线l与x轴、y轴的正半轴分别相交于则
作的内切圆，与切于点，圆C的半径为，设圆的方程为，直线与圆相切于点，
则又直线过点，
∴由柯西不等式：
即 即解得：或
所以三角形的内切圆半径的最大值为1
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查了柯西不等式，以及圆上一点的切线方程公式，属于中档题。
评卷人
得分
三、解答题
17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行．
(1)求A；
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由向量的平行关系可以得到,再由正弦定理可以解出答案。
（2）由（1）的答案，再根据余弦定理可以求得，根据面积公式算出答案。
【详解】
(1)因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，
由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，
又sinB≠0，从而tanA＝，由于0＜A＜π，所以A＝.
(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，
所以7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，
故△ABC的面积为S＝bcsinA＝.
【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于简单题。
18．国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地，目前德国汉堡，美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出，某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：
支持
不支持
合计
年龄不大于50岁
80
年龄大于50岁
10
合计
70
100
（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；
（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关？
（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率.
附： ， ，
0.100
0.050
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】（1）见解析；（2）不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据表中的合计人数，就可以得出答案。
（2）由表中数据，按照公式可以算出的值，可以得出答案。
（3）从5人任意抽3人的所有等可能事件有：共10个，其中至多1位教师，有7个基本事件，所以所求概率是.
【详解】
（1）
支持
不支持
合计
年龄不大于50岁
20
60
80
年龄大于50岁
10
10
20
合计
30
70
100
（2） ，
所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关；
（3）记5人为 ，其中表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：共10个，其中至多1位教师有7个基本事件: ，所以所求概率是.
【点睛】
本题主要考查了独立性检验的计算，以及古典概率，属于基础题。
19．在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）若,求三棱锥F-ABC的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1） 连接OF，证明即可。
（2）由底面，知F到平面ABC的距离为,再由三棱锥体积公式可以算出答案。
【详解】
（1）连接．由是正方形可知,点为中点．又为的中点，所以∥
又平面平面所以∥平面
（2）取BC的中点为H，连结FH，∴，
，
【点睛】
本题主要考查了线面平行，以及三棱锥的体积计算，属于基础题。
20．已知三角形的三个顶点均在椭圆上，为椭圆短轴上端点。
（1）若的重心是右焦点，试求直线的方程；
（2）若，为的中点，试求点的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先设B,C的坐标，由点差法，可以得出直线BC的斜率与直线AF斜率的方程，再由重心坐标公式，就可以解出直线BC的斜率。
（2）设出直线BC的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，将的代数表达用韦达定理代入，即可算出答案。
【详解】
（1）设, 的中点，
∴两式相减： ①
又∵为的重心∴
代入①得：
（2）
∵ ②
设的方程为：
∴
带入②得
∴直线过定点，设为的中点
由于四点共线，所以,即
化简得
【点睛】
本题主要考查了圆锥曲线的综合应用，由联立，韦达定理，几何关系，构造方程，解出答案几个标准步骤完成。属于中档题。
21．已知,其中为自然对数的底数．
（1）若在处的切线的斜率为，求；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）;（2）．
【解析】
试题分析: （1）对函数求导,将代入即可求得斜率,进而求出a值;（2）有两个零点,可转化为有两个方程根,分离可得,构造函数，判断单调性与最值以及极限,画出图象,用y=a截取两个交点求出a的范围即可.
试题解析:（1），，∴．
（2）由，得．记，则，
，，递减；
时，，递增．
∴．
而时，时，
故．
22．已知x，y，z是正实数，且满足.
(1)求的最小值；
(2)求证：.
【答案】（1）6＋2＋2＋2；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由，展开，再用均值不等式可以算出答案。
（2）由，设，据柯西不等式就可以算出答案。
【详解】
(1)∵ x，y，z是正实数，且满足x＋2y＋3z＝1，
∴＋＋＝ (x＋2y＋3z)＝6＋＋＋＋＋＋≥6＋2＋2＋2，
当且仅当＝且＝且＝时取等号．
(2)由柯西不等式可得1＝(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)＝14(x2＋y2＋z2)，
∴x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号．
故x2＋y2＋z2≥
【点睛】
本题主要考查了柯西不等式及其变形，属于基础题。
本题主要考查了求函数的单调区间，以及导数的综合应用，尤其是构造函数，是导数中的难点，属于中档题。
