2017-2018学年广东省汕头市达濠华桥中学、东厦中学高二上学期阶段联考（二）数学（理）试题

2017-2018学年广东省汕头市达濠华桥中学、东厦中学高二上学期阶段联考（二）数学（理）试题

‎2017-2018学年广东省汕头市达濠华桥中学、东厦中学高二上学期阶段联考（二）理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知直线与直线平行，则实数的值为 （ ）‎ A． B． C．2 D．-2‎ ‎3.已知向量，且，则（ ）‎ A．-8 B．-6 C． 6 D．8 ‎ ‎4.如图，空间四边形中，点分别在上，，，则( )‎ A． ‎ B． ‎ C. D．‎ ‎5.已知等差数列前9项的和为27，，则（ ）‎ A．100 B．99 C. 98 D．97‎ 6. 执行下面的程序框图，若输入的分别为 1,2,3，则输出的等于( )‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知是两条不同直线，是三个不同平面，则下列正确的是( )‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C.若，则 D．若，则 ‎8.已知变量满足约束条件，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知，则的值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.2 定义域为的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知两条直线和互相垂直，则等于 ．‎ ‎14.在边长为1的正三角形中，设,则 ．‎ ‎15.已知圆的圆心位于直线上，且圆过两点,则圆的标准方程为 ．‎ ‎16.如图，正方体的棱长为 1，为的中点，为线段上的动点，过点 的平面截该正方体所得的截面记为.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号)．‎ ‎①当时，为四边形；②当时，为等腰梯形；③当时，为六边形；④当时，的面积为.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知平行四边形的三个顶点的坐标为.‎ ‎（Ⅰ）在中，求边中线所在直线方程 ‎（Ⅱ） 求的面积.‎ 18. 设是数列的前项和，已知.‎ （I） 求数列的通项公式；‎ ‎（II）令，求数列的前项和.‎ ‎19.如图，四边形是矩形,是的中点,与交于点平面.‎ ‎(I)求证：面；‎ ‎(II)若,求点到平面距离. ‎ ‎20.已知向量.记.‎ ‎(I)求的最小正周期及单调增区间；‎ ‎ (II)在中，角的对边分别为若，求的值.‎ ‎21. 如图,四棱锥,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形, 为棱上的动点,且.‎ ‎(I)求证：为直角三角形；‎ ‎(II)试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为.‎ 22. 设 (1) 若，求在区间[0,3]上的最大值；‎ (2) 若，写出的单调区间；‎ ‎(3)若存在，使得方程有三个不相等的实数解，求的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1-5: AADBC 6-10: CDDDA 11、12：CB 二、填空题 ‎13.-1 14. 15. 16.①②④‎ 三、解答题 ‎17.【解析】试题解析：(1)设边中点为，则点坐标为 ‎∴直线.‎ ‎∴直线方程为：‎ 即：‎ ‎∴边中线所在直线的方程为：‎ ‎(2)‎ 由得直线的方程为：‎ 到直线的距离 ‎（其它正确答案请酌情给分） 考点：直线的方程 ‎18.解析：(I)解：当时，由，得，‎ 两式相减，得，‎ ‎.‎ 当时，，则.‎ ‎∴数列是以为首项，公比为3的等比数列.‎ ‎.‎ ‎(II)解：由(I)得 ‎， ① ‎ ‎， ②‎ ‎①-②得 ‎.‎ ‎.‎ ‎19.证法1：‎ ‎∵四边形为矩形，,‎ 又∵矩形中，‎ 在中，‎ 在中，‎ ‎，即 平面,平面 又平面 平面 ‎(2)在中，‎ 在中，‎ 在中，‎ 设点到平面的距离为，则 ‎,‎ 证法2;( 坐标法 ）由（1）得两两垂直,以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则,,,‎ ‎,,‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，‎ 取，得 设点与平面的距离为，则 ‎∴直线与平面的距离为.‎ 考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；点面距离 ‎20.【解析】由已知，‎ ‎(I)，‎ 由复合函数的单调性及正弦函数的单调性，‎ 解 得，‎ 所以，函数的单调增区间为.‎ ‎(II)由,得,‎ ‎,‎ ‎,‎ 因为，‎ 根据正弦定理，得，‎ 由余弦定理，有，则，‎ 所以，.‎ ‎【 考 点 定 位 】 本 题 考 查 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 、 三 角 恒 等 变 换 、 三 角 函数的图象与性质、正弦定理、余弦定理等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及应用数学知识解决问题的能力.‎ ‎21.【解析】(I)取中点,连结，依题意可知均为正三角形，所以,‎ 又平面平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，所以,‎ 因为,所以，即,‎ 从而为直角三角形.‎ 说明:利用 平面证明正确,同样满分!‎ ‎(II)[向量法]由(I)可知,又平面平面,平面平面,‎ 平面，所以平面.‎ 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示,则 ‎,‎ 由可得点的坐标 所以,‎ 设平面的法向量为，则,‎ 即解得，‎ 令，得，‎ 显然平面的一个法向量为,‎ 依题意，‎ 解得或（舍去），‎ 所以，当时，二面角的余弦值为.‎ ‎[传统法]由(I)可知平面,所以,‎ 所以为二面角的平面角，‎ 即,‎ 在中，,‎ 所以 ‎，‎ 由正弦定理可得，即 解得，‎ 又,所以,‎ 所以，当时，二面角的余弦值为.‎ ‎22.试题解析：(1)当时，，‎ 在上为增函数，‎ 在[0,3]上为增函数，则.‎ ‎(2)，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎1.当时，，‎ 在为增函数，‎ ‎2.当时，，即，‎ 在为增函数，在为减函数，‎ 则的单调增区间为和 单调减区间 ‎(3)由(2)可知，当时，为增函数，‎ 方程不可能有三个不相等实数根，‎ ‎∵当时，由(2)得，‎ ‎，‎ 即在(2,4]有解，‎ ‎∵由在(2，4]上为增函数，‎ ‎∴当时，的最大值为 则