【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版5-3平面向量的数量积及其应用学案

【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版5-3平面向量的数量积及其应用学案

第三节平面向量的数量积及其应用 ‎1．向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°‎ θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b ‎2.平面向量的数量积 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b.‎ ‎3．向量数量积的运算律 ‎(1)a·b＝b·a.‎ ‎(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．‎ ‎(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎4．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.‎ 结论 几何表示 坐标表示 模 ‎|a|＝ ‎|a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0‎ x1x2＋y1y2＝0‎ ‎|a·b|与|a||b|的关系 ‎|a·b|≤|a||b|‎ ‎|x1x2＋y1y2|≤ ‎[小题体验]‎ ‎1．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ为________．‎ 答案： ‎2．已知向量a＝(－1,3)，b＝(1，t)，若(a－2b)⊥a，则|b|＝________.‎ 解析：因为a＝(－1,3)，b＝(1，t)，所以a－2b＝(－3,3－2t)．因为(a－2b)⊥a，所以(a－2b)·a＝0，即(－1)×(－3)＋3(3－2t)＝0，即t＝2，所以b＝(1,2)，所以|b|＝＝.‎ 答案： ‎3．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.‎ 解析：由b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，得b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e.因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝，所以b1·b2＝3－2×－8＝－6.‎ 答案：－6‎ ‎1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．‎ ‎2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立．‎ ‎3．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.‎ ‎4．在用|a|＝求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方．‎ ‎[小题纠偏]‎ ‎1．给出下列说法：‎ ‎①向量b在向量a方向上的投影是向量；‎ ‎②若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角，若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角；‎ ‎③(a·b)c＝a(b·c)；‎ ‎④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.‎ 其中正确的说法有________个．‎ 答案：0‎ ‎2．已知向量＝，＝，则∠ABC＝________.‎ 解析：因为＝，＝，所以·＝＋＝.所以cos∠ABC＝‎ ＝，又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.‎ 答案：30°‎ ‎3．已知平面向量a与b的夹角为，a＝(1，)，|a－2b|＝2，则|b|＝________.‎ 解析：因为a＝(1，)，所以|a|＝2，又|a－2b|＝2，即|a|2－4a·b＋4|b|2＝12，故22－4×2×|b|×cos ＋4|b|2＝12，化简得|b|2－|b|－2＝0，所以|b|＝2.‎ 答案：2‎ 　 ‎[题组练透]‎ ‎1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝________.‎ 解析：因为a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，‎ 所以(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－3.‎ 答案：－3‎ ‎2．(2018·南京高三年级学情调研)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，＝λ.若·＝－，则实数λ＝________.‎ 解析：因为＝－，＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，·＝2×3×cos 120°＝－3.所以·＝(λ－1)2＋λ2＋(1－2λ)·＝19λ－12＝－，所以λ＝.‎ 答案： ‎3．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.‎ 解析：因为a＝(－2，－6)，‎ 所以|a|＝＝2，‎ 又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，‎ 所以a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2××＝10.‎ 答案：10‎ ‎4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则·＝________.‎ 解析：法一：由题意知，AC＝BC＝2，AB＝2，所以·＝·(＋)＝·＋·＝||·||cos 45°＋||·||cos 45°＝2×2×＋2×1×＝6.‎ 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 由题意得A(0,2)，B(－2,0)，D(－1,0)，所以＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，＝ (－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，所以·＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6.‎ 答案：6‎ ‎[谨记通法]‎ 向量数量积的2种运算方法 方法 运用提示 适用题型 定义法 当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题 坐标法 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2‎ 适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题 　 ‎[锁定考向]‎ 平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为填空题．‎ 常见的命题角度有：‎ ‎(1)平面向量的模；‎ ‎(2)平面向量的夹角；‎ ‎(3)平面向量的垂直．　　　 　‎ ‎[题点全练]‎ 角度一：平面向量的模 ‎1．(2018·苏州高三暑假测试)已知平面向量a＝(2,1)，a·b＝10，若|a＋b|＝5，则|b|＝________.‎ 解析：因为a＝(2,1)，所以|a|＝，又|a＋b|＝5，所以a2＋2a·b＋b2＝50，所以b2＝25，所以|b|＝5.‎ 答案：5‎ 角度二：平面向量的夹角 ‎2．(2018·太湖高级中学检测)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为________．‎ 解析：因为a⊥(a－b)，‎ 所以a·(a－b)＝a2－a·b＝1－cosa，b＝0，‎ 所以cosa，b＝，‎ 所以a，b＝.‎ 答案： ‎3．(2019·启东中学检测)已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围是________．‎ 解析：如图，在△ABC中，设＝β，＝α，‎ 则＝－＝β－α.‎ 因为α与β－α的夹角为120°，所以A＝60°.‎ 由正弦定理得＝，则BA＝sin C．又0＜sin C≤1，‎ 所以0＜BA≤，故α的模的取值范围是.‎ 答案： 角度三：平面向量的垂直 ‎4．在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥.‎ ‎(1)求x与y之间的关系式；‎ ‎(2)若⊥，求四边形ABCD的面积．‎ 解：(1)由题意得＝＋＋＝(x＋4，y－2)，＝(x，y)．‎ 因为∥，所以(x＋4)y－(y－2)x＝0，‎ 即x＋2y＝0.‎ ‎(2)由题意得＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)．‎ 因为⊥，所以(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，‎ 即x2＋y2＋4x－2y－15＝0，‎ 联立 解得或 当时，＝(8,0)，＝(0，－4)，‎ S四边形ABCD＝AC·BD＝16；‎ 当时，＝(0,4)，＝(－8,0)，‎ S四边形ABCD＝AC·BD＝16.‎ 所以四边形ABCD的面积为16.‎ ‎[通法在握]‎ 平面向量数量积求解问题的策略 ‎(1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．‎ ‎(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：‎ ‎①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎②|a±b|＝＝.‎ ‎③若a＝(x，y)，则|a|＝.‎ ‎(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.‎ ‎[演练冲关]‎ ‎1．(2019·海安模拟) 已知平面向量a与b的夹角等于，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝________.‎ 解析：由题意可得a·b＝|a|·|b|cos ＝3，‎ 所以|2a－3b|＝＝＝＝.‎ 答案： ‎2．已知向量a，b满足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝，则向量a，b的夹角为________．‎ 解析： 易知|b|＝1，|a|＝5，‎ 对|a－b|＝两边平方，整理得2a·b＝5，‎ 即2|a||b|cos θ＝5，解得cos θ＝，‎ 则向量a，b的夹角为.‎ 答案： ‎3．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ ＋，且⊥，则实数λ的值为________．‎ 解析：＝－，由于⊥，‎ 所以·＝0，‎ 即(λ＋)·(－)‎ ‎＝－λ2＋2＋(λ－1)· ‎＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2× ‎＝0，解得λ＝.‎ 答案： 　 ‎[典例引领]‎ ‎(2018·启东高三期中)已知向量a＝(sin x,2)，b＝(cos x，1)，函数f(x)＝a·b.‎ ‎(1)若a∥b，求tan的值；‎ ‎(2)求函数y＝f，x∈的最小值和最大值．‎ 解：(1)由a∥b，得sin x＝2cos x．所以tan x＝2.‎ 所以tan＝＝－3.‎ ‎(2)因为f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋2＝sin 2x＋2，‎ 所以y＝f＝sin＋2.‎ 因为x∈，所以2x－∈，‎ 从而－≤sin≤1.‎ 于是，当2x－＝－，即x＝0时，函数y＝f有最小值，‎ 当2x－＝，即x＝时，函数y＝f有最大值.‎ ‎[由题悟法]‎ 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 ‎(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．‎ ‎[即时应用]‎ ‎　已知向量m＝(cos x，－1)，n＝(sin x，cos2x)．‎ ‎(1)当x＝时，求m·n的值；‎ ‎(2)若x∈，且m·n＝－，求cos 2x的值．‎ 解：(1)当x＝时，m＝，n＝，‎ 所以m·n＝－＝.‎ ‎(2)m·n＝cos xsin x－cos2x ‎＝sin 2x－cos 2x－＝sin－.‎ 若m·n＝－，则sin－＝－，‎ 即sin＝.‎ 因为x∈，所以－≤2x－≤，‎ 所以cos＝，‎ 则cos 2x＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝.‎ 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．(2019·海门模拟)向量a＝(3,4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影为________．‎ 解析：∵向量a＝(3,4)，b＝(1，－1)，‎ ‎∴向量a在向量b方向上的投影为 ‎|a|cos θ＝＝＝－.‎ 答案：－ ‎2．(2018·江苏百校联盟联考)已知平面向量a，b的夹角为，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|＝________.‎ 解析：因为a·(a－b)＝8，所以a·a－a·b＝8，‎ 即|a|2－|a||b|cosa，b＝8，‎ 所以4＋2|b|×＝8，解得|b|＝4.‎ 答案：4‎ ‎3．(2018·苏州期末)已知a＝(m,2)，b＝(1，n)，m＞0，n＞0，且|a|＝4，|b|＝2，则向量a与b的夹角是________．‎ 解析：设向量a与b的夹角是θ，θ∈[0，π]，‎ ‎∵a＝(m,2)，b＝(1，n)，m＞0，n＞0，且|a|＝4，|b|＝2，‎ ‎∴m2＋4＝16,1＋n2＝4，解得m＝2，n＝.‎ ‎∴a·b＝m＋2n＝4＝4×2×cos θ，‎ ‎∴cos θ＝，则向量a与b的夹角是.‎ 答案： ‎4．(2018·滨海期末)已知向量a＝(－1,3)，b＝(3，t)，若a⊥b，则|2a＋b|＝________.‎ 解析：∵向量a＝(－1,3)，b＝(3，t)，a⊥b，‎ ‎∴a·b＝－3＋3t＝0，解得t＝1，‎ ‎∴b＝(3,1)，2a＋b＝(1,7)，‎ 故|2a＋b|＝＝5.‎ 答案：5 ‎5．(2018·淮安高三期中)在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ABC＝60°，则·＝________.‎ 解析：由题意得＝＋，所以·＝·(＋)＝2＋·＝4＋2×1×cos 120°＝3.‎ 答案：3‎ ‎6．(2018·南通一调)已知边长为6的正三角形ABC，＝，＝，AD与BE交于点P，则·的值为________．‎ 解析：如图，以D为原点，以BC为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，C(3,0)，D(0,0)，A(0，3)，E(1, 2)，P，所以·＝||2＝2＝.‎ 答案： 二保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．(2018·淮安调研)已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b与b垂直，则|a|＝________.‎ 解析：由已知得2a－b＝(3，x)，而(2a－b)·b＝0⇒－3＋x2＝0⇒x2＝3，‎ 所以|a|＝＝＝2.‎ 答案：2‎ ‎2．(2019·如皋模拟)已知平面向量a与b的夹角为60°， a＝(3,4)，|b|＝1，则|a－2b|＝________.‎ 解析：∵a＝(3,4)，∴|a|＝＝5，‎ 又|b|＝1，∴a·b ＝|a|·|b|cos 60°＝5×1×＝，‎ ‎∴|a－2b|2＝a2＋4b2－4a·b＝25＋4－10＝19，‎ 则|a－2b|＝.‎ 答案： ‎3．(2018·苏北四市期末)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为________．‎ 解析：因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以a2＝b2＝a2＋2a·b＋b2，a·b＝－a2‎ ‎＝－b2，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝a2，|2a－b|＝＝＝ |a|，cos〈a,2a－b〉＝＝＝＝.‎ 答案： ‎4．(2018·泰州中学高三学情调研)矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足PA＝3，PC＝4，矩形对角线AC＝6，则·＝________.‎ 解析：由题意可得·＝(＋)·(＋)＝2＋·＋·＋·＝9＋·(＋)＋0＝9＋·＝9＋3×6×cos(π－∠PAC)＝9－18×＝9－18×＝－.‎ 答案：－ ‎5．(2018·苏锡常镇调研)已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ＝________.‎ 解析：法一：由题意可得·＝2×2cos ＝2，‎ ·＝(＋) ·(－)‎ ‎＝(＋)·[(－)－]‎ ‎＝(＋)·[(λ－1)·－]‎ ‎＝(1－λ)2－·＋(1－λ)·－2‎ ‎＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4‎ ‎＝－6λ＝－3，‎ 所以λ＝.‎ 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则B(2,0)，C(1，)，D(－1，)．‎ 令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.‎ 因为＝λ，所以λ＝.‎ 答案： ‎6．(2018·苏北四市调研)如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若·＝－7，则·＝________.‎ 解析：·＝(－)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2，同理，·＝2－2＝－7，所以·＝2－2＝2－2－7＝9.‎ 答案：9‎ ‎7．(2019·崇川一模)若非零向量a与b满足|a|＝|a ＋b|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的余弦值为________．‎ 解析：∵非零向量a与b满足|a|＝|a＋b|＝2，|b|＝1，‎ ‎∴|a|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b，‎ 即a·b＝－|b|2＝－×12＝－，‎ 设a与b的夹角为θ，‎ 则cos θ＝＝＝－，‎ ‎∴向量a与b夹角的余弦值为－.‎ 答案：－ ‎8．(2018·盐城期中)如图，在四边形ABCD中，A＝，AB＝2，AD＝3，分别延长CB，CD至点E，F，使得＝λ，＝λ，其中λ＞0，若·＝15，则λ的值为________．‎ 解析：∵＝－＝λ－λ＝λ＝λ(－)，‎ ‎∴·＝λ(－)·＝λ(2－·)＝λ(9－3)＝15，‎ ‎∴λ＝.‎ 答案： ‎9．(2019·通州调研)设两个向量a，b不共线．‎ ‎(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)若|a|＝2，|b|＝3，a，b的夹角为60°，求使向量ka＋b与a＋kb垂直的实数k的值．‎ 解：(1)证明：∵＝＋＋ ‎＝(a＋b)＋(2a＋8b)＋3(a－b)‎ ‎＝6(a＋b)＝6，‎ ‎∴与共线，且有公共点A，‎ ‎∴A，B，D三点共线．‎ ‎(2)∵ka＋b与a＋kb垂直，‎ ‎∴(ka＋b)·(a＋kb)＝0，‎ ‎∴ka2＋(k2＋1)|a||b|·cos 60°＋kb2＝0，‎ 即3k2＋13k＋3＝0，‎ 解得k＝.‎ ‎10．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2.‎ ‎(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；‎ ‎(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．‎ 解：(1)因为四边形ABCD是矩形，‎ 所以⊥，即·＝0，‎ 又AB＝9，BC＝6，＝2，‎ 所以＝＋＝＋，‎ ＝＋＝－，‎ 所以·＝· ‎＝2－·－2‎ ‎＝62－×92＝18.‎ ‎(2)设与的夹角为θ，由(1)得，‎ ·＝· ‎＝2－·－2‎ ‎＝62－ ×9×6×cos θ－×92＝6，‎ 所以cos θ＝.‎ 故与夹角的余弦值为.‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．(2018·徐州高三年级期中考试)如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P为上的一点，若·＝2，则·＝________.‎ 解析：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(0,2)，设P(x，y)，由·＝2，可得2x＝2，x＝1，P为A上的一点，所以||＝2，所以P(1，)，＝(1，)，又＝(－2,2)，所以·＝－2＋2.‎ 答案：－2＋2 ‎2．(2018·南通、扬州、泰州、淮安调研)如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若＝3，＝5，则(＋)·(－)的值为________．‎ 解析：法一：因为＝＋，所以＋＝2＋，而－＝，由于⊥，所以· ＝0，所以(＋)·(－)＝(2＋)·＝2·，又因为Q是BC的中点，所以2＝＋，故2· ‎＝(＋)·(－)＝2－2＝9－25＝－16.‎ 法二：由题意得△ABC是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取AB⊥BC，从而P为AC的中点．‎ 又||＝3，||＝5，所以||＝4，cos∠BAC＝，‎ 故＋＝＋(＋)＝＋，‎ 从而(＋)·(－)‎ ‎＝·(－)‎ ‎＝2＋·－2‎ ‎＝×9＋×3×5×－25＝－16.‎ 答案：－16‎ ‎3．(2019·姜堰中学调研)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝.‎ ‎(1)求sin A的值；‎ ‎(2)若a＝4，b＝5，AD⊥BC于D，求·的值．‎ 解：(1) 由m·n＝，得cos(A－B)cos B－sin(A－B)·sin B＝，所以cos A＝.‎ 因为0＜A＜，‎ 所以sin A＝＝.‎ ‎(2)由正弦定理，得＝，‎ 则sin B＝＝＝.‎ 因为0＜B＜，所以B＝，‎ 所以sin C＝sin(A＋B)＝(sin A＋cos A)＝.‎ 又||＝||sin C＝5×＝，‎ 所以·＝(＋)·＝－2＝－||2＝－.‎ 命题点一　平面向量基本定理 ‎1．(2018·全国卷Ⅰ改编)在△ABC中，＝a，＝b，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝________.(用a，b表示)‎ 解析：由题知＝＋＝－＋ ‎＝－＋＝－ ‎＝a－b.‎ 答案：a－b ‎2．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.‎ 解析：由题易得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，‎ 所以4λ＝2，解得λ＝.‎ 答案： ‎3．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1,1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________.‎ 解析：如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tan α＝7，α∈，‎ 得sin α＝，cos α＝，‎ 设C(xC，yC)，B(xB，yB)，‎ 则xC＝||cos α＝×＝，‎ yC＝||sin α＝×＝，即C.‎ 又cos(α＋45°)＝×－×＝－，‎ sin(α＋45°)＝×＋×＝，‎ 则xB＝||cos(α＋45°)＝－，‎ yB＝||sin(α＋45°)＝，即B.‎ 由＝m＋n，可得 解得所以m＋n＝＋＝3.‎ 答案：3‎ ‎4．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．‎ 解析：因为ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，‎ 所以所以所以m－n＝2－5＝－3.‎ 答案：－3‎ 命题点二　平面向量的数量积 ‎1.(2016·江苏高考)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．‎ 解析：由题意，得·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝(＋)·(－＋)＝2－2‎ ‎＝||2－||2＝－1，①‎ ·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝(＋3)·(－＋3)‎ ‎＝92－2‎ ‎＝9||2－||2＝4.②‎ 由①②得||2＝，||2＝.‎ 所以·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝(＋2)·(－＋2)＝42－2‎ ‎＝4||2－||2＝4×－＝.‎ 答案： ‎2．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．‎ 解析：因为＝＋＝＋，‎ ＝＋＝－，‎ 所以·＝·＝‎ ‎||2－||2－·＝2，将AB＝8，AD＝5代入解得·＝22.‎ 答案：22‎ ‎3．(2018·全国卷Ⅱ改编)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝________.‎ 解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.‎ ‎∵|a|＝1，a·b＝－1，‎ ‎∴原式＝2×12＋1＝3.‎ 答案：3‎ ‎4．(2018·北京高考)设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝________.‎ 解析：因为a＝(1,0)，b＝(－1，m)，‎ 所以ma－b＝(m＋1，－m)．‎ 由a⊥(ma－b)，得a·(ma－b)＝0，‎ 即m＋1＝0，所以m＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎5.(2018·天津高考改编)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为________．‎ 解析：如图，以D为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC.‎ 由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，‎ 则D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)．设E(0，y)(0≤y≤)，‎ 则＝(－1，y)，＝，‎ ‎∴·＝＋y2－y＝2＋，‎ ‎∴当y＝时，·有最小值.‎ 答案： ‎6．(2017·北京高考)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为________．‎ 解析：法一：由题意知，＝(2,0)，令P(cos α，sin α)，则＝(cos α＋2，sin α)，·＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P(1,0)时“＝”成立，故·的最大值为6.‎ 法二：由题意知，＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则·＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，当且仅当x＝1，P(1,0)时“＝”成立，故·的最大值为6.‎ 答案：6‎ ‎7．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.‎ 解析：因为|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，‎ 所以a·b＝0.‎ 又a＝(m,1)，b＝(1,2)，所以m＋2＝0，所以m＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎8．(2017·江苏高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．‎ ‎(1)若a∥b，求x的值；‎ ‎(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．‎ 解：(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，‎ 所以－cos x＝3sin x.‎ 则tan x＝－.‎ 又x∈[0，π]，所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos.‎ 因为x∈[0，π]，所以x＋∈，‎ 从而－1≤cos≤.‎ 于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；‎ 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.‎