2015年高考真题——理科数学（福建卷） 原卷版

2015年高考真题——理科数学（福建卷） 原卷版

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数 学（理工类） 第 I 卷（选择题共 50 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1、若集合  234, , ,A i i i i （i 是虚数单位），  1, 1B  ，则 AB 等于 A. 1 B. 1 C. 1, 1 D. 2、下列函数为奇函数的是 A. yx B. sinyx C. cosyx D. xxy e e 3、若双曲线 22 :19 16 xyE  的左、右焦点分别为 12,FF，点 P 在双曲线 E 上，且 1 3PF  ， 则 2PF 等于 A.11 B.9 C.5 D.3 4、为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如 下统计数据表： 收入 x （万 元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y （万 元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程 ˆˆ ˆy bx a ，其中 ˆ ˆˆ0.76,b a y bx   ，据此估计，该社区一 户收入为 15 万元家庭年支出为 A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元 5、若变量 ,xy 满足约束条件 2 0, 0, 2 2 0, xy xy xy        则 2z x y 的最小值等于 A. 5 2 B. 2 C. 3 2 D.2 6、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 A.2 B.1 C.0 D. 1 7、若 ,lm 是两条不同的直线， m 垂直于平面 ，则“lm ”是“ //l  ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8、若 ,ab 是函数    2 0, 0f x x px q p q     的两个不同的零点，且 , , 2ab 这三 个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于 A.6 B.7 C.8 D.9 9 、 已 知 1,,AB AC AB AC tt   ， 若 点 p 是 ABC 所 在 平 面 内 一 点 ， 且 4AB ACAP AB AC  ，则 PB PC 的最大值等于 A.13 B.15 C.19 D.21 10、若定义在 R 上的函数  fx 满足  01f  ，其导函数  fx 满足   1f x k  ， 则下列结论中一定错误的是 A. 11f kk  B. 11 1f kk   C. 11 11f kk  D. 1 11 kf kk  第 II 卷（非选择题共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、 52x  的展开式中， 2x 的系数等于 .（用数字作答） 12、若锐角 ABC 的面积为10 3 ，且 5, 8AB AC ，则 BC 等于 . 13、如图，点 A 的坐标为  1,0 ，点C 的坐标为 2,4 ，函数   2f x x ，若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 . 14、若函数   6, 2, 3 log , 2,a xxfx xx      （ 0a  且 1a  ）的值域是  4, ，则实数 a 的取值范围是 . 15、一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串  * 12 nx x x n N ，其中  1,2, ,kx k n 称 为第 k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元 由 0 变为 1，或者由 1 变为 0） 已知某种二元码 1 2 7x x x 的码元满足如下校验方程组： 4 5 6 7 2 3 6 7 1 3 5 7 0, 0, 0, x x x x x x x x x x x x               其中运算 定义为：0 0 0,0 1 1,1 0 1,1 1 0        其中运算 定义为：0 0=0，0 1=1,1 0=1,1 1=0 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101，那么利 用上述校验方程组可判定 k 等于 . 三、解答题:大小题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 13 分） 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银 行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否 则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X 的分布列和数学期望. 17.（本小题满分 13 分） 如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB丄平面BEG，BE丄 EC，AB=BE=EC=2， G，F 分别是线段 BE，DC 的中点. (1)求证：GF//平面 ADE (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值. 18. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E： 22 221(a 0)xy bab+ = > > 过点(0, 2），且离心率为 e= 2 2 . (1)求椭圆 E 的方程； (2)设直线 l；x=my-1（m∈R）交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G 9( 4 - ,0) 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由. 19.（本小题满分 13 分） 已知函数 f( )x 的图像是由函数 ( ) cosg x x= 的图像经如下变换得到：先将 ()gx图像上所有 点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移 个单位长度. (1)求函数 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (2)已知关于 x 的方程f( ) g( )x x m+=在[0.2π]内有两个不同的解α ，β 1)求实数 m 的取值范围； 2)证明：cos(α -β )= -1 20.（本小题满分 14 分） 已知函数f( ) ln(1 )xx=+，g（x）=kx（k∈R） (1)证明：当 0x x x><时，f( ) ； (2)证明：当 1k < 时，存在 0 0x > ,使得对任意的 x∈（0，t）恒有f( ) ( )x g x> ； (3)确定 k 的所以可能取值，使得存在 0t > ，对任意的 x∈（ 0，t），恒有 2| f( ) ( ) |x g x x-<. 21.本题设有三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题作答.满分 14 分，如果多做，则按所做 的前两题计分，作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上吧所选题目对应题号右边的方框涂黑，并 将所选题号填入括号中。 （1）（本小题满分 7 分）选修 4-2：矩阵与变换 已知矩阵 (1)求 A 的逆矩阵 1A- ； (2)求矩阵 C，使得 AC=B. （2）（本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中，圆 C 的参数方程为 1 3cos (t )2 3sin xt yt ì =+ïí = - +ïî 为参数 .在极坐标系（与 平面直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴）中， 直线 l 的方程为 (1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程； (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值. （3）（本小题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 a﹥0，b﹥0，c﹥0，函数 f（x）=∣x+a∣+∣x-b∣+c 的最小值为 4. (1)求 abc++的值; (2)求 2 2 211 49a b c++的最小值为. 数学试题（理工农医类）参考答案 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 50 分。 1.C 2.D 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题 4 分，满分 20 分。 11. 80 12. 7 13. 5 12 14. (1,2] 15.5 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础 知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想，满分 13 分 解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A， （2）依题意得，X 所有可能的取值是 1，2，3 所以 X 的分布列为 . 17.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空 间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与 转化思想.满分 13 分. 解法一：（1）如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD， 又 G 是 BE 的中点， 所以 GH//AB,且 GH= AB， 又 F 是 CD 中点， 1DF= CD2 所以 ， 由四边形 ABCD 是矩形得，AB//CD，AB=CD 所以 GH//DF.且 GH=DF 从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GF//DH， 又 ，所以 . (2)如图，在平面 BEG 内，过点 B 作 BQ//EC,因为 BE 丄 CE,所以 BQ 丄 BE 又因为 AB 丄平面 BEC，所以 AB 丄 BE，AB 丄 BQ 以 B 为原点，分别以 ,,BE BQ BA 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向 建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1) 因为 AB 丄平面 BEC，所以 A=(B 0,0,2)为平面 BEC 的法向量， 设 (x, y,z)n = 为平面 AEF 的法向量.又 AE (2,0,-2) AF=(2,2,-1)= ， 由 取 2z = 得 =(2,-1,2)n . 从而 所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为 2 3 . 解法二：(1)如图，取 AB 中点 M，连接 MG，MF， 又 G 是 BE 的中点，可知 GM//AE， 又 AE 平面 ADE,GM￠平面 ADE， 所以 GM//平面 ADE. 在矩形 ABCD 中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得ＭＦ//ＡＤ． 又 AD 平面 ADE，MF￠平面 ADE. 所以 MF//平面 ADE． 又因为 GM MF=M，GM 平面 GMF.MFC 平面 GMF. 所以平面 GMF//平面 ADF， 因为 GF 平面 GMF，所以 GF//平面 ADE （２）同解法一． 18．本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运 算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想. 满分 13 分 解法一：(1)由已知得 所以椭圆 E 的方程为 22 142 xy+=. (2)设点 1 1 2 2( y ),B( , y ),A x x AB 中点为 00H( , y )x . 由 2222 1 (m 2) y 2 3 0, 142 x my myxy ì =-ïï + - - =íï +=ïî 得 所以 1 2 1 222 23y + y = , y y =m 2 m 2 m ++ ，从而 0 2 2y m2= + . 所以 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 9 5 5 25GH| ( ) y (my ) y (m +1)y + my +4 4 2 16x= + + = + + = . 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2( ) ( y ) (m +1)( y )|AB| 4 4 4 x x y y- + - -== 22 221 2 1 2 0 1 2 (m +1)[( y ) 4 y ] (m +1)(y y )4 yy y+-= = - , 故 2 2 2 2 22 0 1 2 2 2 2 |AB| 5 25 5 3(m +1) 25 17 2|GH| my (m +1) y 04 2 16 2(m 2) m 2 16 16(m 2) mmy +- = + + = - + = >+ + + 所以 |AB||GH|> 2 ，故 G 9( 4 - ,0)在以 AB 为直径的圆外. 解法二：(1)同解法一. (2)设点 1 1 2 2( y ),B( , y ),A x x ，则 1 1 2 2 99GA ( , ),GB ( , ).44x y x y= + = + 由 所以 从而 · 22 2 1 2 1 2 22 5 25 5 3(m +1) 25(m +1) y ( y )4 16 2(m 2) m 2 16 my m y= + + + = - +++ 2 2 17 2 016(m 2) m +=>+ . 故点 G 在以 AB 为直径的圆外. 19. 本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、 抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、 数形结合思想. 满分 13 分. 解法一：(1)将 ( ) cosg x x= 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）得到 y 2cos x= 的图像，再将 y 2cos x= 的图像向右平移 个单位长度后得到 y 2cos( )2x p=- 的图像，故f( ) 2sinxx= 从而函数f( ) 2sinxx= 图像的对称轴方程为 (2)1) 21f( ) g( ) 2sin cos 5( sin cos ) 55 x x x x x x+ = + = + 125 sin( )( sin ,cos 55 x j j j= + = =其中 ) 依题意，sin( )= 5 mx j+ 在区间[0.2π ]内有两个不同的解α ,β 当且仅当| | 1 5 m < ，故 m 的 取值范围是( 5, 5)- . 2)因为α ,β 是方程 5 sin( )=mx j+ 在[0.2π ]内的两个不同的解， 所以sin( )= 5 maj+ ，sin( )= 5 mbj+ . 所以 2 222cos ) cos2( ) 2sin ( ) 1 2( ) 1 1.55 mma b b j b j- = - + = + - = - = -( 解法二：(1)同解法一. (2)1) 同解法一. 2) 因为α ，β 是方程 在区间[0.2π ]内有两个不同的解， 所以 ， . 20.本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意 识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合 思想.满分 14 分. 解法一：(1)令 ( ) f( ) ln(1 ) , [0, ),F x x x x x x= - = + - ? ? 则有 1( ) 11+ 1+ xFx xx ¢ = - = - 当 x （0，+∞） F(x)＜0,所以 ()Fx在（0+∞）上单调递减, 故当 0 ( ) (0) 0, 0x F x F x x x> < = > <时， 即当 时，f( ) . (2)令 G( ) f( ) ( ) ln(1 ) , [0, ),x x g x x kx x= - = + - ? ? 则有 1 (1 k)() 1+ 1+ kxG x kxx - + -¢ = - = 当 k≤0 时， G（x）＞0,故 G( )x 在[0+∞]上单调递增, G( ) (0) 0xG>= 故对任意正实数 0x 均满足题意. (3) ) (3) 21.选修 4-2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.满分 7 分. 解： 所以 1 31 31 22 2242 21 22 A  (2)由 AC=B 得 11( )CA A A B--= , 故 1 3 1 311 2C = =2 2 2012 1 2 3 AB                  选修 4-4：坐标系与参数方程 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力， 考查化归与转化思想.满分 7 分. 解： (2)依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，即 ( )|1 2 m | 22 2 - - + =?，解得m=-3 2 选修 4-5：不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转 化思想.满分 7 分. 解：(1)因为 (x) | x | | x | | (x ) (x ) | | a |f a b c a b c b c= + + + + ? - + + = + + 当且仅当 时，等号成立 又 0, 0ab>>，所以| a b | a b+ = + ,所以 (x)f 的最小值为a b c++, 所以a b c 4+ + =