2018-2019学年四川省成都外国语学校高二3月月考数学（文）试题 解析版

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绝密★启用前 ‎2018-2019学年四川省成都外国语学校高二3月月考数学（文）试题 解析版 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由，得：，，则，故选C.‎ ‎2．下列导数式子正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的运算法则，即可作出判定，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 根据导数的运算法则，可得，所以A 不正确；，所以B不正确；，所以C不正确； 由是正确的，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记导数的运算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎3．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 等差数列的前项和为，所以，得 所以。‎ 故选C.‎ ‎4．设，满足约束条件，则目标函数取最小值时的最优解是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 作出可行域如图所示：‎ 标函数，即平移直线，当直线经过点A时，最小.‎ ‎，解得，即最优解为.‎ 故选B.‎ ‎5．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为（ ）‎ A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，‎ C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米 D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B，根据回归方程可判断正相关；C将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D，根据回归方程x的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确.‎ ‎【详解】‎ A，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；‎ B，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；‎ C，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；‎ D，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确.‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.‎ ‎6．已知，则等于（ ）‎ A．-2 B．0 C．2 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数的解析式求导，得到其导函数，把代入导函数中，列出关于的方程，进而得到的值.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 令，得到，‎ 解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．‎ ‎7．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分不必要条件是（ ）‎ A．，， B．，，‎ C．，， D．，，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 的一个充分不必要条件,为的判定条件。‎ ‎【详解】‎ ‎，，可推出，故选A ‎【点睛】‎ 本题为基础题，已知线面垂直关系推平行。‎ ‎8．若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：函数在上有最大值无最小值，则极大值在之间，一阶导函数有根在，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：函数在上有最大值无最小值，则极大值在之间，设的根为，极大值点在处取得则 解得，故选C。‎ 点睛：极值转化为最值的性质：‎ ‎1、若上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为的最小值；‎ ‎2、若上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为的最大值；‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该几何体的体积是,则它的表面积是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，可以确定该几何体为圆柱中挖去一个半球，根据体积求得的值，再计算表面积即可.‎ ‎【详解】‎ 由已知三视图可知：该几何体的直观图是一个底面半径为，高为的圆柱内挖去一个半径为的半球，‎ 因为该几何体的体积为，‎ 所以，即，‎ 解得，‎ 所以该几何体的表面积为，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关三视图的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，有关组合体的体积和表面积，属于简单题目.‎ ‎10．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时， ，若，则的大小关系正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数g（x），由g′（x），可得函数g（x）单调递减，再根据函数的奇偶性得到g（x）为偶函数，即可判断．‎ ‎【详解】‎ 构造函数g（x），‎ ‎∴g′（x），‎ ‎∵xf′（x）﹣f（x）＜0，‎ ‎∴g′（x）＜0，‎ ‎∴函数g（x）在（0，+∞）单调递减．‎ ‎∵函数f（x）为奇函数，‎ ‎∴g（x）是偶函数，‎ ‎∴cg（﹣3）＝g（3），‎ ‎∵ag（e），bg（ln2），‎ ‎∴g（3）＜g（e）＜g（ln2），‎ ‎∴c＜a＜b，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力，属于中档题．‎ ‎11．已知抛物线上有三点，的斜率分别为3，6，，则 的重心坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解.‎ ‎【详解】‎ 设则，得，‎ 同理，，三式相加得，‎ 故与前三式联立，得，，，‎ 则.故所求重心的坐标为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.‎ ‎12．已知函数，函数，若方程有4个不同实根，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方程，化为，即或，要使方程有4个不同实根，则需方程有3个不同根，当时，方程有1个根，则只需：时，与有两个交点即可，数形结合可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 解：方程，化为，即或，‎ 要使方程有4个不同实根，则需方程有3个不同根，‎ 如图：‎ 而当时，方程有1个根，‎ 则只需：时，与有两个交点即可．‎ 当时，，‎ 过点作的切线，设切点为（），‎ 切线方程为，把点代入上式得或，‎ 因为，所以，‎ 切线斜率为，所以，即， ‎ 当时，，与轴交点为 令，解得．‎ 故当时，满足时，与有两个交点，‎ 即方程有4个不同实根。‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的思想，属于难题。‎ ‎13．已知平面向量共线，则=____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：．‎ 考点：平面向量共线．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎14．已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，得，又由，求得，进而的奥双曲线的渐近线的方程．‎ ‎【详解】‎ 由题意，双曲线的离心率为，即，‎ 又由，所以，‎ 解得，所以双曲线的渐近线的方程为，即 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理、准确运算是解答的关键，同时注意双曲线的焦点的位置是解答的一个易错点，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎15．已知，则的值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数的基本关系式，化简得原式 ，代入即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得 ‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系式化简、求值，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎16．—只蚂蚁在三边长分别为，，的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过的概率为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出以三角形三个顶点为圆心，半径为1的扇形，结合扇形的面积公式求解，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1，如图所示，‎ 只需蚂蚁在以三角形三个顶点为圆心，半径为1的扇形内运动即可，‎ 由面积比的几何概型，可得某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量 ‎”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．命题关于的不等式的解集为；命题函数为增函数． ‎ ‎(1)若是真命题, 求实数的取值范围；‎ ‎(2)若“”是真命题，“”是假命题, 求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)或. (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)关于的不等式的解集为，转化为恒成立，利用，即可求解；‎ ‎(2)求得q为真命题时，，解得或，根据“”是真命题，且“”是假命题，分类讨论即可求解的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)关于的不等式的解集为，等价于恒成立，‎ 所以p为真命题时，，解得或.‎ ‎(2)q为真命题时，，解得或. ‎ ‎“”是真命题，且“”是假命题，‎ 有两种情况：p为真命题，q为假命题时，；p为假命题，‎ q为真命题时，.‎ 故“”是真命题，且“”是假命题时，‎ a的取徝范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式恒成立问题，以及利用复合命题的真假求解参数，其中解答中合理转化为不等式的恒成立，借助二次函数的性质，以及准确命题 ‎，合理分类讨论是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎18．汉字听写大会不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组，第2组，，第6组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．‎ 若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率 试估计该市市民正确书写汉字的个数的中位数；‎ 已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．‎ ‎【答案】（1）0.32（2）平均数168.56；中位数：168.25（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用频率分布直方图能求出被采访人恰好在第2组或第6组的概率；利用频率分布直方图能求出平均数和中位数；共人，其中男生3人，设为a，b，c，女生三人，设为d，e，f，利用列举法能求出至少有1名女性市民的概率．‎ ‎【详解】‎ 被采访人恰好在第2组或第6组的概率 平均数 设中位数为x，则 中位数 共人，其中男生3人，设为a，b，c，女生三人，设为d，e，‎ 则任选2人，可能为，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，共15种，‎ 其中两个全是男生的有，，，共3种情况，‎ 设事件A：至少有1名女性，‎ 则至少有1名女性市民的概率 ‎【点睛】‎ 本题考查概率、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎19．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．‎ ‎(1)当a＝2时，求函数f(x)在[0,2]上的最值；‎ ‎(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)a≥ .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 当a＝2时，求得函数的导数，利用导数得出函数的单调性，即可求解函数的最值；‎ ‎(2)根据函数f(x)在(－1,1)上单调递增，转化为在(－1,1)上恒成立，再利用分离参数，转化为函数的最值问题，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝(－x2＋2)ex.‎ 令f′(x)=0，则x=－或x=‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎(0， )‎ ‎(，2)‎ ‎2‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ f(0)=0‎ ‎↗‎ 极大值f()‎ ‎↘‎ f(2)=0‎ 所以，f(x)max= f()=(-2+2)e,f(x)min= f(0)=0.‎ ‎(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．‎ 又f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex>0，‎ 因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，‎ 也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．‎ 设y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，‎ 即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，‎ 则y<1＋1－＝，故a≥.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．‎ ‎20．如图，在三棱锥中，面，∠BAC=，且=1，过点作平面，分别交于点.‎ ‎（1）若求证：为的中点；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求点到平面的距离．‎ ‎【答案】(1)见证明(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）取中点，连接，证明面，由即可证明；（Ⅱ）利用，求得值即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）取中点，连接，∵∴，∵ 面，‎ 为的中点，为的中点 ‎（Ⅱ）设点到平面的距离为， ∵为的中点，‎ 又，，∴，∵∴‎ 又，，，‎ 可得边上的高为，∴ ‎ 由 得 ，∴‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直证明，点到面的距离，熟练运用线面关系，准确计算是关键，是中档题.‎ ‎21．已知点是椭圆E：上一点，、分别是椭圆的左右焦点，且 求曲线E的方程；‎ 若直线l：不与坐标轴重合与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为、，对任意的斜率k，若存在实数，使得，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点P在椭圆上以及，列方程组可解出，，从而可得曲线的方程；联立直线与曲线，根据韦达定理以和斜率计算公式可得，结合判别式可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 设，，‎ ‎，‎ 由，，‎ 曲线E的方程为：‎ 设，，‎ ‎∴‎ ‎∴，即，‎ 当时，；‎ 当时， ，‎ 由对任意恒成立，‎ 则 综上 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量数量积的性质及其运算，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，属中档题．‎ ‎22．已知函数，.‎ ‎（1）若在处取得极值，求的值； ‎ ‎（2）设，试讨论函数的单调性；‎ ‎（3）当时，若存在正实数满足，求证：.‎ ‎【答案】（1）．（2）见解析（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意，求得函数的导数，根据，即可求解；‎ ‎（Ⅱ）由题意，得 ，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）代入，求出，令，，根据函数的单调性，即可作出证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 因为在处取得极值，‎ 所以，解得． ‎ 验证：当时，在处取得极大值． ‎ ‎（2）解：因为 ‎ 所以．‎ ‎①若，则当时，，所以函数在上单调递增；‎ 当时，，函数在上单调递减． ‎ ‎②若，，‎ 当时，易得函数在和上单调递增，‎ 在上单调递减； ‎ 当时，恒成立，所以函数在上单调递增；‎ 当时，易得函数在和上单调递增，‎ 在上单调递减． ‎ ‎（3）证明：当时，，‎ 因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以． ‎ 令，，‎ 则，‎ 当时，，所以函数在上单调递减；‎ 当时，，所以函数在上单调递增．‎ 所以函数在时，取得最小值，最小值为． ‎ 所以，‎ 即，所以或．‎ 因为为正实数，所以． ‎ 当时，，此时不存在满足条件，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.‎