数学理卷·2018届山东省滨州市邹平双语学校三区高二上学期期中考试（2016-11）

数学理卷·2018届山东省滨州市邹平双语学校三区高二上学期期中考试（2016-11）

邹平双语学校2016—2017第一学期期中考试 ‎(3区) 高二 年级 数学（理科班）试题 ‎ （时间：120分钟，分值：150分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知i为虚数单位，则z=在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2. 设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）‎ ‎3. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（　 　）‎ ‎ A．假设三内角都不大于60度 B． 假设三内角都大于60度 C． 假设三内角至多有一个大于60度 D． 假设三内角至多有两个大于60度 ‎4. 下面几种推理是合情推理的是（　　）‎ ‎（1）由圆的性质类比出球的有关性质；‎ ‎（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；‎ ‎（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；‎ ‎（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n﹣2）•180°．‎ A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4）‎ ‎5. “因为偶函数的图象关于y轴对称，而函数f（x）=x2+x是偶函数，所以f（x）=x2+x的图象关于y轴对称”，在上述演绎推理中，所得结论错误的原因是（　　）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．大前提与推理形式都错误 ‎6. 若复数z满足（1+2i）2z=1﹣2i，则共轭复数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 由直线y=2x及曲线y=4﹣2x2围成的封闭图形的面积为（　　）‎ A．1 B．3 C．6 D．9‎ ‎8. 已知f（x）=x2+2xf'（2016）﹣2016lnx，则f′（2016）=（　　）‎ A．2015 B．﹣2015 C．2016 D．﹣2016‎ ‎9.已知函数f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上的最小值为﹣38，则f（x）在[﹣2，2]上的最大值是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2‎ ‎10. 在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（　　）‎ A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）‎ B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）‎ C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）‎ D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）‎ ‎11. 已知定义在实数集R的函数满足(1)=4,且导函数，则不等式的解集为（ ）‎ ‎　 A. B. C. D. ‎ ‎12.设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=﹣1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 设，则函数单调递增区间是_____________.‎ ‎14. 是定义在上的可导函数，则是为 的极值点的 　条件.（填充分不必要 ，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要）‎ ‎15. 经过圆x2+y2=r2上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2．类比上述性质，可以得到椭圆=1类似的性质为：经过椭圆=1上一点P（x0，y0）的切线方程为　　．‎ ‎16. 设f'（x）和g'（x）分别是函数f（x）和g（x）的导函数，若f'（x）•g'（x）≤0在区间I上恒成立，则称函数f（x）和g（x）在区间I上单调性相反．若函数f（x）=x3﹣3ax与函数g（x）=x2+bx在开区间（a，b）（a＞0）上单调性相反，则b﹣a的最大值等于　　． ‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分.‎ ‎17.(本小题满分10分) 满足z+是实数，且z+4的实部与虚部互为相反数的虚数z是否存在，若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．‎ ‎18. (本小题满分12分) 已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．‎ ‎19. (本小题满分12分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（1≤x≤10），设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．‎ ‎（1）求f（x）的表达式；‎ ‎（2）隔热层修建多厚对，总费用f（x）达到最小，并求最小值．‎ ‎20. (本小题满分12分) 设函数f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈R）．‎ ‎（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当k∈（，1]时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．‎ ‎21. (本小题满分12分) 编辑如下运算程序：1@1=2，m@n=q，m@（n+1）=q+2．‎ ‎（1）设数列{an}的各项满足an=1@n，求a2，a3，a4；‎ ‎（2）由（1）猜想{an}的通项公式；‎ ‎（3）用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎22. (本小题满分12分)设函数，其中a，b∈R．‎ ‎（1）当a=时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数f(x)仅在x=0处有极值，求a的取值范围；‎ ‎（3）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式f(x)≤1在[﹣1，1]上恒成立，求b的取值范围．‎ 第 页，共 页 三区高二数学理科班答案 一、选择题 ‎1. B 2. D 3. B 4. C 5. B 6. B 7. D 8. B 9. C 10. D 11. D 12. D 二、填空题 ‎13.[2，﹢∞）（或（2，﹢∞））14. 必要不充分15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：假设存在虚数z，则设z=a+bi（a，b∈R，且b≠0），‎ 则，得，∵b≠0，∴，‎ 解得或．‎ ‎∴存在虚数z1=﹣1﹣3i或z2=﹣3﹣i满足上述条件．‎ ‎18.解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式 …（1分）‎ f'（x）=3ax2+2bx，则f'（1）=3a+2b…（3分）‎ 由条件②式…（5分）‎ 由①②式解得a=1，b=3‎ ‎（2）f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，‎ 令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，…（8分）‎ ‎∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增 ‎∴[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）‎ ‎∴m≥0或m+1≤﹣2‎ ‎∴m≥0或m≤﹣3 ………………. （12分）‎ ‎19.解：（1）每年能源消耗费用为C（x）=，建造费用为6x，‎ ‎∴f（x）=20C（x）+6x=（1≤x≤10）．……….（3分）‎ ‎（2）f′（x）=6﹣，令f′（x）=0得x=或x=（舍）．（5分）‎ ‎∴当1≤x＜时，f′（x）＜0，当＜x≤10时，f′（x）＞0．‎ ‎∴f（x）在[1，）上单调递减，在[，10]上单调递增．‎ ‎∴当x=时，f（x）取得最小值f（）=……（11分）‎ ‎∴当隔热层修建()cm厚时，总费用最小，最小值为()万元．（12分）‎ ‎（解法2）（2）f（x）==‎ 当且仅当即x=时取“=”， ……（11分）‎ ‎∴当隔热层修建()cm厚时，总费用最小，最小值为()万元．（12分）‎ ‎20.解：（1）当k=1时，f（x）=（x﹣1）ex﹣x2，‎ f'（x）=ex+（x﹣1）ex﹣2x=x（ex﹣2）……………….（1分）‎ 令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0……………………（2分）‎ 所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：‎ x ‎（﹣∞，0）‎ ‎0‎ ‎（0，ln2）‎ ln2‎ ‎（ln2，+∞）‎ f'（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）…（4分）‎ ‎（2）f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2，x∈[0，k]，．‎ f'（x）=xex﹣2kx=x（ex﹣2k），f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k） ……………………….. （6分）‎ 令φ（k）=k﹣ln（2k），，‎ 所以φ（k）在上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ，∴1﹣ln2≤φ（k）＜＜k．‎ 即0＜ln（2k）＜k ……………………………………. （8分）‎ 所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：‎ x ‎（0，ln（2k））‎ ln（2k）‎ ‎（ln（2k），k）‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ f（0）=﹣1，‎ f（k）﹣f（0）=（k﹣1）ek﹣k3﹣f（0）=（k﹣1）ek﹣k3+1=（k﹣1）ek﹣（k3﹣1）‎ ‎=（k﹣1）ek﹣（k﹣1）（k2+k+1）=（k﹣1）[ek﹣（k2+k+1）]‎ ‎∵，∴k﹣1≤0．‎ 对任意的，y=ek的图象恒在y=k2+k+1下方，所以ek﹣（k2+k+1）≤0‎ 所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0）‎ 所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）ek﹣k3． ……….（12分）‎ ‎21.解：（1）∵a1=1@1=2，令m=1，n=1，则q=2；由m@n=q，m@（n+1）=q+2，得a2=1@2=2+2=4‎ 再令m=1，n=2，则q=4，得a3=1@3=4+2=6‎ 再令m=1，n=3，则q=6，得a4=1@4=6+2=8，‎ ‎∴a2=4，a3=6，a4=8，‎ ‎（2）由（1）猜想：，‎ ‎（3）证明：①当n=1时，a1=1@1=2，另一方面，a1=2×1=2，所以当n=1时等式成立．‎ ‎②假设当n=k时，等式成立，即ak=1@k=2k，此时q=2k，‎ 那么，当n=k+1时ak+1=1@（k+1）=2k+2=2（k+1）‎ 所以当n=k+1时等式也成立．‎ 由①②知，等式对n∈N*都成立，猜想正确，即．‎ ‎22.解：（Ⅰ）．‎ 当时，．‎ 令，解得，，．‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在，内是增函数，在，内是减函数．．．4分 ‎（2），显然不是方程的根．‎ 为使仅在处有极值，必须恒成立，即有．‎ 解此不等式，得．这时，是唯一极值．‎ 因此满足条件的的取值范围是．．．．9分 ‎（3）由条件可知，从而恒成立．‎ 当时，；当时，．‎ 因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．‎ 为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当 ‎ 即 在上恒成立．‎ 所以，因此满足条件的的取值范围是．．．．12分