【数学】江苏省泰州市2020届高三下学期调研测试试题

【数学】江苏省泰州市2020届高三下学期调研测试试题

江苏省泰州市2020届高三下学期调研测试试题 第I卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）‎ ‎1．已知集合A＝{l，2}，B＝{2，4，8}，则AB＝ ．‎ ‎2．若实数x，y满足x＋yi＝﹣1＋(x﹣y)i（i是虚数单位），则xy＝ ．‎ ‎3．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为 ‎ ‎ ．‎ ‎4．根据如图所示的伪代码，可得输出的S的值为 ．‎ ‎5．若双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ．‎ ‎6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x，y，则的概率是 ．‎ ‎7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离是它到y轴距离的3倍，则点P的横坐标为 ．‎ ‎8．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是 里．‎ ‎9．若定义在R上的奇函数满足，，则＋＋ 的值为 ．‎ ‎10．将半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为，则R＝ ．‎ ‎11．若函数只有一个零点，则实数a的取值范围为 ．‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，)，B(，)在圆O：上，且满足，则的最小值是 ．‎ ‎13．在锐角△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，若，，且，，则实数的值为 ．‎ ‎14．在△ABC中，点D在边BC上，且满足AD＝BD，3tan2B﹣2tanA＋3＝0，则的取值范围为 ．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 如图，在三棱锥P— ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC，点D，E，F分別是AB，AC，BC的中点．‎ ‎（1）求证：BC∥平面PDE；‎ ‎（2）求证：平面PAF ⊥平面PDE．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 已知函数，xR ．‎ ‎（1）求函数的最大值，并写出相应的x的取值集合；‎ ‎（2）若，(，)，求sin2的值．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 某温泉度假村拟以泉眼C为圆心建造一个半径为‎12米的圆形温泉池，如图所示，M，N是圆C上关于直径AB对称的两点，以A为四心，AC为半径的圆与圆C的弦AM，AN分别交于点D，E，其中四边形AEBD为温泉区，I、II区域为池外休息区，III、IV区域为池内休息区，设∠MAB＝．‎ ‎（1）当时，求池内休息区的总面积（III和IV两个部分面积的和）；‎ ‎（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM的长．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆M：(a＞b＞0)的左顶点为A，过点A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以AB为边作矩形ABCD，其中直线CD过原点O．当点B为椭圆M的上顶点时，△AOB的面积为b，且AB＝．‎ ‎（1）求椭圆M的标准方程；‎ ‎（2）求矩形ABCD面积S的最大值；‎ ‎（3）矩形ABCD能否为正方形？请说明理由．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ函数”．‎ ‎（1）判断函数是否为“YZ函数”，并说明理由；‎ ‎（2）若函数(mR)是“YZ函数”，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）已知，x(0，)，a，bR，求证：当a≤﹣2，且0＜b＜1时，函数是“YZ函数”．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知数列，，满足，．‎ ‎（1）若数列是等比数列，试判断数列是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎（2）若恰好是一个等差数列的前n项和，求证：数列是等差数列；‎ ‎（3）若数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，求证：数列是等差数列．‎ 第II卷（附加题，共40分）‎ ‎21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 已知列向量在矩阵M＝对应的变换下得到列向量，求．‎ B．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，点P为曲线C上任一点，求点P到直线l距离的最大值．‎ C．选修4—5：不等式选讲 已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，，求证：．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，在多面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是等腰直角三角形，且∠ADE＝，EF⊥平面ADE，EF＝1．‎ ‎（1）求异面直线AE和DF所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角B—DF—C的余弦值．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 给定n(n≥3，n)个不同的数1，2，3，…，n，它的某一个排列P的前k(k，1≤k≤n)项和为，该排列P中满足的k的最大值为．记这n个不同数的所有排列对应的之和为．‎ ‎（1）若n＝3，求；‎ ‎（2）若n＝‎4l＋1，l，①证明：对任意的排列P，都不存在k(k，1≤k≤n)使得；②求(用n表示)．‎ 参考答案 一、填空题 ‎1. 2. 3. 4. 5. ‎ ‎6. 7. 8. 9. 10. ‎ ‎11. 12. 13. 14. ‎ 二、解答题 ‎ ‎15.（本题满分14分）‎ 证明：（1）在中，因为分别是的中点，‎ 所以， ……………2分 因为，，‎ 所以． ……………6分 ‎（2）因为，，‎ 所以，‎ 在中，因为，分别是的中点，‎ 所以， ……………8分 因为，所以，‎ 又因为，，‎ 所以， ……………12分 因为，所以． ……………14分 ‎16.（本题满分14分）‎ 解：（1）因为，‎ 所以 ……………2分 ‎ ……………4分 ‎ 当，即时，取最大值，‎ 所以的最大值为，此时的取值集合为．………7分 ‎（2）因为，则，即，‎ 因为，所以，‎ 则， ……………10分 所以 ‎. ……………14分 ‎17.（本题满分14分）‎ 解：（1）在中，因为，，‎ 所以，，‎ 所以池内休息区总面积．‎ ‎ ……………4分 ‎（2）在中，因为，，‎ 所以， ，‎ 由得， ……………6分 则池内休息区总面积，；‎ ‎ ……………9分 设，，因为 ‎，‎ 又，所以，使得，‎ 则当时，在上单调增，‎ 当时，在上单调减，‎ 即是极大值，也是最大值，所以，‎ 此时． ……………13分 答：（1）池内休息区总面积为；‎ ‎（2）池内休息区总面积最大时的长为．………14分 ‎ ‎ ‎18.（本题满分16分）‎ 解：（1）由题意：，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为． ……………4分 ‎（2）显然直线的斜率存在，设为且，‎ 则直线的方程为，即，‎ 联立得，‎ 解得，，所以，‎ 直线的方程为，即，所以，‎ 所以矩形面积，‎ 所以当且仅当时，矩形面积的最大值为．……………11分 ‎（3）若矩形为正方形，则，‎ 即，则 ，‎ 令，‎ 因为，又的图象不间断，‎ 所以有零点，所以存在矩形为正方形．‎ ‎……………16分 ‎19.（本题满分16分）‎ 解：（1）函数是“YZ函数”，理由如下：‎ 因为，则，‎ 当时，；当时，，‎ 所以的极大值，‎ 故函数是“YZ函数”． ……………4分 ‎（2）定义域为， ，‎ 当时，，函数单调递增，无极大值，不满足题意；‎ 当时，当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 所以的极大值为，‎ 由题意知，解得． ……………10分 ‎（3）证明： ，‎ 因为，，则，‎ 所以有两个不等实根，设为，‎ 因为，所以，不妨设，‎ 当时，，则单调递增；‎ 当时，，则单调递减，‎ 所以的极大值为， ……………13分 由得，‎ 因为，，‎ 所以 ‎．‎ 所以函数是“YZ函数”． ……………16分 ‎（其他证法相应给分）‎ ‎20.（本题满分16分）‎ 解：（1）设等比数列的公比为，则，‎ 当时，，数列不是等比数列， ……………2分 当时，因为，所以，所以数列是等比数 列． ……………5分 ‎（2）因为恰好是一个等差数列的前项和，设这个等差数列为，公差为，‎ 因为，所以，‎ 两式相减得，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以数列是等差数列． ……………10分 ‎（3）因为数列是等差数列，所以，‎ 又因为，所以，‎ 即 ，则，‎ 又因为数列是等比数列，所以，则，‎ 即，‎ 因为数列各项均为正数，所以， ……………13分 则，‎ 即，‎ 又因为数列是等差数列，所以，‎ 即，‎ 化简得，将代入得 ‎，‎ 化简得，所以数列是等差数列． ……………16分 ‎（其他证法相应给分）‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21. A． [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 解：因为，所以，解得，……………4分 设，则，‎ 即，解得， 所以， ……………8分 所以. ……………10分 ‎ ‎ B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 解：由题：直线方程即为，‎ 由，得直线的直角坐标方程为，……………4分 设点的坐标为，‎ 点到直线的距离，……………8分 当，即时，取得最大值，‎ 此时点的坐标为. ……………10分 C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 证明：由柯西不等式，得 ‎ ………………5分 所以． ………………10分 ‎22.（本小题满分10分）‎ 解：因为平面平面,又，‎ 即，因为，， 平面,‎ 由四边形为边长为2的正方形,‎ 所以两两互相垂直．‎ 以为坐标原点，为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.………2分 由平面且,‎ ‎（1）,，‎ 则,‎ 所以和所成角的余弦值为. ……………5分 ‎（2）,,设平面的一个法向量为，‎ 由 ,取,得,‎ 平面的一个法向量为,‎ ‎,‎ 由二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为.……10分 ‎23.（本小题满分10分）‎ 解：（1）的所有排列为，‎ 因为，所以对应的分别为，所以； ……………3分 ‎（2）（i）设个不同数的某一个排列为，‎ 因为，所以为奇数，‎ 而为偶数，所以不存在使得； ……………5分 ‎(ii) 因为，即，‎ 又由（i）知不存在使得，‎ 所以；‎ 所以满足的最大下标即满足①‎ 且②，‎ 考虑排列的对应倒序排列，‎ ①②即，,‎ 由题意知，‎ 则； ……………8分 又，这个不同数共有个不同的排列，可以构成个对应组合，‎ 且每组中，所以． ……………10分