2018年高考试题——数学理（北京卷）解析版

2018年高考试题——数学理（北京卷）解析版

绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷） 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 已知集合 A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则 A B= A. {0，1} B. {–1，0，1} C. {–2，0，1，2} D. {–1，0，1，2} 【答案】A 【解析】分析：先解含绝对值不等式得集合 A，再根据数轴求集合交集. 详解： 因此 A B= ，选 A. 点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合 是正确求解的两个先决条件. 2. 在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限. 详解： 的共轭复数为 对应点为 ，在第四象限，故选 D. 点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分. 3. 执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：初始化数值 ，执行循环结构，判断条件是否成立， 详解：初始化数值 循环结果执行如下： 第一次： 不成立； 第二次： 成立， 循环结束，输出 ， 故选 B. 点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到 型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环 条件、循环次数. 4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做 出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一 个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 ．若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为 ， 所以 ， 又 ，则 故选 D. 点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主 要有如下两种： （1）定义法，若 （ ）或 （ ）， 数列 是等比数列； （2）等比中项公式法，若数列 中， 且 （ ），则数列 是等比数列. 5. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形 的个数. 详解：由三视图可得四棱锥 ， 在四棱锥 中， ， 由勾股定理可知： ， 则在四棱锥中，直角三角形有： 共三个， 故选 C. 点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线 线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解. 6. 设 a，b 均为单位向量，则“ ”是“a⊥b”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】分析：先对模平方，将 等价转化为 0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关 系. 详解： ，因为 a，b 均为单位向量，所以 a⊥b，即“ ”是“a⊥b”的充分必要条件.选 C. 点睛：充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若 则 ”、“若 则 ”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒ ”为真，则 是 的充分条件． 2．等价法：利用 ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇔ 与非 ⇔非 的等价关系，对于条件或结论是否定 式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若 ⊆ ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ＝ ，则 是 的充要条件． 7. 在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cosθ，sinθ）到直线 的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值 为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】分析：P 为单位圆上一点，而直线 过点 A（2，0），则根据几何意义得 d 的最大值为 OA+1. 详解： P 为单位圆上一点，而直线 过点 A（2，0），所以 d 的最大值为 OA+1=2+1=3,选 C. 点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相 关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． 8. 设集合 则 A. 对任意实数 a， B. 对任意实数 a，（2，1） C. 当且仅当 a<0 时，（2，1） D. 当且仅当 时，（2，1） 【答案】D 【解析】分析：求出 及 所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解. 详解：若 ，则 且 ，即若 ，则 ， 此命题的逆否命题为：若 ，则有 ，故选 D. 点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种 非常有效的方法，根据 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设 ，若 ，则 ；若 ，则 ，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式. 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9. 设 是等差数列，且 a1=3，a2+a5=36，则 的通项公式为__________． 【答案】 【解析】分析：先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 详解： 点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与 公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种 数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用. 10. 在极坐标系中，直线 与圆 相切，则 a=__________． 【答案】 【解析】分析：根据 将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到 直线距离等于半径解出 a. 详解：因为 ， 由 ，得 ， 由 ，得 ，即 ，即 ， 因为直线与圆相切，所以 点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式 及 直接代入并化简即可； (2)极坐 标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如 的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘 以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形 过程的检验. 11. 设函数 f（x）= ，若 对任意的实数 x 都成立，则 ω 的最小值为__________． 【答案】 【解析】分析：根据题意 取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得 ω，进而确定其最小值. 详解：因为 对任意的实数 x 都成立，所以 取最大值，所以 ， 因为 ，所以当 时，ω 取最小值为 . 点睛：函数 的性质 (1) . (2)周期 (3)由 求对称轴，最大值对应自变量满足 ，最小值对应自变量满足 ， (4)由 求增区间; 由 求减区间. 12. 若 x，y 满足 x+1≤y≤2x，则 2y–x 的最小值是__________． 【答案】3 【解析】分析：作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法. 详解：作可行域，如图，则直线 过点 A(1,2)时， 取最小值 3. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行 域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般 情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 13. 能说明“若 f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］都成立，则 f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的 一个函数是__________． 【答案】y=sinx（答案不唯一） 【解析】分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得 f（x）>f（0）且（0，2］上是减函数. 详解：令 ，则 f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］都成立，但 f（x）在［0，2］上不是 增函数. 又如，令 f（x）=sinx，则 f（0）=0，f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］都成立，但 f（x）在［0，2］上不 是增函数. 点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合 中的一个特殊值 ，使 不成立即可.通常举分段 函数. 【答案】 (1). (2). 2 【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中 关系，即得双曲线 N 的离心率；由 正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得 ，解得椭圆 M 的离 心率. 详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得 ，所以椭圆 M 的离心率为 双曲线 N 的渐近线方程为 ，由题意得双曲线 N 的一条渐近线的倾斜角为 ， 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、 点的坐标的范围等. 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15. 在△ABC 中，a=7，b=8，cosB= – ． （Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）求 AC 边上的高． 【答案】(1) ∠A= (2) AC 边上的高为 【解析】分析：（1）先根据平方关系求 sinB,再根据正弦定理求 sinA，即得∠A；（2）根据三角形面积公式 两种表示形式列方程 ，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求 ，解得 AC 边上的高． 详解：解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cosB=– ，∴B∈（ ，π），∴sinB= ． 由正弦定理得 = ，∴sinA= ． ∵B∈（ ，π），∴A∈（0， ），∴∠A= ． （Ⅱ）在△ABC 中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA= = ． 如图所示，在△ABC 中，∵sinC= ，∴h= = ， ∴AC 边上的高为 ． 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角 之间的关系，从而达到解决问题的目的. 16. 如图，在三棱柱 ABC- 中， 平面 ABC，D，E，F，G 分别为 ，AC， ， 的中点， AB=BC= ，AC= =2． （Ⅰ）求证：AC⊥平面 BEF； （Ⅱ）求二面角 B-CD-C1 的余弦值； （Ⅲ）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交． 【答案】(1)证明见解析 (2) B-CD-C1 的余弦值为 (3)证明过程见解析 【解析】分析：（1）由等腰三角形性质得 ，由线面垂直性质得 ,由三棱柱性质可得 ，因此 ，最后根据线面垂直判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系 E-ABF， 设立各点坐标，利用方程组解得平面 BCD 一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角 与法向量夹角相等或互补关系求结果，（3）根据平面 BCD 一个法向量与直线 FG 方向向量数量积不为零， 可得结论. 详解：解：（Ⅰ）在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ∵CC1⊥平面 ABC， ∴四边形 A1ACC1 为矩形． 又 E，F 分别为 AC，A1C1 的中点， ∴AC⊥EF． ∵AB=BC． ∴AC⊥BE， ∴AC⊥平面 BEF． （Ⅱ）由（I）知 AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1． 又 CC1⊥平面 ABC，∴EF⊥平面 ABC． ∵BE 平面 ABC，∴EF⊥BE． 如图建立空间直角坐称系 E-xyz． 由题意得 B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）． ∴ ， 设平面 BCD 的法向量为 ， ∴ ，∴ ， 令 a=2，则 b=-1，c=-4， ∴平面 BCD 的法向量 ， 又∵平面 CDC1 的法向量为 ， ∴ ． 由图可得二面角 B-CD-C1 为钝角，所以二面角 B-CD-C1 的余弦值为 ． （Ⅲ）平面 BCD 的法向量为 ，∵G（0，2，1），F（0，0，2）， ∴ ，∴ ，∴ 与 不垂直， ∴GF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内，∴GF 与平面 BCD 相交． 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 17. 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立． （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率； （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第 k 类电影得 到人们喜欢，“ ”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差 ， ， ， ， ， 的大小关系． 【答案】(1) 概率为 0.025 (2) 概率估计为 0.35 (3) > > = > > 详解：解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000， 第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0.25=50． 故所求概率为 ． （Ⅱ）设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”， 事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”． 故所求概率为 P（ ）=P（ ）+P（ ） =P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）． 由题意知：P（A）估计为 0.25，P（B）估计为 0.2． 故所求概率估计为 0.25×0.8+0.75×0.2=0.35． （Ⅲ） > > = > > ． 点睛：互斥事件概率加法公式：若 A,B 互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若 A,B 相互 独立，则 P(AB)=P(A)P(B). 18. 设函数 =[ ] ． （Ⅰ）若曲线 y= f（x）在点（1， ）处的切线与 轴平行，求 a； （Ⅱ）若 在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围． 【答案】(1) a 的值为 1 (2) a 的取值范围是（ ，+∞） 【解析】分析：（1）先求导数，再根据 得 a；（2）先求导数的零点： ，2；再分类讨论，根据是 否满足 在 x=2 处取得极小值，进行取舍，最后可得 a 的取值范围． 详解：解：（Ⅰ）因为 =[ ] ， 所以 f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R） =［ax2–（2a+1）x+2］ex． f ′(1)=(1–a)e． 由题设知 f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得 a=1． 此时 f (1)=3e≠0． 所以 a 的值为 1． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex． 若 a> ，则当 x∈( ，2)时，f ′(x)<0； 当 x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0． 所以 f (x)<0 在 x=2 处取得极小值． 若 a≤ ，则当 x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤ x–1<0， 所以 f ′(x)>0． 所以 2 不是 f (x)的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是（ ，+∞）． 点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、 垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起 来求解. 19. 已知抛物线 C： =2px 经过点 （1，2）．过点 Q（0，1）的直线l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B， 且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N． （Ⅰ）求直线 l 的斜率的取值范围； （Ⅱ）设 O 为原点， ， ，求证： 为定值． 【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1） (2)证明过程见解析 【解析】分析：（1）先确定 p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线 l 的斜率的取值 范围，最后根据 PA，PB 与 y 轴相交，舍去 k=3，（2）先设 A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据 韦达定理可得 ， ．再由 ， 得 ， ．利用直线 PA， PB 的方程分别得点 M，N 的纵坐标，代入化简 可得结论. 详解：解：（Ⅰ）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2）， 所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x． 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0， 设直线 l 的方程为 y=kx+1（k≠0）． 由 得 ． 依题意 ，解得 k<0 或 0

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