2018届二轮复习（理）专题一　函数与导数、不等式第2讲课件（全国通用）

2018届二轮复习（理）专题一　函数与导数、不等式第2讲课件（全国通用）

第 2 讲　基本初等函数、函数与方程 及函数的应用 高考定位　 1. 掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质； 2. 以基本初等函数为依托 ， 考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理； 3. 能利用函数解决简单的实际问题 . 真 题 感 悟 1. (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 设 x ， y ， z 为正数，且 2 x ＝ 3 y ＝ 5 z ，则 ( 　　 ) A.2 x <3 y <5 z B.5 z <2 x <3 y C.3 y <5 z <2 x D.3 y <2 x <5 z 答案 　 D 答案 　 C 3. (2017· 江苏卷 ) 某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元 / 次，一年的总存储费用为 4 x 万元 . 要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是 ________. 答案 　 30 解析　 f ( x ) ＝ 2sin x cos x － x 2 ＝ sin 2 x － x 2 ， 函数 f ( x ) 的零点个数可转化为函数 y 1 ＝ sin 2 x 与 y 2 ＝ x 2 图象的交点个数 ， 在同一坐标系中画出 y 1 ＝ sin 2 x 与 y 2 ＝ x 2 的图象如图所示： 由图可知两函数图象有 2 个交点 ，则 f ( x ) 的零点个数为 2. 答案　 2 考 点 整 合 2. 指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数 y ＝ a x ( a >0 ， a ≠ 1) 与对数函数 y ＝ log a x ( a >0 ， a ≠ 1) 的图象和性质，分 0< a <1 ， a >1 两种情况，当 a >1 时，两函数在定义域内都为增函数，当 0< a <1 时，两函数在定义域内都为减函数 . 3. 函数的零点问题 (1) 函数 F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) 的零点就是方程 f ( x ) ＝ g ( x ) 的根，即函数 y ＝ f ( x ) 的图象与函数 y ＝ g ( x ) 的图象交点的横坐标 . (2) 确定函数零点的常用方法： ① 直接解方程法； ② 利用零点存在性定理； ③ 数形结合，利用两个函数图象的交点求解 . 4. 应用函数模型解决实际问题的一般程序 热点一　基本初等函数的图象与性质 【例 1 】 (1)(2017· 郑州一模 ) 若函数 y ＝ a | x | ( a >0 ，且 a ≠ 1) 的值域为 { y | y ≥ 1} ，则函数 y ＝ log a | x | 的图象大致是 ( 　　 ) (2) (2017· 山东卷 ) 若函数 e x f ( x )(e ＝ 2.718 28 … 是自然对数的底数 ) 在 f ( x ) 的定义域上单调递增，则称函数 f ( x ) 具有 M 性质 . 下列函数中具有 M 性质的是 ( 　　 ) A. f ( x ) ＝ 2 － x B. f ( x ) ＝ x 2 C. f ( x ) ＝ 3 － x D. f ( x ) ＝ cos x 解析　 (1) 由于 y ＝ a | x | 的值域为 { y | y ≥ 1} ， ∴ a >1 ， 则 y ＝ log a x 在 (0 ， ＋ ∞ ) 上是增函数 ， 又函数 y ＝ log a | x | 的图象关于 y 轴对称 . 因此 y ＝ log a | x | 的图象应大致为选项 B. (2) 若 f ( x ) 具有性质 M ， 则 [e x f ( x )]′ ＝ e x [ f ( x ) ＋ f ′( x )]>0 在 f ( x ) 的定义域上恒成立 ， 即 f ( x ) ＋ f ′( x )>0 在 f ( x ) 的定义域上恒成立 . 对于选项 A ， f ( x ) ＋ f ′( x ) ＝ 2 － x － 2 － x ln 2 ＝ 2 － x (1 － ln 2)>0 ， 符合题意 . 经验证 ， 选项 B ， C ， D 均不符合题意 . 答案 　 (1)B 　 (2)A 探究提高　 1. 指数函数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影响 ， 解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时 ， 首先要看底数 a 的范围 . 2 . 研究对数函数的性质 ， 应注意真数与底数的限制条件 . 如求 f ( x ) ＝ ln( x 2 － 3 x ＋ 2) 的单调区间 ， 只考虑 t ＝ x 2 － 3 x ＋ 2 与函数 y ＝ ln t 的单调性 ， 忽视 t >0 的限制条件 . 热点二　函数的零点与方程 命题角度 1 　确定函数零点个数或其存在范围 观察图象可知 ， 两函数图象有 2 个交点 ， 故函数 f ( x ) 有 2 个零点 . 答案　 (1)C 　 (2)2 探究提高 　 1. 函数零点 ( 即方程的根 ) 的确定问题 ，常见的类型有： ( 1) 函数零点值大致存在区间的确定； (2) 零点个数的确定； (3) 两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定 . 2 . 判断函数零点个数的主要方法： (1) 解方程 f ( x ) ＝ 0 ， 直接求零点； (2) 利用零点存在定理； (3) 数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形 ， 常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题 . 命题角度 2 　根据函数的零点求参数的取值或范围 (2) 依题意 ， “ 伙伴点组 ” 的点满足：都在 y ＝ f ( x ) 的图象上 ， 且关于坐标原点对称 . 可作出函数 y ＝－ ln( － x )( x <0) 关于原点对称的函数 y ＝ ln x ( x >0) 的图象 ， 使它与直线 y ＝ kx － 1( x >0) 的交点个数为 2 即可 . 当直线 y ＝ kx － 1 与 y ＝ ln x 的图象相切时 ， 设切点为 ( m ， ln m ) ， 答案　 (1)B 　 (2)B 探究提高　 1. 第 (1) 题主要是利用函数的奇偶性、单调性转化为二次方程根的分布 ， 结合二次函数的图象求解 . 第 (2) 小题求解的关键是利用新定义 ， 根据函数图象的对称性 ， 转化为方程 ln x ＝ kx － 1( x >0) 有解 ， 进而转化为图象的交点问题 . 2 . 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题 ， 关键是利用函数方程思想或数形结合思想 ， 构建关于参数的方程或不等式求解 . 答案　 A 热点三　函数的实际应用 【例 3 】 (1) (2016· 四川卷 ) 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12% ，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 ( 参考数据： lg 1.12 ≈ 0.05 ， lg 1.3 ≈ 0.11 ， lg 2 ≈ 0.30)( 　　 ) A.2018 年 B.2019 年 C.2020 年 D.2021 年 ① 求 k 的值及 f ( x ) 的表达式； ② 隔热层修建多厚时，总费用 f ( x ) 达到最小？并求最小值 . 答案　 B 探究提高　 解决函数实际应用题的两个关键点 (1) 认真读题 ， 缜密审题 ， 准确理解题意 ， 明确问题的实际背景 ， 然后进行科学地抽象概括 ， 将实际问题归纳为相应的数学问题 . (2) 要合理选取参变量 ， 设定变量之后 ， 就要寻找它们之间的内在联系 ， 选用恰当的代数式表示问题中的关系 ， 建立相应的函数模型 ，最终求解数学模型使实际问题获解 . 【训练 3 】 (2017· 成都调研 ) 某食品的保鲜时间 y ( 单位：小时 ) 与储藏温度 x ( 单位： ℃ ) 满足函数关系 y ＝ e kx ＋ b (e ＝ 2.718 … 为自然对数的底数， k ， b 为常数 ). 若该食品在 0 ℃ 的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃ 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃ 的保鲜时间是 ________ 小时 . 答案 　 24 1. 指数函数与对数函数的图象和性质受底数 a ( a >0 ，且 a ≠ 1) 的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约 . 2.(1) 忽略概念致误：函数的零点不是一个 “ 点 ” ，而是函数图象与 x 轴交点的横坐标 . (2) 零点存在性定理注意两点： ① 满足条件的零点可能不唯一； ② 不满足条件时，也可能有零点 . 3. 利用函数的零点求参数范围的主要方法： (1) 利用零点存在的判定定理构建不等式求解 . (2) 分离参数后转化为求函数的值域 ( 最值 ) 问题求解 . (3) 转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解 . 4. 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法： (1) 构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解 . (2) 构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法 .