甘肃省张掖市第二中学2019-2020学年高二4月线上测试数学（理）试卷

甘肃省张掖市第二中学2019-2020学年高二4月线上测试数学（理）试卷

高二数学（理科）‎ ‎（考试时间：120分钟试卷满分：150分）‎ 一、单选题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.复数（ ）‎ A. i B. -i C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】∵．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．‎ ‎2.下列说法正确的是( )‎ A. “f(0)”是“函数 f（x）是奇函数”的充要条件 B. 若 p：，，则：，‎ C. “若，则”的否命题是“若，则”‎ D. 若为假命题，则p，q均为假命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四种命题之间的关系，对选项中的命题分析、判断即可．‎ ‎【详解】对于A，f （0）＝0时，函数 f （x）不一定是奇函数，如f（x）＝x2，x∈R；‎ 函数 f （x） 是奇函数时，f（0）不一定等于零，如f（x），x≠0；‎ 是即不充分也不必要条件，A错误；‎ 对于B，命题p：，‎ 则￢p：∀x∈，x2﹣x﹣1≤0，∴B错误；‎ 对于C，若α，则sinα的否命题是 ‎“若α，则sinα”，∴Ｃ正确．‎ 对于D，若p∧q为假命题，则p，q至少有一假命题，∴Ｄ错误；‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，涉及到奇函数的性质，特称命题的否定，原命题的否命题，复合命题与简单命题的关系等知识，是基础题．‎ ‎3.双曲线的实轴长是 A. 2 B. C. 4 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线方程变形为，所以，虚轴长为 考点：双曲线方程及性质 ‎4.观察下列各式：若，，，，，…，则等于（ ）‎ A. 18 B. ‎29 ‎C. 47 D. 15‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 寻找式子之间的关系，从第3个开始，每个数都是前面两个的和，由此可得．‎ ‎【详解】由题意，．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查归纳推理，解题关键是找到相邻数之间的关系．‎ ‎5.名同学参加班长和文娱委员的竞选，每个职务只需人，其中甲不能当文娱委员，则共有（ ）种不同结果（用数字作答）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先安排甲以外的一人担任文娱委员，再从剩下的3人选一人担任班长即可．‎ ‎【详解】先从甲以外的三人中选一人当文娱委员，有3种选法，再从剩下的3人选一人担任班长，有3种选法，故共有种不同结果．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理的应用,属于基础题.‎ ‎6.如图，在正方形内任取一点，则点恰好取自阴影部分内的概率为（ ）‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由定积分的运算得：S阴（1）dx＝（x），由几何概型中的面积型得：P（A），得解．‎ ‎【详解】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），‎ 由定积分的定义可得：S阴（1）dx＝（x），‎ 设“点M恰好取自阴影部分内”为事件A，‎ 由几何概型中的面积型可得：‎ P（A），‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了定积分的运算及几何概型中的面积型，考查基本初等函数的导数，属基础题 ‎7.已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且，设向量，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接ON,先求出，再进一步化简即得解.‎ ‎【详解】如图所示，连接ON,‎ ‎∵，，‎ 所以，，，‎ ‎∴‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎8.本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法；‎ 第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有种排法；‎ ‎∴‎ 故选：A.‎ ‎9.若是函数的一个极值点，则函数的极小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由极值定义有，解得，再由导数与极值关系求得极小值．‎ ‎【详解】∵，∴，由题意得，‎ 解得，∴，∴．‎ 当或时，；当时，．‎ 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，‎ 当时，函数取得极小值，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查导数与极值，掌握用导数求极值的方法是解题关键．‎ ‎10.如图，在三棱锥中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，．若是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与所成角的余弦值．‎ ‎【详解】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎∵在三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB＝4，AA1＝6，‎ E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE＝B1E， ‎ ‎∴A1（4，0，6），E（2，2，3），A（4，0，0），‎ ‎（﹣2，2，﹣3），（-4，0，6），‎ 设异面直线与所成角所成角为θ，‎ 则cosθ ．‎ ‎∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为 ．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一．这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解.‎ ‎11.若直线l：过点，当取最小值时直线l的斜率为（ ）‎ A. 2 B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点带入直线可得，利用均值不等式“‎1”‎的活用即可求解．‎ ‎【详解】因为直线过点，所以，即，‎ 所以 当且仅当，即时取等号 所以斜率，故选A ‎【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查计算化简的能力，属基础题．‎ ‎12.已知定义在上函数满足，其中是函数的导函数若，则实数m的取值范围为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，，求出函数的导数，根据函数的单调性求出m的范围即可．‎ ‎【详解】解：令，，‎ 则，‎ ‎，，‎ 函数在递减，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，即，‎ 故，解得：，‎ 故，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．‎ 二、填空题 ‎13.曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处的切线方程为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求处的导数，再根据切线公式求切线方程.‎ ‎【详解】解析：，在点（1，1）处的切线斜率为，所以切线方程为.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.‎ ‎14.已知实数满足不等式组，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，表示与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解.‎ ‎【详解】‎ 如图，不等式组表示的平面区域（包括边界），所以表示与（0，0）连线的斜率，因为，所以，故.‎ ‎【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.‎ ‎15.已知的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为_______.‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，可以求出，利用二项展开式通项公式，求出常数项．‎ ‎【详解】已知的展开式的所有项的系数和为64，令，得，‎ 二项展开式的通项公式为，令，‎ 所以常数项为．‎ ‎【点睛】本题考查了二项展开式中所有项系数和公式．重点考查了二项展开式中的常数项．‎ ‎16.点在抛物线上，则点到的距离与点到准线距离之和的最小值是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的定义进行转化，可得当三点共线的时候距离之和最小，可得答案.‎ ‎【详解】解:如图，‎ 由抛物线，可得其焦点坐标,准线为，‎ 过点P做，垂足为，则,‎ 设，此时当三点共线时，取得最小值，‎ 故：,‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的定义及三点共线的性质，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17.设命题p：实数x满足，其中；命题q：．‎ 若，且为真，求实数x的取值范围；‎ 若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解二次不等式，其中解得，解得：，取再求交集即可；‎ 写出命题所对应的集合，命题p：，命题q：，由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，则，列不等式组可求解．‎ ‎【详解】解：(1)由，其中；‎ 解得，‎ 又，即，‎ 由得：，‎ 又为真，则，‎ 得：，‎ 故实数x的取值范围为；‎ 由得：命题p：，命题q：，‎ 由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，‎ 则，‎ 所以，即．‎ 故实数m取值范围为：.‎ ‎【点睛】本题考查了二次不等式的解法，复合命题的真假，命题与集合的关系，属于简单题．‎ ‎18.在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和．‎ ‎（1）求数列、的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设数列的公差为d，由，，成等比数列，列式解得（舍去）或，进而得；再由数列的前n项和，得，且，进而得；‎ ‎（2）由（1）得，利用分组求数列的前n项和即可.‎ ‎【详解】（1）设数列的公差为d，则，，∵，，成等比数列，‎ ‎，即，‎ 整理得，解得（舍去）或，.‎ 当时，，‎ 当时，．‎ 验：当时，满足上式，∴数列的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）得，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，也考查了数列的分组求和的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎19.已知a,b,c分别是DABC的内角A,B,C,所对的边，‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若DABC的面积为，求DABC周长的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理化简已知等式可得c2+a2﹣b2＝ac，根据余弦定理可求cosB，结合范围B∈（0，π），可求B的值．‎ ‎（2）由已知利用三角形的面积公式可求ac＝4，利用余弦定理，基本不等式，即可计算得解△ABC周长的最小值．‎ ‎【详解】（1），‎ 由得，‎ ‎，‎ ‎，；‎ ‎（2）由（1）得，，，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 对上述两个不等式，当且仅当时等号成立，‎ 此时周长取最小值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎20.如图1，已知四边形为直角梯形，，，且，为的中点，将沿折到位置（如图2），使得平面，连结，构成一个四棱锥．‎ ‎（1）求证；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【解析】试题分析：（1）可利用分析法寻找思路：由于，所以要证，只需证明平面，因此只需证，这可根据条件平面得到；（2）求二面角大小，一般方法为利用空间向量数量积求解，即先根据题意建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面的法向量，利用向量数量积可求法向量的夹角，最后根据法向量夹角与二面角之间关系得结果.‎ 试题解析：（1）证明：在图1中，∵，，‎ ‎∴为平行四边形，∴，‎ ‎∵，∴．‎ 当沿折起时，，，即，，‎ 又，∴平面，而平面，∴．‎ ‎（2）以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，,‎ ‎，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，取，得，‎ 设平面的一个法向量为 则，取，得，‎ 设二面角的大小为，观察图形可知，二面角为钝角，‎ 则，∴，‎ ‎∴二面角的大小为．‎ ‎21.已知椭圆的离心率为，短轴长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在一个定点使得直线的斜率互为相反数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，也请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）据题意，得 ，求解方程组确定a,b的值即可求得椭圆方程；‎ ‎（2）据题设知点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ‎．与椭圆方程联立，结合韦达定理有． 假设存在点M满足题意，则，结合韦达定理求解实数m的值即可；然后讨论斜率不存在的情况即可确定定点M存在.‎ ‎【详解】（1）据题意，得 ‎ 解得， ‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）据题设知点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为．‎ 由，得．‎ 设，则． ‎ 设，则直线的斜率分别满足．‎ 又因为直线的斜率互为相反数，‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ 所以，‎ 所以，所以． ‎ 若对任意恒成立，则，‎ 当直线的斜率不存在时，若，则点满足直线的斜率互为相反数． ‎ 综上，在轴上存在一个定点，使得直线的斜率互为相反数．‎ ‎【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）若函数在，上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数在处的切线平行于轴，是否存在整数，使不等式在时恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）a；（2）不存在，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对原函数求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出的取值范围；‎ ‎（2）问题转化为即在时恒成立，令，求导后分和求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．‎ ‎【详解】解：（1）函数在，上单调递增，‎ ‎ 在， 上恒成立，‎ ‎，‎ 当时，有最小值，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ ‎（1），‎ 函数在处的切线平行于轴，‎ ‎，‎ ‎，‎ 不等式在时恒成立，‎ 在时恒成立，‎ 即在时恒成立，‎ 令，，‎ ‎，‎ 当时，在上恒成立，即在上单调递增，‎ ‎（1），则，矛盾，‎ 当时，令，解得，‎ 令，解得：，‎ 令，解得：，‎ 在单调递减，在，单调递增，‎ ‎，‎ 令，，‎ ‎，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ ‎，‎ 不存在整数使得恒成立，‎ 综上所述不存在满足条件的整数．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，导数的几何意义，还运用分离参数法和函数构造法解决恒成立问题，同时考查了数学转化思想方法以及推理能力和运算能力，属难题．‎