【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版2-8函数与方程学案
§2.8 函数与方程
最新考纲
考情考向分析
结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.
1.函数的零点
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.
2.零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点.
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
概念方法微思考
函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？
提示 不能．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( × )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( √ )
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)
0
且函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，f(x)为增函数，
∴f(x)的零点在区间(2,3)内．
3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 由f′(x)＝ex＋3>0，得f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．
题组三 易错自纠
4．函数f(x)＝ln2x－3ln x＋2的零点是( )
A．(e,0)或(e2，0) B．(1,0)或(e2，0)
C．(e2，0) D．e或e2
答案 D
解析 f(x)＝ln2x－3ln x＋2＝(ln x－1)(ln x－2)，
由f(x)＝0得x＝e或x＝e2.
5．已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则( )
A．x10)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知选C.
6．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是 ．
答案 (－8,1]
解析 m＝－x2＋2x在(0,4)上有解，又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域为(－8,1]，∴－80，
∴f(1)·f(2)<0，
∵函数f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上的图象是连续的，且为增函数，
∴f(x)的零点所在的区间是(1,2)．
2．若a0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.
3．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当21，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.
思维升华 判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理．对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析，一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解．
题型二 函数零点个数的判断
例1 (1)函数f(x)＝的零点个数是 ．
答案 2
解析 当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f(x)有一个零点；当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)(2018·呼伦贝尔模拟)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象，如图所示．
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
(3)函数f(x)＝－cos x在[0，＋∞)内( )
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
答案 B
解析 当x∈时，因为f′(x)＝＋sin x，>0，sin x>0，所以f′(x)>0，故f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝1－cos 1>0，所以f(x)在[0,1]内有唯一零点．当x>1时，f(x)＝－cos x>0，故函数f(x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B.
思维升华 函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点．
(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数．
(3)利用函数图象的交点个数判断．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 g(x)＝f(1－x)－1
＝
＝
易知当x≥1时，函数g(x)有1个零点；当x<1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个，故选C.
(2)函数f(x)＝4cos2·cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为 ．
答案 2
解析 f(x)＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，x>－1，
函数f(x)的零点个数即为函数y1＝sin 2x(x>－1)与y2＝|ln(x＋1)|(x>－1)的图象的交点个数．
分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点．
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例2 (1)(2018·大连模拟)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C. D.
答案 D
解析 由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数解，
即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.
(2)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是 ．
答案 (－1,0)
解析 关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数y＝f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．
命题点2 根据函数零点的范围求参数
例3 若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是 ．
答案
解析 依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足
即
解得0且a≠1)的两个零点是m，n，则( )
A．mn＝1 B．mn>1
C．01，m1，且－logam＝m，logan＝n
，以上两式两边相减可得loga(mn)＝n－m<0，所以0－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．
故选C.
方法二 由图知－a≤1，∴a≥－1.
(3)若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为 ．
答案 (－∞，2－2]
解析 由方程，解得a＝－，设t＝2x(t>0)，
则a＝－＝－
＝2－，其中t＋1>1，
由均值不等式，得(t＋1)＋≥2，
当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.
1．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
答案 C
解析 因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)．
2．函数f(x)＝－x的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 函数f(x)＝－x的零点个数是方程－x＝0的解的个数，即方程＝x的解的个数，也就是函数y＝与y＝x的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1.
3．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
答案 C
解析 因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)<0，解得00时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.
5．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(－1,0) D．[－1,0)
答案 D
解析 当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝，所以只需要当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈(0,1]，所以－a∈(0,1]，即a∈[－1，0)，故选D.
6．已知函数f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．
答案 3
解析 依题意得解得
令g(x)＝0，得f(x)＋x＝0，
该方程等价于①
或②
解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2，
因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.
7．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是 ．
答案
解析 ∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.
∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系知
∴
∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)>0，
即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，
解集为.
8．已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是 ．
答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)
解析 令φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x>a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象(图略)可得a<0或φ(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．
9．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 019x＋log2 019x，则在R上，函数f(x)零点的个数为 ．
答案 3
解析 因为函数f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 019x＋log2 019x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，
因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．
根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点，
从而函数f(x)在R上的零点个数为3.
10．已知函数f(x)＝x，g(x)＝logx，记函数h(x)＝则函数F(x)＝h(x)＋x－5的所有零点的和为 ．
答案 5
解析 由题意知函数h(x)的图象如图所示，易知函数h(x)的图象关于直线y＝x对称，函数F(x)所有零点的和就是函数y＝h(x)与函数y＝5－x图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x1，x2，因为两函数图象的交点关于直线y＝x对称，所以＝5－，所以x1＋x2＝5.
11．函数f(x)＝a∈R，当0≤x<1时，f(x)＝1－x，则f(x)的零点个数为________．
答案 1
解析 当x<0时，必存在x0＝－e－a<0，使得f(x0)＝0，因此对任意实数a，f(x)在(－∞，0)内必有一个零点；当x≥0时，f(x)是周期为1的周期函数，且0≤x<1时，f(x)＝1－x.因此可画出函数的大致图象，如图所示，可知函数f(x)的零点个数为1.
12．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
解 显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，
00时，f(x)是增函数，f(3)＝0，则函数g(x)＝f(x)＋lg|x＋1|的零点个数为 ．
答案 3
解析 画出函数y＝f(x)和y＝－lg|x＋1|的大致图象，如图所示．
∴由图象知，函数g(x)＝f(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为3.
16．已知函数f(x)＝若f(x)＝m有四个零点a，b，c，d，则abcd的取值范围是__________．
答案 (10,12)
解析 作出函数f(x)的图象，不妨设a
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