2012年数学北海市高中毕业班第一次质量检测

2012年数学北海市高中毕业班第一次质量检测

‎2012年北海市高中毕业班第一次质量检测 一、选择题 ‎1、定义一种运算，若函数，是方程的解，且，则的值是 （ ）‎ ‎ A．恒为正值 B．等于‎0 C．恒为负值 D．不大于0‎ ‎2、函数的定义域为，值域为，若，则为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3、箱子内有4个白球，3个黑球，5个红球，从中任取2个球，2球都是红球的概率为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4、给定两个向量，，若，则的值等于 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5、如果是二次函数，且的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6、若，且，则的值等于 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7、等差数列中，若，则的值为 （ ）‎ ‎ A．10 B．‎11 C．12 D．14‎ ‎8、棱长为4的正四面体P-ABC，M为PC的中点，则AM与平面ABC所成的角的正弦值为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9、设椭圆C：的左、右焦点分别为,，上顶点为A，过点A与垂直的直线交轴负半轴于点Q，且，则椭圆C的离心率为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10、为虚数单位，复平面内表示复数的点在 （ ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎11、如图，在二面角内半径为1的圆与半径为2的圆分别在半平面、内，且与棱切于同一点P，则以圆与圆为截面的球的表面积为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ P ‎12、现有四个函数① ② ③ ④的部分图像如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组是 （ ）‎ ‎ A．①③②④ B．①③④② C．③①②④ D．③①④②‎ 二、填空题 ‎13、双曲线上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为 .‎ ‎14、若，则的展开式中的系数是 .‎ ‎15、若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 .‎ ‎16、定义在R上的函数，对任意不等的实数，都有成立，又函数的图象关于点对称，若不等式成立，则当时，的取值范围为 .‎ 三、解答题 ‎17、已知函数.‎ ‎(I)若在处取和极值，‎ ‎ ①求、的值；‎ ‎②存在，使得不等式成立，求的最小值；‎ ‎(II)当时，若在上是单调函数，求的取值范围.（参考数据 ‎）‎ ‎18、设的内角A、B、C的对边长分别为、、，已知的周长为3，且.‎ ‎(I)求边的长；‎ ‎(II)若的面积为，求角C的余弦值.‎ ‎19、某企业招聘中，依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过。甲参加招聘，已知他每次考A科合格的概率均为，每次考B科合格的概率均为。假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响。‎ ‎(I)求甲恰好3次考试通过的概率；‎ ‎(II)记甲参加考试的次数为，求的分布列和期望.‎ ‎20、如图(1)在等腰中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，，现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2))‎ ‎(I)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；‎ ‎(II).求二面角E-DF-C的余弦值；‎ ‎(III)在线段BC是否存在一点P，但APDE？证明你的结论.‎ A B C D E F 图(1)‎ A B C D E F 图(2)‎ ‎21、在数列中，，，，其中.‎ ‎(I)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎(II)设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.‎ ‎22、如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且ODAB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。‎ ‎(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；‎ ‎(II)过点B的直线与曲线C交于M、N.两点，与OD所在直线交于E点，，证明：为定值.‎ A B D Q O 以下是答案 一、选择题 ‎1、 A ‎2、 C ‎3、 D ‎4、 A ‎5、 B ‎6、 D ‎7、 C ‎8、 B ‎9、 A ‎10、 D ‎11、 C ‎12、 D 二、填空题 ‎13、13 ‎ ‎14、 ‎ ‎15、 ‎ ‎16、‎ 三、解答题 ‎17、【解】（Ⅰ）①，定义域为 ‎∴ ‎ ‎∵ 在处取得极值， ∴ ‎ 即，所求值均为 ‎②在存在，使得不等式成立，则只需 由 ‎∴ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数 单调递增；‎ 当时，，函数单调递减，‎ ‎∴ 在处有极小 值 而 又，‎ 因 ‎, ∴ ，‎ 故 。‎ ‎【解】（Ⅱ）当 a = b 时，‎ ‎① 当时，则在上单调递增；‎ ‎② 当时，∵ ，则在上单调递增；‎ ‎③ 当时，设，只需，从而得，此时在 上单调递 ‎④ 减；‎ 综上可得，‎ ‎ ‎ ‎18、【解】（I）由已知及正弦定理得，解得 ‎【解】（II）的面积为即 由（I）得 ‎ 由余弦定理得 ‎ 即 所以 ，‎ ‎19、设甲“第一次考A科成绩合格”为事件，“ A科补考后成绩合格”为事件，‎ ‎“第一次考B科成绩合格”为事件，“B科补考后成绩合格”为事件。‎ ‎【解】（Ⅰ）甲参加3次考试通过的概率为： ‎ ‎【解】（Ⅱ）由题意知，可能取得的值为：2，3，4‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 分布列（如右表）故 ‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎20、【解法一】（I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，‎ 又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．‎ ‎【解】（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD，∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角，‎ ‎∴AD⊥BD，∴AD⊥平面BCD，取CD的点M，使EM∥AD，∴EM⊥平面BCD，‎ 过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF，‎ ‎∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角.‎ 设CD＝a,则AC＝BC＝‎2a , AD＝DB＝, △DFC中,设底边DF上的高为h由 ‎， ∴h＝‎ 在Rt△EMN中，EM=，MN= h＝，∴tan∠MNE=2‎ 从而cos∠MNE ＝‎ ‎【解】（Ⅲ）在线段BC上不存在点P，使AP⊥DE，‎ 证明如下：在图2中, 作AG⊥DE,交DE于G交CD于Q由已知得 ‎∠AED＝120°，于是点G在DE的延长线上，从而Q在DC的延长线 上，过Q作PQ⊥CD交BC于P∴PQ⊥平面ACD ∴PQ⊥DE ‎ ‎∴DE⊥平面APQ∴AP⊥DE.但P在BC的延长线上。‎ ‎【法二】（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，‎ 设CD＝a，则AC＝BC＝‎2a , AD＝DB＝则A（0，0，），B（，0，0）， ‎ C（0，.‎ 取平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为，‎ 则 得，‎ ‎，‎ 所以二面角E—DF—C的余弦值为；‎ ‎【解】（Ⅲ）设，‎ ‎ 又， ‎ ‎ ‎ ‎ 把，可知点P在BC的延长线上 ‎ 所以在线段BC上不存在点P使AP⊥DE. ‎ ‎21、【解】（Ⅰ）证明：‎ ‎∴　数列是等差数 列 ‎ 由得 ‎【解】（Ⅱ）， ‎ 依题意要使对于恒成立，只需，‎ 解得，所以m的最小值为1. ‎ ‎22、【解】（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴， O为原点，建立平面直角坐标系，‎ ‎ ∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．且点Q在曲线C上,‎ ‎ ∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4．‎ ‎ ∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆．‎ ‎ 设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则‎2a=2,∴a=,c=2,b=1 ‎ ‎ ∴曲线C的方程为+y2=1 ‎ ‎【证法1】（Ⅱ）：设点的坐标分别为，‎ ‎ 易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．‎ ‎ ∵，∴．‎ ‎ ∴ ， ‎ ‎ 将M点坐标代入到椭圆方程中得：，‎ ‎ 去分母整理，得 ‎ 同理，由可得：‎ ‎ ∴ ，是方程的两个根 ‎ ‎ ∴ ‎ ‎【证法2】（Ⅱ）：设点的坐标分别为，‎ ‎ 易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．‎ ‎ 显然直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程是 ‎ ‎ 将直线 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 并整理得 ‎ ． ‎ ‎ ∴ ，‎ ‎ 又 ∵， 则．∴，‎ ‎ 同理，由，∴‎ ‎ ∴ ‎