数学文卷·2019届天津市第一中学高二上学期期中考试（2017-11）

数学文卷·2019届天津市第一中学高二上学期期中考试（2017-11）

天津一中 2017-2018-1 高二年级数学学科（文科）模块质量调查试卷 本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 ‎90 分钟。第 I 卷 1 页，第 II 卷 至 2 页。考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在 试卷上的无效。‎ 一、选择题：‎ ‎1．已知两条不同的直线 m 、 n ，两个不同的平面 a 、 b ，则下列命题中的真命题是 A．若 m ^ a ， n ^ b ， a ^ b ，则 m ^ n . B．若 m ^ a ， n ∥ b ， a ^ b ，则 m ^ n . C．若 m ∥ a ， n ∥ b ， a ∥ b ，则 m ∥ n . D．若 m ∥ a ， n ^ b ， a ^ b ，则 m ∥ n .‎ ‎2．已知直线 x + a 2 y + 6 = 0 与直线 (a - 2) x + 3ay + 2a = 0 平行，则 a 的值为 A．0或3或 - 1‎ ‎B．0 或 3 C．3 或 - 1‎ ì x - y + 3 £ 0‎ ï ‎D．0 或 - 1‎ ‎3．已知 x, y 满足约束条件 í3x + y + 5 £ 0 ，则 z = x + 2 y 的最大值是 î ï x + 3 ³ 0‎ A．0 B．2 C．5 D．6‎ ‎4．若过定点 M (-1 , 0) 且斜率为 k 的直线与圆 x 2 + 4 x + y 2 - 5 = 0 在第一象限内的部分 有交点，则 k 的取值范围是 A． 0 < k < 5‎ ‎B． - ‎5 < k < 0‎ ‎C． 0 < k < 13‎ ‎D． 0 < k < 5‎ ‎5．在正三棱柱 ABC - A1 B1C1 中，若 AB = 2, AA1 = 1，则点 A 到平面 A1 BC 的距离为 ‎3 3‎ A． B．‎ ‎4 2‎ ‎C． 3 3 D． 3‎ ‎4‎ ‎6．若直线 y = x + b 与曲线 y = 3 - ‎4x - x2 有公 共点，则 b 的取值范围是 A． é1 - 2 2,1 + 2 2 ù B． é1 - ‎2 , 3ù ‎C． é-1,1 + 2 2 ù ‎D． é1 - 2 2, 3ù ë û ë û ìx + y £ 4,‎ ï ‎ë û ë û ï ‎7．设不等式组 í y - x ³ 0, 表示的平面区域为 D .若圆 C : (x + 1)2 + (y + 1)2 = r 2‎ îx - 1 ³ 0‎ 不经过区域 D 上的点,则 r 的取值范围是 ‎(r > 0) A． (2‎ ‎2 ,2 5 ) ‎B． (2‎ ‎2 ,3 2 ] C． (3‎ ‎2 ,2 5 ] ‎D． (0,2‎ ‎2 )È (2‎ ‎5 ,+¥ ) ‎8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 A．3 2 B．2 3 C．2 2 D．2‎ ‎9．若直线 ax + 2by - 2 = 0(a, b > 0) 始终平分圆 x 2 + y 2 - 4 x - 2 y - 8 = 0 的周长，则 ‎1 + 1 的最小值为 ‎2a b ‎1 5‎ A． B．‎ ‎2 2‎ ‎3 + 2 2‎ C．‎ ‎2‎ ‎‎ D． 3 2‎ ‎10．已知二面角 a - l - b 为 60° ， AB Ì a ， AB ^ l ，A 为垂足， CD Ì b ， C Î l ，‎ ÐACD = 135° ，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ A． 4‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎4‎ D． 2‎ 二、填空题：‎ ‎11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的 体积是 （单位：cm3）．‎ ‎12．已知点 A(-1 , 1) 和圆 C ： ( x - 5) 2 + ( y - 7) 2 = 4 ，从点 A 发出的一束光线经过 x 轴反射到圆周 C 的最短路程 ．‎ ‎13．已知圆 C ： ( x -1)2 + y 2 = 25 与直线 l ： mx + y + m + 2 = 0 ，当 m = 时， 圆 C 被直线 l 截得的弦长最短．‎ ‎14．已知直线 ax + y - 2 = 0 与圆 心为 C 的圆 (x -1)2 + (y - a)2 = 4 相交于 A，B 两点，且 DABC 为等边三角形，则实数 a = ．‎ ‎15．正方形 AP1 P2 P3 的边长为 4，点 B, C 分别是边 P1 P2 , P2 P3 的中点，沿 AB, BC, CA 折 成一个三棱锥 P - ABC （使 P1 , P2 , P3 重合于 P ），则三棱锥 P - ABC 的外接球表面积为 ‎ ．‎ ‎16．若关于 x 的不等式 k = ．‎ 三、解答题：‎ ‎‎ ‎9 - x2 £ k ( x + 2) - ‎2 的解集为区间 [a, b] ，且 b - a = 2 ，则 ‎17．本市某玩具生产公司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每天生产 A, B, C 三种玩具共100 个，每天生产时间不超过10 小时，且 C 种玩具至少生产 20 个，已 知生产这些玩具每个所需工时（分钟）和所获利润如下表：‎ 玩具名称 A B C 工时（分钟）‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎4‎ 利润（元）‎ ‎5 [‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎（Ⅰ）用每天生产 A 种玩具个数 x 与 B 种玩具个数 y 表示每天的利润 w （元）‎ ‎（Ⅱ）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎18．如图，在直三棱柱 ABC - A1 B1C1 中， AB ^ BC ， AA1 = AC = 2 ， BC =1， E 、‎ F 分别为 A1C1 、 BC 的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证： C1F // 平面 ABE ；‎ ‎（Ⅱ）求点 C 到平面 ABE 的距离.‎ ‎19．如图所示，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，BA＝BD＝ 2，AD＝‎ ‎2，PA＝PD＝ 5，E，F 分别是棱 AD，PC 的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：EF∥平面 PAB；‎ ‎（Ⅰ）若二面角 PADB 为 60°.‎ ‎（i）证明：平面 PBC⊥平面 ABCD；‎ ‎（ii）求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正切值．‎ ‎20．已知圆 C 的圆心在直线 l1 : x - y -1 = 0 上，与直线 l2 : 4x + 3 y + 14 = 0 相切，且截直 线 l3 : 3x + 4 y + 10 = 0 所得弦长为 6‎ ‎（Ⅰ）求圆 C 的方程 源源源源源源 ‎（Ⅱ）过点 M (0,1) 是否存在直线 L，使以 L 被圆 C 截得弦 AB 为直径的圆经过原点?若存 在，写出直线的方程；若不存在，说明理由新新 http://ww.xwjktyg.comwx/ /c 特特特特 王新王 wxckt@126.com 一、选择题 ‎参考答案 ‎1．A 2．D 3．C 4．A 5．B ‎6．D 7．D 8．B 9．C 10．B 二、填空题 ‎11．1 + p ‎2‎ ‎12．8‎ ‎13．1‎ ‎14． 4 ± 15‎ ‎15． 24p ‎16． 2‎ 三、解答题 ‎17．解：‎ ‎（Ⅰ）C 玩具有（100-x-y）个 ‎∴w=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300‎ ‎（Ⅱ）‎ ì5x ï ‎+ 7y ‎+ 4(100 - x ‎- y ) £ 10 ´ 60‎ ‎ìx + 3y ï ‎£ 200‎ í100 - x - y ï ‎³ 20‎ ‎Û íx + y ï ‎£ 80‎ îx,y Î N ‎îx,y Î N ‎3y =‎ ‎-2x + w - 300‎ ‎2‎ y = - x ‎3‎ ‎+ w - 100‎ ‎3‎ ìx + 3y í ‎= 200‎ îx + y ‎= 80‎ ìx = 20‎ í îy = 60‎ ‎‎ M(20, 60)‎ w max ‎= 2 ´ 20 + 3 ´ 60 + 300 = ‎520(元)‎ 答：每天生产 A 种玩具 20 件，B 种玩具 60 件，C 种玩具 20 件，利润最大，为 520 元。‎ ‎18．‎ ‎（Ⅰ）证明：取 AB 中点 G ï FG // 1 AC ü ý ‎1‎ = 2 ï Þ FG // EC ‎Þ □ EGFC1‎ ‎1‎ EC // 1 AC ï = = 2 ïþ Þ EG ‎// C1F ‎Þ C1F ‎// 平面ABE ‎（Ⅱ）VC - ABE ‎= VE - ABC 取 AC 中点 H，连 EH ‎//‎ ‎∵ EH ‎AA1‎ = 直三棱柱 AA1 ^ ‎面ABC ‎∴ EH ‎^ 面ABC ‎且EH = 2‎ Rt△ABC 中，AC=2，BC=1‎ ‎∴ AB = 3‎ ‎1 3‎ ‎∴ S DABC ‎= ´ 1 ´ 3 = ‎2 2‎ ‎1‎ 连 EB1，Rt△A1B1C1 中， EB1‎ ‎= A1C1‎ ‎2‎ ‎= A1E = 1‎ ‎∵ AE = ‎A1E ‎2‎ ‎2‎ ‎+ AA1 = 5‎ ‎2‎ ‎2‎ BE = ‎EB1‎ ‎+ BB1 = 5‎ ‎∴AE=BE ‎∴EG⊥AB ‎1 3‎ 又 BG ‎= AB = ‎2 2‎ ‎‎ ‎3 17‎ ‎∴ EG = ‎BE 2‎ ‎1‎ ‎- BG 2‎ ‎= 5 - = ‎4 2‎ ‎17 51‎ ‎∴ S DABE = 2 ´ 3 ´ 2 = 4‎ ‎51 3‎ ‎∴d ´ d = ‎= 2 ´ ‎4 2‎ ‎4 17‎ ‎17‎ ‎19．‎ ‎（Ⅰ）取 PB 中点 G，连结 FG，AG FG // 1 BC = 2‎ ‎∴□FEAG ‎∴FE//AG ‎∵FE Ë 面 PAB，AG Ì 面 PAB ‎∴FE//面 PAB ‎（Ⅱ）（i）等腰△ABC 中， AB = ‎∴BE=1 且 BE⊥AD ‎‎ ‎2，AE = AD = 1‎ ‎2‎ 连 PE、BE ∵PD=PA， E 为 AD 中点 ‎∴PE⊥AD，且 PE = ‎( 5)2‎ ‎- 12 = 2‎ ‎∴∠PEB 为 P—AD—B 的平面角 即∠PEB=60°‎ ‎△PBE 中 PB2=PE2+BE2-2PE·BE·cos60°‎ ‎∴ PB = 3‎ ‎∴PB⊥BE，PB⊥AB ‎∴PB⊥面 ABCD 又 PB Ì 面 PBC ‎∴面 PBC⊥面 ABCD ‎（ii）‎ ‎∵BE⊥AD ‎∴BE⊥BC 由（2） 则 BE⊥面 PBC ‎∴∠EFB 即为所求 Rt△PBC 中 BF ‎= 1 PC ‎2‎ 而 PC = ‎∴ BF = ‎PB 2‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎+ BC 2 = ‎3 + 22 = 7‎ ‎∴ tan ÐEFB = BE = BF ‎20．‎ ‎1 = 2 7‎ ‎7 7‎ ‎2‎ ‎（Ⅰ）设圆心（x，x-1）‎ ‎| 4x + 3(x - 1) + 14 | | 7x + 11 |‎ r = = ‎5 5‎ ‎| 3x + 4x - 4 + 10 | | 7x + 6 |‎ d = = ‎∴(7x + 6)2‎ ‎5‎ ‎5 5‎ + 9 = (7x + 11)2‎ ‎5‎ ‎∴x=2‎ ‎∴圆心（2，1） r=5‎ ‎∴(x-2)2+(y-1)2=25‎ ‎（Ⅱ）设 L：y=kx+1‎ A（x1，y1） B（x2，y2）‎ ìy = kx + 1‎ í î(x ‎- 2)2‎ ‎+ (y ‎- 1)2‎ ‎= 25‎ ‎(x - 2)2‎ ‎+ k 2x 2‎ ‎- 25 = 0‎ ‎(1 + k 2 )x 2‎ ‎- 4x ‎- 21 = 0‎ D > ì ïx1‎ í x ï îï 1‎ ‎0‎ + x2‎ × x2‎ ‎‎ ‎4‎ = ‎1 + k 2‎ ‎ 21 ‎ = - ‎1 + k 2‎ ‎∵OA⊥OB ‎∴OA × OB = 0‎ ‎∴x1x2+y1y2=0 x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=0 (1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=0‎ - 21 + ‎4k ‎1 + k 2‎ ‎‎ + 1 = 0‎ ‎-21-21k2+4k+1+k2=0‎ ‎20k2-4k+20=0‎ ‎5k2-k+5=0‎ ‎△<0 无解 显然当 k 不存在时，x=0 也不符合题意 ‎∴不存在直线 L